等量異號雙環(huán)電荷在軸線上產(chǎn)生勻強(qiáng)電場條件的研究*

周群益

(廣州理工學(xué)院通識(shí)教育學(xué)院 廣東 廣州 510540)

莫云飛

(長沙學(xué)院電子信息與電氣工程學(xué)院 湖南 長沙 410022)

侯兆陽

(長安大學(xué)理學(xué)院 陜西 西安 710064)

周麗麗

(贛南醫(yī)學(xué)院醫(yī)學(xué)信息工程學(xué)院 江西 贛州 341000)

1 引言

兩個(gè)半徑和電流大小方向都相同的共軸通電線圈的距離等于半徑時(shí)，中間部分接近于勻強(qiáng)磁場，這種線圈稱為亥姆霍茲線圈[1～3]．兩個(gè)大小相同的共軸圓環(huán)帶有等量異號電荷時(shí)，簡稱為帶電雙環(huán)．當(dāng)雙環(huán)很近時(shí)，在遠(yuǎn)處產(chǎn)生的電場等效于一個(gè)電偶極子產(chǎn)生的電場[4]．與亥姆霍茲線圈類似，當(dāng)兩環(huán)之間的距離等于某一臨界距離時(shí)，兩環(huán)之間的電場接近于勻強(qiáng)電場．文中說明了雙環(huán)之間的場強(qiáng)隨距離變化的規(guī)律，求出了臨界距離和臨界電場．

2 軸線上的電場隨距離的變化

如圖1所示，取z軸為兩環(huán)共軸，原點(diǎn)取在兩環(huán)正中間．設(shè)兩個(gè)圓環(huán)的半徑為a，距離為2L，均勻帶有等量異號電荷±Q．

圖1 等量異號共軸雙環(huán)電荷的場強(qiáng)

當(dāng)均勻正負(fù)圓環(huán)電荷中心位于原點(diǎn)時(shí)，在軸線上產(chǎn)生的場強(qiáng)為[2～4]

(1)

場強(qiáng)和距離無量綱化處理后關(guān)系如圖2所示，帶正電荷的圓環(huán)在軸線上產(chǎn)生的場強(qiáng)用先負(fù)后正的虛線表示，帶負(fù)電荷的圓環(huán)在軸線上產(chǎn)生的場強(qiáng)用先正后負(fù)的點(diǎn)虛線表示，當(dāng)兩環(huán)重合時(shí)，L=0,合場強(qiáng)為零用實(shí)線表示．

圖2 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = 0)

兩條曲線都有一個(gè)“峰”，E±(z)對z求導(dǎo)數(shù)，可得

(2)

(3)

如圖3所示，正電荷向左,負(fù)電荷向右拉開雙環(huán)，當(dāng)L= 0.1a時(shí)，原點(diǎn)處的合場強(qiáng)形成一個(gè)“峰”，稱為“主峰”．“主峰”附近的電場并不均勻．

圖3 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = 0.1a)

繼續(xù)拉開雙環(huán)，“主峰”不斷長高．如圖4所示，當(dāng)L= 0.707 11a時(shí)，兩個(gè)環(huán)的“峰”重疊，合場強(qiáng)的“主峰”達(dá)到最高．

圖4 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = 0.707 11a)

繼續(xù)拉開雙環(huán)，“主峰”不斷降低．如圖5所示，當(dāng)L=a時(shí)，兩個(gè)環(huán)的“峰”錯(cuò)開，“主峰”降低一些．

圖5 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = a)

繼續(xù)拉開雙環(huán)，“主峰”將分裂為兩個(gè)對稱的“次峰”．如圖6所示，當(dāng)L= 2a時(shí)，“主峰”變成了“主谷”．“主谷”附近的電場也不太均勻．

圖6 雙環(huán)電荷軸線上的電場強(qiáng)度(L = 2a)

3 軸線上的臨界距離和臨界電場

在“主谷”的兩側(cè)各有一個(gè)對稱的拐點(diǎn)．如果減少雙環(huán)之間的距離，兩個(gè)拐點(diǎn)將向中垂線靠攏．當(dāng)兩個(gè)拐點(diǎn)恰好在中垂線重合時(shí)，“主谷”消失，兩個(gè)“次峰”就合并為一個(gè)“平峰”，這個(gè)距離是臨界距離．

在圖1中，左環(huán)正電荷在場點(diǎn)軸線點(diǎn)P處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

(4)

右環(huán)負(fù)電荷在軸線上場點(diǎn)P處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為

(5)

合場強(qiáng)為

E(z) =E1(z) +Ez(z)=

(6)

L是兩環(huán)之間的半距離，是決定場強(qiáng)分布規(guī)律的參數(shù)．將E(z)對z求導(dǎo)數(shù)得

(7)

二階導(dǎo)數(shù)為

(8)

解得

(9)

2LC是兩環(huán)之間的臨界距離，LC就是臨界半距．這種雙環(huán)稱為臨界雙環(huán)或亥姆霍茲雙環(huán)．臨界雙環(huán)在z= 0處的臨界場強(qiáng)為

(10)

臨界雙環(huán)的電場強(qiáng)度如圖7所示，在原點(diǎn)附近電場比較均勻．

圖7 臨界雙環(huán)軸線上的電場強(qiáng)度(L = LC)

4 公式的無量綱化和MATLAB程序

取半徑a為長度單位，則無量綱的坐標(biāo)和距離為

(11)

(12)

MATLAB的計(jì)算功能和圖形功能都很強(qiáng)，根據(jù)公式可設(shè)計(jì)一個(gè)簡短的程序，完成各種曲線的計(jì)算和繪制(見附錄)．

5 結(jié)束語

靜電學(xué)和恒磁學(xué)往往有一些相似的問題．既然亥姆霍茲線圈可以在軸線上產(chǎn)生均勻磁場，也應(yīng)該存在“亥姆霍茲雙環(huán)”在軸線上產(chǎn)生均勻電場．這是一種十分有趣的聯(lián)想．利用亥姆霍茲線圈磁場的求法，即可求得臨界雙環(huán)的電場．

利用MATLAB能夠簡單地求出臨界距離，還可以將雙環(huán)電荷所形成的電場隨距離的變化過程用動(dòng)畫演示出來．