基于噪聲子空間特性的波束形成器設(shè)計

黃翔東, 趙一冉, 苗 笛

(1.天津大學(xué)電氣自動化與信息工程學(xué)院, 天津 300072; 2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)電子工程學(xué)院, 天津 300222)

0 引 言

魯棒自適應(yīng)波束形成(robust adaptive beamforming, RAB)一直是陣列信號處理領(lǐng)域的研究熱題。通過調(diào)整權(quán)重,控制陣列中各個陣元輸出,使其在期望信號方向形成增益;在干擾信號方向設(shè)置零陷,實現(xiàn)放大期望信號同時抑制干擾信號的目的。因而在雷達、聲吶、移動通信、衛(wèi)星導(dǎo)航等領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用[1-4]。

傳統(tǒng)標準Capon波束形成器[5](standard Capon beamformer, SCB)因其具有較高分辨率和較強抗干擾能力,而被作為基本模型廣泛采用。然而當快拍數(shù)較少、期望信號失配、觀測數(shù)據(jù)包含期望信號時,傳統(tǒng)波束形成器的性能會嚴重下降。因此,提高期望信號的適配度和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣(interference plus noise covariance matrix, INCM)的估計精度是改善波束性能的根本途徑。近年來,自適應(yīng)波束形成器主要圍繞兩個方面進行改進:對角加載方法和基于子空間分解的方法。

對角加載方法是通過在樣本協(xié)方差矩陣上增加一個尺度單位矩陣,或?qū)Ψ较蛳蛄渴┘佣渭s束而實現(xiàn)的[6],其優(yōu)點在于可有效地降低波束形成器對快拍數(shù)的依賴度;但其缺陷在于:難以選擇適用于不同環(huán)境下最優(yōu)的對角加載因子,且當輸入信噪比較高時,其性能下降嚴重[7-8]。

而基于子空間分解的思路是:對樣本協(xié)方差矩陣做有效的處理,將觀測空間分解為期望信號子空間、干擾子空間和噪聲子空間,從中估計出INCM,再進一步結(jié)合標準SCB而完成波束形成器設(shè)計[9]。具體地,一方面,需要提升INCM的估計精度,另一方面,需要降低構(gòu)造INCM的復(fù)雜度[10-11]。

文獻[12]通過在期望信號入射角度以外的所有區(qū)間對Capon空間譜進行積分,首次解決了不可觀測的INCM的估計問題,然而這種大范圍的數(shù)值積分也帶來了高計算復(fù)雜度;文獻[13]在文獻[12]基礎(chǔ)上做出改進,利用一階泰勒級數(shù)逼近期望信號方向向量,提升了Capon空間譜積分區(qū)間的精度,從而優(yōu)化了波束性能,但仍然沒有解決大范圍積分帶來的高計算復(fù)雜度的問題;文獻[14]提出用空間譜采樣的方法重構(gòu)INCM,大大減少了計算復(fù)雜度,然而算法對陣元數(shù)量有較高的需求;文獻[15]通過剔除Capon空間譜積分的殘留噪聲影響,不僅降低了計算復(fù)雜度,而且進一步提升了波束性能;然而文獻[14-15]設(shè)計均建立在信號空間與干擾空間正交的基礎(chǔ)上,而實際應(yīng)用中這一假設(shè)往往不嚴格成立;文獻[16]則利用了噪聲空間和信號空間的正交性,通過構(gòu)造阻塞矩陣實現(xiàn)了INCM的高精度估計和高性能波束形成器的設(shè)計,然而該設(shè)計要求期望信號功率遠高于噪聲功率,這限制了其實際應(yīng)用。

為克服以上不足,提出基于噪聲子空間特性的波束形成器的設(shè)計,其作用機理體現(xiàn)在: ① 利用噪聲子空間的寬帶分布特性,對期望信號和干擾以外的區(qū)間進行粗采樣,計算出殘留噪聲,并將之作為補償量, 獲得信號協(xié)方差矩陣的估計;② 利用噪聲子空間與信號子空間的正交性,對信號協(xié)方差矩陣進行分解,從中構(gòu)造出信號正交補投影算子;③ 利用噪聲子空間與干擾子空間的正交性,用信號正交補投影算子對觀測信號進行處理,獲得干擾功率的高精度估計。充分利用噪聲空間以上特性,可確保高精度設(shè)計出波束形成器,由于以上數(shù)值積分均在窄空間上實現(xiàn)的,因而本設(shè)計的計算復(fù)雜度較低。仿真結(jié)果驗證了所提算法的有效性。

1 系統(tǒng)模型

考慮由M個陣元組成的均勻線性陣列接收遠場信號,假設(shè)有一個期望信號和J個干擾信號,期望信號入射角度為θ0,干擾信號波達角(direction of arrival, DOA)為θi,i=1,2,…,J。則在k時刻的陣列接收信號可以建模為

x(k)=s(k)+i(k)+n(k)

(1)

(2)

式中：se(k)為期望信號復(fù)包絡(luò)；a0為期望信號方向向量;ai為干擾信號方向向量；si(k)是為干擾信號復(fù)包絡(luò)。假設(shè)期望信號、干擾和噪聲各自統(tǒng)計獨立。

令λ表示信號波長，d為陣元間距,則對于任一入射角度θ的方向向量可表示為

(3)

式中：T表示轉(zhuǎn)置,不難證明,該方向向量的l2-范數(shù)為

(4)

不妨將接收機的M個陣元上的權(quán)重矢量表示為w=[w1,w2,…,wM]T,則在k時刻可獲得波束輸出:

y(k)=wHx(k)

(5)

式中：H表示共軛轉(zhuǎn)置；最優(yōu)權(quán)重矢量w可以在輸出信干噪比(signal to interference plus noise ratio, SINR)取到最大值時得到

(6)

(7)

文獻[5]指出,式(6)取最大值的問題等價于下面的優(yōu)化問題:

s.t.wHa0=1

(8)

式(8)即為Capon波束形成器[5],其解為

(9)

實際應(yīng)用中,由于Ri+n無法直接觀測得到,通常用下式樣本協(xié)方差矩陣代替：

(10)

式中：K為快拍數(shù)。此時的最佳權(quán)重矢量為

(11)

式(11)為由樣本協(xié)方差矩陣近似推出的波束形成器,對期望信號方向向量失配較為敏感,尤其是當高信噪比(signal to noise ratio, SNR)時,性能下降嚴重。

因而,高效、高精度估計出式(9)中的INCM(即Ri+n)是RAB設(shè)計的關(guān)鍵所在。

2 算法原理

2.1 基于殘留噪聲補償?shù)男盘柗较蛳蛄抗烙?/h3>

式(10)對應(yīng)的Capon空間功率譜為

(12)

(13)

證明設(shè)x(k)的期望信號的入射角度和功率分別為θs、σ2,不妨聚焦于期望信號的角度區(qū)域Θs,則該區(qū)域的協(xié)方差矩陣為

(14)

將式(14)代入式(12),且令θ=θs,則可推導(dǎo)出在期望信號入射方向處的Capon空間譜功率值為

(15)

(16)

考慮到在Θs、Θi、Θn中,噪聲區(qū)域Θn的范圍最大,故為降低大范圍內(nèi)的數(shù)值積分造成的誤差累積,且考慮到噪聲特性在Θn內(nèi)的一致性,僅在Θn內(nèi)隨機選取少數(shù)采樣點進行數(shù)值積分。相應(yīng)地,殘留噪聲可估算為

(17)

式中：θn是Θn中隨機采樣點；N為采樣點個數(shù)。由于式(17)用隨機取樣平均取代了密集樣點的數(shù)值積分,故計算復(fù)雜度得以降低。

聯(lián)立式(16)和式(17),可估計實際噪聲功率為

(18)

(19)

進一步,聚焦于期望信號區(qū)域Θs,聯(lián)立式(13)、式(19),可推出期望信號協(xié)方差矩陣為

(20)

(21)

式中：α1,α2,…,αM為由大到小排序的特征值,dn是對應(yīng)于αn的特征向量。從而,期望信號的方向向量可估計為

(22)

2.2 基于噪聲與信號正交性的互補投影算子構(gòu)造

為構(gòu)造干擾加噪聲協(xié)方差矩陣INCM,需消除觀測空間中期望信號成分的影響,這可通過構(gòu)造與信號子空間互補的投影矩陣來實現(xiàn)。

對式(22)的期望信號方向向量做歸一化,有

(23)

考慮到實際應(yīng)用中,噪聲相比于干擾更具普遍存在性,因而利用噪聲子空間與信號子空間的正交性,僅需從全集空間中減去信號子空間,即可構(gòu)造出信號互補投影算子U,如下式所示：

U=I-BBH

(24)

從式(24)可推知,互補投影算子U的物理意義在于:從觀測樣本中消去其中的期望信號分量。

進而利用算子U對觀測向量投影,得到

i(k)+UHn(k)

(25)

從而投影后的協(xié)方差矩陣為

(26)

2.3 基于噪聲與干擾正交性的INCM構(gòu)造

構(gòu)造INCM要求估計所有干擾的方向向量和對應(yīng)功率。

為精確估計干擾方向向量,需做如下優(yōu)化:

(27)

(28)

式中：μ為拉格朗日乘子,可通過求解下式得出：

(29)

(30)

進一步利用噪聲與干擾的正交性,有

(31)

聯(lián)立式(30)和式(31),可推出干擾功率估計：

(32)

從而,可推出最終INCM的估計結(jié)果為

(33)

最后,根據(jù)式(22)和式(33),即可得波束形成向量：

(34)

2.4 算法總結(jié)

將以上波束形成過程歸納為算法1所示。

算法1 基于噪聲子空間的波束生成器設(shè)計流程輸入: 陣元個數(shù)M、陣元接收的快拍數(shù)據(jù)以及噪聲采樣數(shù)N步驟1 根據(jù)式(10)計算采樣協(xié)方差矩陣^R,并根據(jù)式和計算殘留噪聲σ^2r和實際噪聲σ^2n;步驟2 根據(jù)式(17)和式(18)計算期望信號協(xié)方差矩陣的估計值^Rs,進而根據(jù)式(19)和式(20),得到期望信號方向向量估計a^0;步驟3 根據(jù)式(24)構(gòu)造期望信號補空間U,并根據(jù)式(26)得到準干擾協(xié)方差矩陣 R;步驟4 根據(jù)式(17)估計得到干擾方向向量的粗估計a-i=a( θi),1≤i≤J,后通過式(17)得到更準確的估計值a^i,1≤i≤J;步驟5 根據(jù)式(28)計算第i個干擾信號功率σ^2i,并根據(jù)式(32)計算自適應(yīng)權(quán)值wpro。

3 仿真分析

其中,文獻[12]方法求和區(qū)域、間隔分別為(-90°,θ0-5°]∪[θ0+5°,90°)和0.1°,文獻[15]方法與本文求和區(qū)域為Θs,精度值為0.1°。

3.1 信號正交補投影算子的傳輸特性測試

圖1 信號正交補投影算子的傳輸曲線

3.2 不同陣元數(shù)波束方向圖對比

將本文算法應(yīng)用于不同長度的線性均勻陣列(分別設(shè)定陣元個數(shù)M=8和M=12),得到的波束方向圖如圖2。如圖2所示不同陣元數(shù)的波束方向圖略有不同,陣元數(shù)為12時比陣元數(shù)為8時得到的方向圖主瓣變窄,但是都在干擾角度(即-40°和20°)形成了較深的凹陷,這體現(xiàn)出本文方法對干擾抑制的自適應(yīng)性。因而,工程實現(xiàn)時,需要在陣列孔徑盡量大的前提下,才可以實現(xiàn)對近鄰方向的干擾做深度抑制。

圖2 不同陣元數(shù)波束方向圖對比

3.3 DOA存在誤差時對比試驗仿真結(jié)果

令陣列個數(shù)M=8,當DOA存在+2°誤差,即θ0=-3°時,仍將本文方法與以上提及的波束形成器做對比,分別觀察輸入SNR、快拍數(shù)對SINR的影響，結(jié)果如圖3所示。圖3(a)中,設(shè)定快拍數(shù)為80,設(shè)定輸入SNR范圍為[-10,30]dB;圖3(b)中,固定輸入SNR為30 dB,快拍數(shù)變化范圍為[10,100]次;可看出在有DOA誤差情況下,文獻[5]、文獻[7]、文獻[10]的傳輸性能較差,特別是當輸入SNR提高到15 dB后,SINR出現(xiàn)惡化,這是因為這些方法將INCM用樣本協(xié)方差矩陣粗略替代。而本文在INCM構(gòu)造時,做了各全面與噪聲特性有關(guān)的全面考慮,故其傳輸曲線(以“ ☆”標記)避開了高信噪比的性能惡化效應(yīng)。進一步可看出, 本方法得到的SINR曲線明顯高于文獻[12](以“ ◇”標記)和文獻[13](以“?”標記)的方法,這是因為這兩種方法忽略了殘留噪聲誤差帶來的影響。而本文考慮了殘留噪聲影響的同時充分利用了子空間的相互正交特性,故輸出信干燥比性能得以改善。

圖3 DOA誤差下性能對比

另外,還可看出本文方法得到的SINR曲線略微高于文獻[15](以“□”標記)的方法,這充分反映了基于噪聲特性設(shè)計的理論優(yōu)越性。且本文在估計殘留噪聲時采用了隨機取樣并在構(gòu)造互補投影算子U時避開了矩陣求逆過程,在性能改善的同時降低了算法復(fù)雜度,故綜合實用性更高。

從圖3(b)可看出,本文算法與文獻[15]算法性能最好,文獻[12]和文獻[13]性能略差,這3種方法均僅耗費10次快拍即可得到35 dB以上的SINR輸出;相比而言,文獻[5]、文獻[7]、文獻[10]的輸出SINR整體大幅下降20 dB左右,且需較多快拍數(shù)。

4 結(jié) 論

針對已有波束形成算法在高信噪比時輸出下降以及計算量過大等問題,本文提出基于噪聲子空間特性的波束形成器,該算法充分利用了信號、干擾和噪聲空間的正交性。由于本文設(shè)計兼具低計算復(fù)雜度和高輸出SINR,因而在雷達、聲吶、移動通信等領(lǐng)域有應(yīng)用前景。然而本文算法僅適用于密集陣列,未來將在稀疏陣列的波束形成器設(shè)計方面做努力。