巧用初中平面幾何知識解三角形

陳政敏

(重慶市田家炳中學(xué) 重慶 400050)

解三角形是高考中的熱點(diǎn)，也是難點(diǎn)，涉及正余弦定理、三角函數(shù)的公式應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量大。學(xué)生普遍反映最害怕這一類題：題目不告訴邊角關(guān)系，而是給出幾何圖形，圖形看起簡單，題干簡潔，但條件很分散。如果用傳統(tǒng)的方法（正余弦定理和三角函數(shù)中的公式）來解決，往往顯得很繁瑣，計(jì)算量特別大，但如果能與初中的平面幾何知識（全等或相似、旋轉(zhuǎn)等）相結(jié)合，很多問題就會(huì)迎刃而解。下面通過兩道題重點(diǎn)分析這類題的典型解法和最優(yōu)解法。

解：把△ACE繞著點(diǎn)a順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到△ABF，連接DF，由旋轉(zhuǎn)的知識可知：AF=AE，BF=CE=5，∠FAB=∠EAC，∠ABF=∠C=60O，

∴∠FAE=∠FAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE=∠BAC=60O

又∠DAE=30O

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠FAE-∠DAE=30O=∠DAE，△AFD≌△AED

∴DE=DF.

在△BFD中，BD=16，BF=5，∠FBD=120O，由余弦定理得DF2=BD2+BF2-2BD·BF·cos∠FBD=361，∴DF=19，

∴AB=BC=BD+DE+EC=40

畫龍點(diǎn)睛：解法三巧妙利用初中平面幾何旋轉(zhuǎn)和全等的知識，把零散的條件集中在△BFD中，用余弦定理求出DF，解方法三相對于解法一和二，計(jì)算量小得多。

從以上兩個(gè)例題的解法分析可以看出，盡管是高中的數(shù)學(xué)問題，也可以用已學(xué)的初中知識來解決。涉及解三角形的題目，可以合理利用平面幾何知識，適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造直角三角形或者構(gòu)造全等三角形，把不在一個(gè)三角形的問題轉(zhuǎn)換到同一個(gè)三角形中來處理，再結(jié)合三角函數(shù)計(jì)算，從而減少運(yùn)算量，輕而易舉地解決問題。