基于FWA-Logistic方法的概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)預(yù)測(cè)

魏 鵬，江克貴

(1.山西晉城無(wú)煙煤礦業(yè)集團(tuán)有限責(zé)任公司 資源環(huán)境管理局，山西 晉城 048006；2.安徽理工大學(xué) 空間信息與測(cè)繪工程學(xué)院，安徽 淮南 232001)

煤炭作為主體能源擔(dān)負(fù)著國(guó)家能源安全和經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展重任[1]。大規(guī)模、高強(qiáng)度的煤炭資源開(kāi)發(fā)會(huì)引發(fā)一系列礦山地質(zhì)災(zāi)害和生態(tài)問(wèn)題，如地面塌陷、山體滑坡、地面不均勻沉降、地下水疏干、破壞性礦震，已經(jīng)對(duì)鐵路與公路建設(shè)、水利與電力工程設(shè)施、工業(yè)與民用建筑、生態(tài)與水文環(huán)境及人民生命財(cái)產(chǎn)帶來(lái)了直接危害[2，3]。為了最大限度地減少礦山開(kāi)采沉陷的危害，地表移動(dòng)變形預(yù)測(cè)至關(guān)重要；而在預(yù)測(cè)模型選定的情況下，地表開(kāi)采沉陷預(yù)測(cè)精度主要取決于預(yù)計(jì)參數(shù)的可靠性，求取精準(zhǔn)可靠的預(yù)計(jì)參數(shù)是開(kāi)采沉陷預(yù)測(cè)重要的環(huán)節(jié)。因此，文獻(xiàn)[4]建立了概率積分穩(wěn)健求參數(shù)學(xué)模型，結(jié)果表明構(gòu)建模型可降低異常值或粗差的干擾，克服了最小二乘法擬合發(fā)散的問(wèn)題；文獻(xiàn)[5]將三次指數(shù)平滑法應(yīng)用于概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)求取中，實(shí)驗(yàn)預(yù)計(jì)結(jié)果與實(shí)測(cè)一致；文獻(xiàn)[6]引入Broyden算法，建立了迭代模型，通過(guò)分析算法求參的精度、計(jì)算量和收斂性，驗(yàn)證了改進(jìn)后算法的優(yōu)越性；文獻(xiàn)[7]運(yùn)用灰色關(guān)聯(lián)分析法找出概率積分參數(shù)的影響因素，進(jìn)而利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)計(jì)參數(shù)。綜上，大量學(xué)者提出形式各異的概率積分參數(shù)預(yù)測(cè)模型，參數(shù)預(yù)測(cè)精度不斷提高；其共同點(diǎn)是分析預(yù)計(jì)參數(shù)隨時(shí)間和空間變化的形態(tài)特征和影響因素，構(gòu)建符合其變化規(guī)律的非線性預(yù)測(cè)模型，通過(guò)已知的預(yù)計(jì)參數(shù)變化量，擬合出非線性模型的模型參數(shù)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)后續(xù)或其間的未知概率積分參數(shù)的預(yù)測(cè)。

在非線性模型廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)參數(shù)的背景下，本文引入一種Logistic模型[8-10]，研究表明，Logistic模型擬合曲線的形態(tài)特征呈S型，符合概率積分參數(shù)變化規(guī)律(尤其下沉系數(shù)q)，理論上，Logistic模型可適用于概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)預(yù)測(cè)，但該非線性模型具有3個(gè)模型參數(shù)，常規(guī)模型參數(shù)的求解方法是非線性最小二乘法，而模型參數(shù)初值選取對(duì)非線性最小二乘法影響較大，以及非線性最小二乘法隨訓(xùn)練數(shù)據(jù)的變化波動(dòng)較大；因此，引入FWA算法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行精確求取，構(gòu)建了一種基于FWA-Logistic模型的概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)預(yù)測(cè)方法。

1 FWA-Logistic方法

1.1 Logistic模型

Logistic方程由比利時(shí)數(shù)學(xué)家威赫爾斯特在1838年首次提出，其描述了生物繁殖及人口變化特征，刻畫(huà)了因變量隨時(shí)間變動(dòng)的趨勢(shì)，在農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、變形預(yù)測(cè)等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。美國(guó)Edwin Mansfield提出的Logistic模型微分方程為：

式中，b為常數(shù)；F為t時(shí)刻概率積分參數(shù)值y(t)與其最大值m的比值，即F=y(t)/m。

利用分離變量法求解式得：

式中，a，b為常數(shù)。

Logistic模型的模型參數(shù)包括(m，a，b)，由于Logistic模型的高度非線性特征，通常的模型參數(shù)求取方法主要是非線性最小二乘法，其中NLS準(zhǔn)則要求殘差平方和最小化，其目標(biāo)函數(shù)為：

其中，Y(t)為各時(shí)期的實(shí)測(cè)參數(shù)值；y(t)為各時(shí)期的預(yù)測(cè)結(jié)果，當(dāng)E(m，a，b)取最小值時(shí)，可求得模型參數(shù)最優(yōu)解。

研究表明[11]，基于非線性最小二乘法，模型參數(shù)m的求解值隨數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)的變化而波動(dòng)較大(m估值的不穩(wěn)定性)，進(jìn)而導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際相差較大；另外，不合理的初值選取會(huì)導(dǎo)致求參結(jié)果發(fā)散。為此，本文引入一種煙花算法。

1.2 FWA原理

煙花算法是近幾年被提出的新型智能優(yōu)化算法[12-15]，通過(guò)模仿煙花爆炸過(guò)程，該算法能夠高效搜索最優(yōu)解，此外，算法尋優(yōu)的過(guò)程中也加入隨機(jī)因素和選擇策略以形成一種并行搜索模式；如何基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)得到高度非線性問(wèn)題的最優(yōu)解，煙花算法原理簡(jiǎn)要介紹如下：

煙花算法主要由以下4部分組成：①爆炸算子，煙花爆炸產(chǎn)生爆炸火花的操作；②變異算子，煙花高斯變異產(chǎn)生變異火花的操作；③映射算子，將超出邊界的火花映射到可行域區(qū)間內(nèi)的操作；④選擇算子，在當(dāng)前種群個(gè)體中優(yōu)化選擇下一代的操作。

1.2.1 爆炸算子

爆炸算子是煙花算法的核心組成部分，由爆炸火花數(shù)目、爆炸半徑和位移操作組成；以煙花xi為例，過(guò)程是，首先根據(jù)煙花xi相對(duì)于其他煙花的適應(yīng)度大小，計(jì)算煙花xi的爆炸火花數(shù)目和爆炸半徑，見(jiàn)式(4)、式(5)；然后，為了防止適應(yīng)度較好的煙花處產(chǎn)生過(guò)多的火花，而適應(yīng)度較差的煙花處產(chǎn)生過(guò)少的火花，對(duì)爆炸火花數(shù)目進(jìn)行限制；最后，利用位移操作可得到煙花xi爆炸產(chǎn)生的火花。

式中，Ti為第i個(gè)煙花的爆炸火花數(shù)目；K為常數(shù)，用來(lái)控制爆炸火花數(shù)目的大?。籪(xi)是第i個(gè)煙花的適應(yīng)度值；ymax=max[f(xi)](i=1，2，…，n)是當(dāng)前種群的最大適應(yīng)度值；ξ是機(jī)器最小量。

式中，Ai為第i個(gè)煙花的爆炸半徑；A為常數(shù)，用來(lái)控制爆炸半徑的大??；ymin=min[f(xi)](i=1，2，…，n)是當(dāng)前種群的最小適應(yīng)度值。

1.2.2 變異算子

為了增加種群的多樣性，煙花算法引入變異算子用于產(chǎn)生高斯變異火花；對(duì)于煙花xi某一維度k執(zhí)行高斯變異操作為：

式中，e～N(1，1)，N(1，1)表示均值為1，方差為1的高斯分布。

1.2.3 映射算子

爆炸算子和變異算子產(chǎn)生的火花可能會(huì)超出可行域邊界，當(dāng)火花xi的第k維超出邊界，可通過(guò)式(7)將火花映射到可行域內(nèi)的新位置。

式中，xUB，k、xLB，k為解空間在維度k的上邊界和下邊界。

1.2.4 選擇算子

為了使煙花種群中優(yōu)秀的信息傳遞到下一代，在煙花、爆炸火花和高斯變異火花組成的候選者集合中選擇一定數(shù)量的個(gè)體作為下一代煙花。假設(shè)當(dāng)前候選者種群數(shù)目為KA，煙花迭代種群大小為N；其中，候選者中適應(yīng)度最小的煙花會(huì)被確定性的選擇到下一代中，剩下的后代煙花采用輪盤賭法在候選者中進(jìn)行選擇。對(duì)于候選者xi，其被選中的概率為：

式中，R(xi)為當(dāng)前個(gè)體xi與其他個(gè)體的距離之和；d(xi，yi)表示任意兩個(gè)個(gè)體xi和yi之間的歐氏距離；xj∈KA是指第j個(gè)位置屬于集合KA。

1.3 方法構(gòu)建

為了求取精準(zhǔn)可靠的概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)，綜合FWA算法原理和Logistic模型，結(jié)合概率積分參數(shù)變化規(guī)律，提出了一種融合FWA和Logistic模型的概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)預(yù)測(cè)方法(FWA-Logistic方法)，方法構(gòu)建過(guò)程如下：

1)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備。收集實(shí)驗(yàn)礦區(qū)的前期概率積分參數(shù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(實(shí)驗(yàn)樣本)，選定合適的FWA參數(shù)，確保實(shí)驗(yàn)過(guò)程的高效性和結(jié)果的可靠性。利用FWA參數(shù)生成初始狀態(tài)下的煙花種群。

2)適應(yīng)度評(píng)價(jià)。設(shè)煙花種群大小為N，實(shí)測(cè)有M個(gè)時(shí)段的概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)樣本數(shù)據(jù)，假設(shè)實(shí)測(cè)第t個(gè)時(shí)段的參數(shù)為Pat；而利用Logistic模型求取的第i個(gè)煙花、第t個(gè)時(shí)段的樣本預(yù)測(cè)值假設(shè)為Pt，以此構(gòu)建的適應(yīng)度函數(shù)見(jiàn)式(10)，進(jìn)而對(duì)種群中全部個(gè)體的適應(yīng)度進(jìn)行評(píng)價(jià)。

(i=1，2，…，N；t=1，2，…M)

(10)

3)迭代求參。根據(jù)煙花適應(yīng)度計(jì)算煙花的爆炸火花數(shù)目和爆炸半徑，生成爆炸火花；然后，在煙花中選擇一定數(shù)量的煙花執(zhí)行變異算子操作，以此生成高斯變異火花；接著，利用映射算子把超出邊界的火花映射到可行域邊界內(nèi)；最后利用選擇算子選擇優(yōu)秀候選者作為下一代煙花種群。循環(huán)執(zhí)行該項(xiàng)操作，直到滿足迭代終止條件，輸出模型參數(shù)最優(yōu)解。

4)概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)預(yù)測(cè)。根據(jù)步驟3)求取的模型參數(shù)最優(yōu)解，代入Logistic模型，然后輸入需要預(yù)測(cè)的時(shí)段，輸出概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)預(yù)測(cè)成果，F(xiàn)WA-Logistic方法技術(shù)路線如圖1所示。

圖1 FWA-Logistic方法技術(shù)路線圖

2 工程實(shí)例

2.1 數(shù)據(jù)獲取

試驗(yàn)礦區(qū)位于淮南顧橋煤礦14141工作面，在工作面采動(dòng)期間地表移動(dòng)觀測(cè)站共進(jìn)行了12期有效觀測(cè)，根據(jù)變形觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)進(jìn)行了求取，共得到12期不等時(shí)間序列樣本數(shù)據(jù)，由于概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)繁多，且數(shù)據(jù)處理過(guò)程一致，本文選擇參數(shù)q、tanβ、θ進(jìn)行詳細(xì)闡述；基于時(shí)間序列插值方法，樣本參數(shù)q、tanβ、θ分別作插值處理，插值結(jié)果見(jiàn)表1(共得到16期數(shù)據(jù))；為了充分研究構(gòu)建方法在不同時(shí)段預(yù)計(jì)結(jié)果的準(zhǔn)確性，選擇4期等間隔時(shí)段(分別為4時(shí)段、8時(shí)段、12時(shí)段、16時(shí)段)作為預(yù)測(cè)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)，其余12期的參數(shù)實(shí)測(cè)值作為起算數(shù)據(jù)。

表1 概率積分參數(shù)實(shí)測(cè)值

2.2 模型參數(shù)的求解及擬合

基于獲取的起算數(shù)據(jù)，利用FWA-Logistic方法對(duì)分別對(duì)3組Logistic模型參數(shù)進(jìn)行求解，求解結(jié)果見(jiàn)表2，擬合樣本數(shù)據(jù)中誤差分別為0.028，0.100和0.023°；各樣本參數(shù)擬合結(jié)果分別如圖2—圖4所示。

表2 模型參數(shù)求解結(jié)果

圖2 下沉系數(shù)q樣本擬合效果

圖3 主要影響角正切tanβ樣本擬合效果

圖4 開(kāi)采影響傳播角θ樣本擬合效果

2.3 參數(shù)預(yù)計(jì)及精度分析

為了驗(yàn)證模型求參的準(zhǔn)確性，對(duì)4時(shí)段、8時(shí)段、12時(shí)段、16時(shí)段的q、tanβ、θ進(jìn)行預(yù)測(cè)，并將預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)測(cè)值進(jìn)行比較，比較結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 未來(lái)值預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

從表3中可以看出，預(yù)測(cè)的概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)與實(shí)測(cè)結(jié)果一致，求取參數(shù)q、tanβ、θ的平均相對(duì)誤差(ARE)分別為2.87%、2.02%、0.03%；求參的最大相對(duì)誤差約為4.39%，在參數(shù)tanβ處取得；實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，F(xiàn)WA-Logistic方法可以較好的應(yīng)用于概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)預(yù)測(cè)。

2.4 變形預(yù)計(jì)

為驗(yàn)證預(yù)測(cè)參數(shù)的實(shí)用性，基于2.3節(jié)預(yù)測(cè)的4期的概率積分動(dòng)態(tài)參數(shù)，以及已知的實(shí)際礦區(qū)工作面地質(zhì)采礦條件和時(shí)間參數(shù)，代入動(dòng)態(tài)概率積分模型(概率積分法模型+Knothe時(shí)間函數(shù))對(duì)礦區(qū)地表變形進(jìn)行預(yù)計(jì)，結(jié)合地表移動(dòng)觀測(cè)站坐標(biāo)，預(yù)計(jì)了沿走向和傾向主斷面的下沉，如圖5所示，與實(shí)測(cè)相比，預(yù)計(jì)下沉誤差在-343～208mm之間，中誤差分別為47.66mm、113.60mm、86.67mm、89.23mm。此外，以第16期為例，地表三維下沉預(yù)計(jì)結(jié)果如圖6所示。

圖5 預(yù)計(jì)和實(shí)測(cè)的走向和傾向主斷面下沉對(duì)比

圖6 第16期預(yù)計(jì)地表三維下沉

3 結(jié) 論

在非線性模型廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)參數(shù)的背景下，本文引入一種Logistic模型，顧及非線性最小二乘法求取Logistic模型參數(shù)的不穩(wěn)定性，選取非線性求參能力較強(qiáng)的FWA算法。綜合FWA算法原理和Logistic模型，結(jié)合概率積分參數(shù)變化規(guī)律，提出了一種FWA-Logistic方法。試驗(yàn)結(jié)果表明擬合樣本參數(shù)效果較好，預(yù)測(cè)參數(shù)精度較高，并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證了預(yù)測(cè)參數(shù)在礦區(qū)開(kāi)采沉陷預(yù)計(jì)中的實(shí)用性。