理工科專業(yè)基于MATLAB輔助線性代數(shù)教學改革與實踐

李泓霖

(重慶師范大學物理與電子工程學院 重慶 401331)

線性代數(shù)是各理工科專業(yè)的一門基礎(chǔ)必修課，具有廣泛的實用性，其主要研究線性空間相關(guān)問題，邏輯性較強。線性問題廣泛存在于各個科技領(lǐng)域，本課程所介紹的方法可適用于各個學科。通過該課程的學習，要求學生掌握線性代數(shù)的基本內(nèi)容，如行列式、矩陣、線性方程組、線性空間等[1]；預期能夠使學生具備一定的空間想象力和分析解決問題的能力，為后繼專業(yè)課的學習做好必要的數(shù)學準備。這些學科特點對線性代數(shù)的教學提出了新要求，不僅要求學生掌握基礎(chǔ)的知識、具備解決基本問題的能力，還要在此基礎(chǔ)之上謀求創(chuàng)新發(fā)展。我國高校目前大多重知識輕實踐，對關(guān)鍵知識點的理解把握關(guān)注不夠。這就造成了許多應用型工科專業(yè)學生對相關(guān)概念的具體內(nèi)涵不甚清楚。線性代數(shù)課程最大的特點是理論性強、知識體系涵蓋范圍廣，要求學生準確把握和理解關(guān)鍵知識點存在相當?shù)碾y度。實際教學過程中發(fā)現(xiàn)，學生面對諸如轉(zhuǎn)置、分塊矩陣、向量內(nèi)積，尤其是特征值和特征向量等抽象概念的時候，只能憑想象去理解而無法建立直觀的感受，因而常產(chǎn)生厭學情緒，傷害學生的積極性，教學效果往往不及預期[2]。針對上述線性代數(shù)課程特點，我們從教學模式方面進行了全新的嘗試。經(jīng)過兩學期的教學實踐，發(fā)現(xiàn)利用MATLAB輔助教學可在最大程度上幫助學生直觀地理解線性代數(shù)的幾個重要概念并達到課程培養(yǎng)目的。

一、線性代數(shù)教學現(xiàn)狀

線性代數(shù)是我院電子專業(yè)本科學生的專業(yè)主干課程，其教學目標是使學生基本掌握幾類計算方法，較好地理解線性代數(shù)這門課的抽象理論，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力、自學能力和應用能力。但以往課堂教學無法達到這種效果，主要是由于以下幾點問題：

（一）學習缺乏積極性

本專業(yè)的線性代數(shù)安排在大一上，與高數(shù)同步進行。此時學生不僅要適應高數(shù)的教學節(jié)奏，還要逐漸培養(yǎng)適合線性代數(shù)的學習策略。從實際反饋看，大一學生普遍反映線性代數(shù)難于高等數(shù)學，出現(xiàn)了畏學厭學、學習興趣減弱、積極性下降等情緒。這些現(xiàn)象主要是由于高數(shù)中如函數(shù)、導數(shù)等概念可以順利延續(xù)中學的理解，學生可以快速構(gòu)建自己的數(shù)學體系來幫助理解新知識[3]。而線性代數(shù)的很多概念都是全新的，比如行列式、轉(zhuǎn)置、逆序數(shù)、矩陣、秩、正交等，而且線性代數(shù)知識體系有較強的內(nèi)在關(guān)聯(lián)性和邏輯性，對大一新生而言，一旦初期跟不上，后續(xù)很難通過自學完成課程目標，導致失去學習興趣。

（二）知識體系聯(lián)系緊密、內(nèi)容抽象

線性代數(shù)的知識點都具有一定的抽象性和概括性。教學中很多時候不可避免地脫離實際情景去講述重點難點，這樣教學模式就顯得單一，內(nèi)容難免枯燥晦澀。此外，我們調(diào)研發(fā)現(xiàn)各大高校的線性代數(shù)教學安排普遍為32學時，考慮到實際情況我們學院增加到了48學時，但實際教學過程中仍感到學時略顯不足。

（三）教學模式傳統(tǒng)，學習方式單一

目前我院線性代數(shù)采用課堂講授、課后做題的傳統(tǒng)的授課模式，學生基數(shù)大，難于單個獨立輔導，學生在課堂上有疑問無法及時得到解決，只能對共性問題加以解釋[4]。為了在有限的時間內(nèi)完成規(guī)定的課程目標和教學任務，教師往往專注于重要知識點的講授，側(cè)重于理論的闡述，而相應的背景知識、如何靈活運用、怎樣與專業(yè)知識相聯(lián)結(jié)等方面相應地有所減弱，這就會出現(xiàn)學生只懂得做題，而不會利用所學解決實際問題的情況。

（四）評價體系不完善

與大多數(shù)兄弟院校類似，目前我院對學生學習的考核方式為期中考試、平時成績和期末考試，各占30%、20%和50%。平時成績主要以考勤、作業(yè)及課堂表現(xiàn)進行考核。該考核體系測評因素多為考查學生的計算能力、知識點掌握的程度和一部分應用能力，而對學生的學習主動性、創(chuàng)新性、創(chuàng)造性等自主學習能力測查不夠。

二、針對線性代數(shù)教學現(xiàn)狀的改進措施

（一）著重培養(yǎng)學生的學習興趣和積極性

要提高學生對線性代數(shù)的學習興趣，需要加強所學知識與相關(guān)專業(yè)課程的融合，調(diào)整傳統(tǒng)單一授課模式，順應高校教學發(fā)展，將專業(yè)軟件、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等融入日常教學中，充分利用好工科專業(yè)具備的實訓環(huán)境與硬件資源，培養(yǎng)學生實際操作分析能力。以我院為例，近年來不斷加強線性代數(shù)與python、MATLAB、大數(shù)據(jù)分析等課程的整合溝通，讓學生切身感受到知識的應用價值。

（二）改進考核方式，增加實踐環(huán)節(jié)

課程考核是衡量教學成果、評價學習成效的重要環(huán)節(jié)。根據(jù)我們近幾年的實際教學經(jīng)驗，可在原期中考試、平時成績和期末考試三部分中加入第四環(huán)節(jié)：課程實踐，占總成績的10%，期中考試分值降至20%。課程實踐采用課后作業(yè)形式自由發(fā)揮，遴選具有一定抽象性與發(fā)散性的知識點，結(jié)合實際背景，讓學生充分討論分析，查閱文獻等相關(guān)資料，最后以電子文檔形式給出解決方案。

（三）改進教學方法，豐富教學手段

加強線性代數(shù)知識的理解并為后續(xù)綜合應用需從兩方面認識：課堂知識與應用技能[5]。課堂知識是實踐應用的基礎(chǔ)，從程序本身講，線性代數(shù)中的絕大部分知識點都可用MATLAB來實踐。我們需要做的就是適當合理地引導學生，使其熟練掌握這些可由程序完成的運算操作。通過前期溝通，我們學院將MATLAB也安排在了大一上學期開設(shè)，這樣利用軟件來完成線性代數(shù)知識點的理解和鞏固成了最優(yōu)的安排配置，以此提高學生運用知識的能力。讓學生運用MATLAB進行簡單操作，并實踐相關(guān)的知識點包括：行列式與矩陣、轉(zhuǎn)置的概念、矩陣的秩、矩陣的基本運算以及求解線性方程組等。

三、基于MATLAB平臺的實踐教學探索

要對線性代數(shù)進行教學改革，理論聯(lián)系實際則成了不可或缺的環(huán)節(jié)。最好的方式是讓學生自己動手，依托所學知識點進行相關(guān)具體探索與操作。矩陣及其運算、轉(zhuǎn)置、向量的內(nèi)積等知識點往往抽象難懂，課堂講授的模式學生較難理解[6]。為了解決這一現(xiàn)實問題，我們結(jié)合同期開設(shè)的MATLAB課程搭建起了成本低、簡單易用、界面人性化的MATLAB實踐教學平臺，作為課堂講授的有效補充。

以第二章矩陣及其運算章節(jié)為例，矩陣的基本運算性質(zhì)（假設(shè)運算可行）包括滿足交換律和結(jié)合律，而矩陣與數(shù)的乘法是將數(shù)乘矩陣A中的每一個元素。我們在解釋矩陣與數(shù)的乘法這一知識點時，讓學生做出一個矩陣圖形，然后對其進行數(shù)乘操作，可以非常直觀地理解為什么需要將數(shù)乘以矩陣A中的每一個元素。

圖1 利用MATLAB對矩陣數(shù)據(jù)進行作圖（學生作業(yè)）

能帶結(jié)構(gòu)是半導體物理中重要的基礎(chǔ)知識，我們給學生一個半導體能帶結(jié)構(gòu)的矩陣數(shù)據(jù)，要求學生利用MATLAB作出相應圖形，而后進行數(shù)乘運算。能帶結(jié)構(gòu)是半導體物理中的概念，貫穿電子專業(yè)后續(xù)必修課程的學習。對能帶的理解需要固體物理相關(guān)知識的支撐，這對學生存在一定的難度。這一步我們直接給出矩陣數(shù)據(jù)，讓學生自由作圖并修改。圖1為學生實際作出的能帶矩陣圖，從中可看出半導體的寬度及導帶和價帶等特征。如果對其進行數(shù)乘運算，則圖形整體將發(fā)生變化，這使得學生能夠直觀地看出為什么矩陣的數(shù)乘運算要對矩陣中的每一個元素進行操作，使學生明白其中的關(guān)聯(lián)。同時更可加深對晶體結(jié)構(gòu)、作圖細節(jié)等技能的理解和掌握，為后續(xù)深入學習打好基礎(chǔ)。根據(jù)我們的觀察分析，這種實踐環(huán)節(jié)的加入能夠明顯提高學生的主動性和積極性。通過MATLAB輔助實踐教學，明顯改善了線性代數(shù)的教學效果，讓學生更深入地理解線性代數(shù)的基礎(chǔ)知識，激發(fā)了他們的創(chuàng)新思維和鉆研精神。

四、結(jié)束語

線性代數(shù)是工科專業(yè)的一門基礎(chǔ)必修課，不僅要求學生了解相關(guān)基本概念、基本知識和基本方法，為后續(xù)專業(yè)課打牢基礎(chǔ)，還要提高實際解決問題的能力。本專業(yè)的培育目標是為社會輸出合格的應用型人才，根據(jù)以往線性代數(shù)教學過程中存在的問題，我們對相關(guān)的教改內(nèi)容提出幾點思考，并進行了有益探索。本文介紹了MATLAB在教學實踐方面的應用，結(jié)果顯示這種模式可初步解決線性代數(shù)課程抽象難懂的問題，激發(fā)學生的學習興趣，有效補充實踐教學環(huán)節(jié)。