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    無沖突Petri網(wǎng)的結(jié)構(gòu)活性判定研究

    2021-07-26 11:56:34徐穎蕾馬炳先
    計(jì)算機(jī)工程 2021年7期
    關(guān)鍵詞:庫所變遷前置

    徐穎蕾,馬炳先

    (1.山東財(cái)經(jīng)大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,濟(jì)南250014;2.山東省數(shù)字媒體技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,濟(jì)南250014;3.濟(jì)南大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,濟(jì)南250022)

    0 概述

    活性作為Petri 網(wǎng)系統(tǒng)重要的動(dòng)態(tài)性質(zhì)之一,反映了Petri 網(wǎng)系統(tǒng)運(yùn)行過程中變遷激發(fā)條件的可滿足性,通常對應(yīng)實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行過程中某事件是否具備發(fā)生條件。如果一個(gè)變遷元素不是活性的,那么該事件在某時(shí)刻將不會(huì)繼續(xù)發(fā)生,若在某標(biāo)識(shí)下系統(tǒng)中的所有變遷元素均不能發(fā)生,則系統(tǒng)陷入死鎖,因此,有效檢測與判斷系統(tǒng)的活性是Petri 網(wǎng)相關(guān)理論與方法應(yīng)用于實(shí)際系統(tǒng)的關(guān)鍵問題,如自動(dòng)制造系統(tǒng)的死鎖分析[1-2]、面向資源調(diào)度系統(tǒng)的死鎖分析[3]及并發(fā)程序的死鎖檢測和驗(yàn)證[4-6]等。

    目前,對于Petri 網(wǎng)系統(tǒng)活性的判定尚未有通用的方法[7],主要包括以下4 類判定方法。第1 類為從Petri 網(wǎng)的網(wǎng)結(jié)構(gòu)入手,研究結(jié)構(gòu)較特殊的一些Petri網(wǎng)的活性判定方法,例如標(biāo)識(shí)T-圖[8]、加權(quán)T-圖[9]、標(biāo)識(shí)S-圖[10]和標(biāo)識(shí)自由選擇網(wǎng)[11]等結(jié)構(gòu)的Petri 網(wǎng)已有較系統(tǒng)和有效的判定方法或者結(jié)論。第2 類為從Petri 網(wǎng)的分析方法入手,利用Petri 網(wǎng)的可達(dá)標(biāo)識(shí)圖或可覆蓋樹[12]、Petri 網(wǎng)進(jìn)程[13]等判斷Petri 網(wǎng)的活性,該類方法對Petri 網(wǎng)系統(tǒng)的活性分析提供了一定的思路,但由于系統(tǒng)狀態(tài)的快速增長[14]或者線性方程組的求解通常伴有較高的時(shí)間復(fù)雜度,目前仍需更為深入的研究。第3 類為從Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)的分解或合成的角度入手,研究子網(wǎng)系統(tǒng)的活性與原網(wǎng)系統(tǒng)活性之間的關(guān)系[15-16],進(jìn)而研究Petri 網(wǎng)系統(tǒng)的活性,該類方法同樣取得了一定的研究成果,但對于一般Petri 網(wǎng)系統(tǒng)而言也尚未有明確結(jié)論。第4 類為從Petri 網(wǎng)系統(tǒng)性質(zhì)[17-18]或結(jié)構(gòu)活性判定入手,尤其后者,首先通過判斷Petri網(wǎng)的結(jié)構(gòu)活性,其次研究結(jié)構(gòu)活的Petri 網(wǎng)的活標(biāo)識(shí)應(yīng)滿足的條件,最后實(shí)現(xiàn)對Petri 網(wǎng)的活性判定,目前該類方法同樣需要進(jìn)一步深入的研究。

    沖突結(jié)構(gòu)在Petri 網(wǎng)的活性判定方法研究中具有重要作用[19],相關(guān)文獻(xiàn)在對標(biāo)識(shí)T-圖[8-9]、可重復(fù)Petri 網(wǎng)[12]的活性(或結(jié)構(gòu)活性)研究時(shí)基于有向回路結(jié)構(gòu)或者沖突結(jié)構(gòu)對庫所元素[20]中流出標(biāo)識(shí)(token)能否流回該庫所的影響情況進(jìn)行分析研究,進(jìn)而對Petri 網(wǎng)系統(tǒng)的活性或結(jié)構(gòu)活性進(jìn)行判定,表明Petri 網(wǎng)中的有向回路及沖突結(jié)構(gòu)是影響Petri 網(wǎng)活性性質(zhì)的重要因素,但現(xiàn)有相關(guān)方法尚未從綜合考慮Petri 網(wǎng)中有向回路與沖突結(jié)構(gòu)間的關(guān)系對系統(tǒng)活性的影響入手開展Petri 網(wǎng)活性判定的研究[21-22]?;诖耍疚目紤]從Petri網(wǎng)的結(jié)構(gòu)入手,分析Petri網(wǎng)中的有向回路與沖突結(jié)構(gòu)對Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活性的影響,進(jìn)而探討Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活性和系統(tǒng)活性的判定方法。

    1 相關(guān)概念及知識(shí)

    本節(jié)將簡要介紹與本文研究相關(guān)的Petri 網(wǎng)相關(guān)概念和知識(shí)。

    定義1[12]一個(gè)Petri 網(wǎng)系統(tǒng)定義為∑=(S,T;F,M),其中:

    1)S∪T≠?;

    2)S∩T=?;

    3)F?(S×T)∪(T×S);

    4)M:S→{0,1,…}。

    在定義1 中,S為Petri 網(wǎng)的庫所元素集合,T為Petri 網(wǎng)的變遷元素集合,F(xiàn)為庫所和變遷元素之間存在的流關(guān)系,M為Petri 網(wǎng)系統(tǒng)∑的標(biāo)識(shí)函數(shù)。

    Petri 網(wǎng)系統(tǒng)的變遷元素在變遷激發(fā)規(guī)則條件滿足的前提下可以發(fā)生,從而使得Petri 網(wǎng)系統(tǒng)在不同的標(biāo)識(shí)之間轉(zhuǎn)化,即Petri 網(wǎng)系統(tǒng)的運(yùn)行。

    定義2[12](沖突結(jié)構(gòu))設(shè)Petri 網(wǎng)系統(tǒng)為∑=(S,T;F,M),若?s∈S,|s˙|≥2,則稱庫所s及其后置變遷元素集合之間形成沖突結(jié)構(gòu)。

    由定義2 可以看出,沖突結(jié)構(gòu)實(shí)際上對應(yīng)庫所標(biāo)識(shí)在Petri 網(wǎng)系統(tǒng)運(yùn)行過程中的一種選擇或競爭,并且現(xiàn)有研究已表明沖突結(jié)構(gòu)是影響Petri 網(wǎng)活性分析的關(guān)鍵因素之一[10]。

    定義3[12](活性)設(shè)Petri 網(wǎng)系統(tǒng)為∑=(S,T;F,M0),其中,M0為初始標(biāo)識(shí),t∈T。若?M∈R(M0),?M′∈R(M),使得M′[t>,則稱t是活的。若每個(gè)t∈T都是活的,則稱Σ是活的Petri 網(wǎng)系統(tǒng)。

    定義4[12](結(jié)構(gòu)活性)設(shè)N=(S,T;F)為一個(gè)Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu),如果存在初始標(biāo)識(shí)M0使得∑=(S,T;F,M0)是活的Petri 網(wǎng)系統(tǒng),則稱N是結(jié)構(gòu)活網(wǎng),M0是網(wǎng)N的一個(gè)活標(biāo)識(shí)。

    由定義3 和定義4 可以看出,一個(gè)Petri 網(wǎng)若是結(jié)構(gòu)活的,則必存在一個(gè)標(biāo)識(shí)使得對應(yīng)的Petri 網(wǎng)系統(tǒng)是活的,即為該網(wǎng)的一個(gè)活標(biāo)識(shí)。因此,在判斷一個(gè)Petri 網(wǎng)系統(tǒng)∑=(S,T;F,M0)的活性時(shí)可以從判定網(wǎng)的結(jié)構(gòu)活性入手,即判斷該P(yáng)etri 網(wǎng)系統(tǒng)對應(yīng)的網(wǎng)結(jié)構(gòu)是否為結(jié)構(gòu)活的:1)若該網(wǎng)是結(jié)構(gòu)活的,進(jìn)一步分析其活標(biāo)識(shí)對應(yīng)的性質(zhì)或者特征,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析Petri 網(wǎng)系統(tǒng)的活性;2)若該網(wǎng)不是結(jié)構(gòu)活的,則該P(yáng)etri 網(wǎng)系統(tǒng)不是活的網(wǎng)系統(tǒng)。

    2 無沖突Petri網(wǎng)的結(jié)構(gòu)活性判定方法

    定義5(無沖突Petri 網(wǎng))設(shè)N=(S,T;F)為一個(gè)網(wǎng)結(jié)構(gòu),若?s∈S,|s˙|≤1,則稱N是無沖突Petri 網(wǎng)。

    與S-圖[12](?t∈T:|t˙|=|˙t|=1)和T-圖[12](?s∈S:|s˙|=|˙s|=1)結(jié)構(gòu)要求不同,與定義2 中的沖突結(jié)構(gòu)相對應(yīng),無沖突Petri 網(wǎng)僅對庫所元素的后置變遷元素個(gè)數(shù)進(jìn)行約束??梢钥闯觯跓o沖突Petri 網(wǎng)N=(S,T;F)中,若?s∈S?|s˙|=0,則在Petri 網(wǎng)N中刪除該庫所元素s及其對應(yīng)的流關(guān)系后得到的Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活性與原網(wǎng)保持一致?;诖耍s定在本文討論的無沖突Petri 網(wǎng)中,?t∈T?|˙t|≥1,即在Petri 網(wǎng)N中不含源變遷元素,且?s∈S?|s˙|=1。

    定義6(T-外延子網(wǎng))設(shè)Petri 網(wǎng)N=(S,T;F),T1?T,N1=(S1,T1,F1)是關(guān)于T1的T-外延子網(wǎng)[12],其中,。

    本文基于庫所元素與其后置變遷元素是否存在于一個(gè)有向回路中,對無沖突Petri 網(wǎng)N=(S,T;F)結(jié)構(gòu)活性進(jìn)行判定。下文考慮無沖突Petri 網(wǎng)中一個(gè)有向回路的標(biāo)識(shí)保持情況。

    引理1設(shè)Petri 網(wǎng)N=(S,T;F)是無沖突Petri網(wǎng),C為網(wǎng)N中的一個(gè)有向回路,若網(wǎng)N的一個(gè)標(biāo)識(shí)M0:M0(C)≥1,則?M1∈R(M0),M1(C)≥1,其中M(C)=。

    證明不妨設(shè)?t1∈T:M0[t1>M1,則:

    1)若t1∈C,則在有向回路C中必含有t1的前置及后置庫所元素各1 個(gè),從而t1的發(fā)生不會(huì)影響C中的標(biāo)識(shí)數(shù)量,即M1(C)≥1。

    2)若t1?C,則由于網(wǎng)N中無沖突結(jié)構(gòu),因此有向回路C中不含有t1的前置庫所元素,即t1的發(fā)生不會(huì)減少C中的標(biāo)識(shí)數(shù)量,即M1(C)≥1。

    進(jìn)一步地,若M1是由M0經(jīng)過多個(gè)變遷的發(fā)生達(dá)到的標(biāo)識(shí),則由上所述可得M1(C)≥1,引理1得證。

    定理1設(shè)Petri 網(wǎng)N=(S,T;F)是無沖突Petri網(wǎng),若?s∈S?t∈s˙,s與t存在于一個(gè)有向回路結(jié)構(gòu)中,則網(wǎng)N是結(jié)構(gòu)活的。

    證明為網(wǎng)N配置初始標(biāo)識(shí)M0使得網(wǎng)N中任一有向回路C均有M0(C)≥1,?t∈T:

    1)若˙t={s1}且s1與t存在于一有向回路C1中,則由引理1 可得?M∈R(M0),M(C1)≥1,從而必有?M1∈R(M),使得M1[t>。

    2)若|˙t|≥2,不妨設(shè)˙t={s1,s2},且si與t存在于一個(gè)有向回路Ci(i=1,2)中,則由引理1可得?M∈R(M0),M(Ci)≥1(i=1,2),由于網(wǎng)N中無沖突結(jié)構(gòu),因此?M1∈R(M)?M1(s1)≥1,同時(shí)M1(C2)≥1,此時(shí)若已有M1(s2)≥1,則M1[t>;否則,對有向回路C2,存在一不包含變遷t的變遷序列σ1∈T* 使得M1[σ1>M2且M2(s2)≥1,由于t?σ1,因此此時(shí)M2(s1)≥1,即M2[t>。

    綜上所述,?M∈R(M0)和?M′∈R(M)使得M′[t>,即M0是網(wǎng)N的一個(gè)活標(biāo)識(shí),因此網(wǎng)N是結(jié)構(gòu)活的。

    推論1設(shè)Petri 網(wǎng)N=(S,T;F)是無沖突Petri網(wǎng),?t∈T,若?s∈˙t,s與t存在于一個(gè)有向回路結(jié)構(gòu)中,則網(wǎng)N是結(jié)構(gòu)活的。

    為表述方便,將定理1 中“?s∈S?t∈s˙,s與t存在于一個(gè)有向回路結(jié)構(gòu)中”稱為自回路條件。

    定義7(自回路條件)設(shè)Petri 網(wǎng)N=(S,T;F),s∈S滿足自回路條件當(dāng)且僅當(dāng)?t∈s˙,s與t存在于一個(gè)有向回路結(jié)構(gòu)中。

    然而,自回路條件僅是無沖突Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活的充分而非必要條件,例如對圖1 中的網(wǎng)N1雖然庫所s3不滿足自回路條件,但滿足前置回路條件,并且網(wǎng)N1是結(jié)構(gòu)活的。

    圖1 活性結(jié)構(gòu)的Petri 網(wǎng)N1Fig.1 Petri net N1 with live structure

    定義8(前置回路條件)設(shè)Petri 網(wǎng)N=(S,T;F)是無沖突Petri 網(wǎng),庫所元素s∈S且s˙={t1},s滿足前置回路條件當(dāng)且僅當(dāng)存在網(wǎng)N的T-外延子網(wǎng)N1=(S1,T1;F1)使得:

    1)?s1∈S1,s1在N1中滿足自回路條件。

    2)?t2∈T1,t2到s存在有向路P。

    3)t1不屬于T1及情形2 中的有向路P。

    定理2設(shè)Petri 網(wǎng)N=(S,T;F)是無沖突Petri網(wǎng),則網(wǎng)N是結(jié)構(gòu)活的當(dāng)且僅當(dāng)?s∈S滿足自回路條件或前置回路條件。

    必要性證明設(shè)已知無沖突Petri 網(wǎng)N是結(jié)構(gòu)活的,M0是網(wǎng)N的一個(gè)活標(biāo)識(shí)。若?s1∈S,則s1不滿足自回路條件及前置回路條件,不妨設(shè)M0(s1)=k(k≥1),顯然若?,則對于變遷序列σ∈T*滿足M0[σ>M1?#(t1/σ)=k,由于s1不滿足自回路條件及前置回路條件,此時(shí)M1(s1)=0 且不存在M2∈R(M1)使得M2(s1)>0,t1成為死變遷,這與M0是網(wǎng)N的活標(biāo)識(shí)相矛盾,因此?s∈S,s滿足自回路條件或前置回路條件,定理2 的必要性得證。

    充分性證明已知?s∈S滿足自回路條件或前置回路條件,設(shè)網(wǎng)N的標(biāo)識(shí)M0使得網(wǎng)N中任一有向回路C滿足M0(C)≥1,?t∈T,t的前置庫所滿足自回路條件或前置回路條件的情形具體如下:

    1)?s∈˙t,s滿足自回路條件。

    2)?s∈˙t,s滿足前置回路條件。

    3)?s1,s2∈˙t,s1≠s2,s1滿足自回路條件,s2滿足前置回路條件。

    對于?M1∈R(M0),討論情形3 中的情況,不妨設(shè)˙t={s1,s2},s1滿足自回路條件,s2滿足前置回路條件:

    1)s1滿足自回路條件,由引理1 可得,?M2∈R(M1)使得M2(s1)≥1,且對網(wǎng)N中任一有向回路C滿足M2(C)≥1。

    2)s2滿足前置回路條件,設(shè)其對應(yīng)的T-外延子網(wǎng)為N1=(S1,T1;F1),?s∈S1在網(wǎng)N1中滿足自回路條件,且?t1∈T1到s2存在有向路P,由于M2使得網(wǎng)N的任一有向回路C滿足M2(C)≥1,因此?t?σ1,M2[σ1>M3使得M3[t1>,進(jìn)一步由于t1到s2存在有向路P且t?P,因此?σ2∈(T-{t})*使得M3[σ2>M4,且M4(s2)≥1,即?σ=σ1σ2使得M2[σ>M4,又由于t?σ,因此M4(s1)=M2(s1),M4(s1)≥1 可得M4[t>,即?M4∈R(M1),M4[t>。

    基于引理1,與?M1∈R(M0)時(shí)情形3 的分析證明過程類似,并且證明在情形1 和情形2 下,?M′∈R(M1)?M′[t>也是成立的。

    綜上可得,標(biāo)識(shí)M0是網(wǎng)N的一個(gè)活標(biāo)識(shí),即網(wǎng)N是結(jié)構(gòu)活的,定理2 的充分性得證。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)在無沖突Petri 網(wǎng)中,若存在無源庫所(即庫所元素?zé)o前置變遷),則必滿足定理2 中的條件。

    性質(zhì)1設(shè)無沖突Petri 網(wǎng)N=(S,T;F) 中?s∈S?|˙s|≥1,則?s∈S滿足自回路條件或前置回路條件。

    證明若,則滿足以下情形:

    1)若s1和t1存在于網(wǎng)N中的一個(gè)有向回路中,則s1滿足自回路條件,否則轉(zhuǎn)情形2。

    2)若s1和t1不存在于網(wǎng)N中的任一有向回路中,記Ts1={t∈T|s1到t存在有向路}。因?yàn)閨˙s1|≥1,所以?t2∈T-Ts1為s1的前置變遷,又因?yàn)?t∈T?|˙t|≥1,所以?s2∈˙t2,依此類推,可逐步構(gòu)造變遷庫所序列t2s2…tisi…,其中。由于|S|和|T|的有限性,上述序列中必存在tj=tk∈T-Ts1,即tj存在于一個(gè)有向回路中,記為Cj,令Tj={t∈T|t∈Cj},基于Tj得到網(wǎng)N的T-外延子網(wǎng)Nj=(Sj,Tj;Fj),其中,。此時(shí),若?s∈Sj在Nj中滿足自回路條件,則易得s1滿足前置回路條件;否則,若?sk∈Sj在Nj中不滿足自回路條件但在網(wǎng)N中滿足自回路條件,其對應(yīng)的回路為Ck,記Tk={t∈T|t∈Ck},以Tj∪Tk為基礎(chǔ)進(jìn)一步構(gòu)造得到N的T-外延子網(wǎng)Njk=(Sjk,Tjk;Fjk),對Nj中所有在Nj中不滿足自回路條件但在網(wǎng)N中滿足自回路條件的庫所元素進(jìn)行同樣的操作,最終可得到N的T-外延子網(wǎng),此時(shí)若,s在中滿足自回路條件,易得s1滿足前置回路條件;否則,?在網(wǎng)與網(wǎng)N中均不滿足自回路條件,此時(shí)對sr進(jìn)行與s1相同的操作可得到與sr相應(yīng)的網(wǎng)N的T-外延子網(wǎng)Nr=(Sr,Tr;Fr),對Nr進(jìn)行與Nj相同的處理并持續(xù)進(jìn)行下去。顯然,在此過程中各T-外延子網(wǎng)的變遷候選集合規(guī)模逐步縮小,由于|T|的有限性,因此上述過程不可能無限進(jìn)行下去,必存在網(wǎng)N的T-外延子網(wǎng)Ne=(Se,Te;Fe),且?s∈Se滿足自回路條件,從而說明s1滿足前置回路條件。

    綜合以上兩種情形所述,性質(zhì)1 得證。

    定理3若無沖突Petri 網(wǎng)N=(S,T;F) 中?s∈S?|˙s|≥1,則網(wǎng)N是結(jié)構(gòu)活的。

    顯然,若在無沖突Petri 網(wǎng)N=(S,T;F) 中?s∈S?|˙s|=0,即存在源庫所元素時(shí)網(wǎng)N不是結(jié)構(gòu)活的,由定理3 可知,對無沖突Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活性的判斷等同于對其中是否存在源庫所元素的判斷。基于Petri 網(wǎng)的關(guān)聯(lián)矩陣[12],只需檢測網(wǎng)N的關(guān)聯(lián)矩陣中是否有某一列元素取值中無“1”存在,就可以在多項(xiàng)式時(shí)間O(|S|·|T|)內(nèi)完成對無沖突Petri網(wǎng)的結(jié)構(gòu)活性判定,即實(shí)現(xiàn)無沖突Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活性的多項(xiàng)式時(shí)間判定方法。

    推論2設(shè)無沖突Petri 網(wǎng)N=(S,T;F)是結(jié)構(gòu)活的,若網(wǎng)N的標(biāo)識(shí)M0使網(wǎng)N中的任一有向回路C滿足M0(c)≥1,則M0是網(wǎng)N的一個(gè)活標(biāo)識(shí)。

    但推論2 中無沖突Petri 網(wǎng)的活標(biāo)識(shí)條件僅為Petri 網(wǎng)活標(biāo)識(shí)的一個(gè)充分條件,例如對圖1 中的網(wǎng)N1,M0=(1,0,0,1,0)是網(wǎng)N1的一個(gè)活標(biāo)識(shí),且?M1≥M0也是網(wǎng)N1的一個(gè)活標(biāo)識(shí),但M2=(1,0,0,0,0)盡管不滿足推論2 中的條件,卻也是網(wǎng)N1的一個(gè)活標(biāo)識(shí)。

    3 結(jié)束語

    本文針對無沖突Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活性的判定問題,從Petri 網(wǎng)中有向回路結(jié)構(gòu)入手,通過分析庫所元素及其后置變遷元素之間是否存在有向回路等結(jié)構(gòu)逐步分析與無沖突Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活性相關(guān)的條件及結(jié)論,得到無沖突Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活性的充分必要條件,并且可在多項(xiàng)式時(shí)間復(fù)雜度內(nèi)判定無沖突Petri網(wǎng)的結(jié)構(gòu)活性。該結(jié)論能為通過分析Petri 網(wǎng)中有向回路結(jié)構(gòu)對Petri 網(wǎng)結(jié)構(gòu)活性的影響進(jìn)而判斷Petri網(wǎng)的結(jié)構(gòu)活性的方法提供較好的參考和借鑒。后續(xù)可將本文方法擴(kuò)展到具有沖突結(jié)構(gòu)的Petri網(wǎng)的結(jié)構(gòu)活性判斷問題中,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究Petri 網(wǎng)系統(tǒng)的活性判定方法。

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