基于MCKD和VMD關(guān)聯(lián)維數(shù)的軸承故障特征提取AR模型*

申 童，劉復(fù)秋宣，高學(xué)亮，岳曉峰

（長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，長(zhǎng)春 130012）

0 引言

滾動(dòng)軸承廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械設(shè)備中，其運(yùn)行狀態(tài)直接影響設(shè)備的性能和安全。據(jù)統(tǒng)計(jì)，引起旋轉(zhuǎn)機(jī)械故障的原因中，滾動(dòng)軸承所占比重在70%以上[1]。受限于工作環(huán)境，振動(dòng)測(cè)試傳感器采集到的沖擊成分往往比較微弱，導(dǎo)致滾動(dòng)軸承早期故障特征淹沒在噪聲中，難以被準(zhǔn)確提取和識(shí)別。因此，滾動(dòng)軸承早期故障診斷一直是研究的重點(diǎn)和難點(diǎn)[2－4]。

針對(duì)上述問題，常用的時(shí)頻分析方法有經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）、總體平均經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD）、局部經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解（Local Mode Decomposi?tion，LMD）等。徐卓飛等[5]把EMD和主成分分析相結(jié)合，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)特性，分析了振動(dòng)信號(hào)時(shí)域特征和故障模式之間關(guān)系；董文智等[6]提出了EEMD能量熵和支持向量機(jī)相結(jié)合的方法，通過計(jì)算能量熵值判斷是否發(fā)生故障，并把特征向量輸入到支持向量機(jī)中，有效地進(jìn)行了軸承故障分類；張淑清等[7]提出了LMD近似熵和模糊C結(jié)合的方法，通過近似熵值做特征提取向量，并用FCM模糊聚類對(duì)故障進(jìn)行準(zhǔn)確識(shí)別分類。雖然這些方法能為軸承故障診斷特征提取提供一定的參考，但EMD存在著端點(diǎn)效應(yīng)、算法效率低的問題，EEMD雖有所改善，仍擺脫不了計(jì)算效率差、模態(tài)混疊的狀況，LMD存在著統(tǒng)計(jì)偏移和最佳結(jié)構(gòu)元素選擇問題[8]。這些問題都影響了對(duì)軸承故障特征準(zhǔn)確度的辨識(shí)。2014年Dragomiretskiy等[9]提出一種自適應(yīng)的信號(hào)處理方法——變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition，VMD），該方法將信號(hào)分量的獲取過程轉(zhuǎn)移到變分框架內(nèi)，采用一種非遞歸的處理策略，通過構(gòu)造并求解約束變分問題實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信號(hào)的分解，具有堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。最大相關(guān)峭度解卷積（Maximum Correlated Kurtosis Deconvolution，MCKD）是McDonald等[10]在2012年以最小熵解卷積為背景，提出的一種具有良好去噪能力、凸顯故障特征的新方法。該方法通過相關(guān)峭度評(píng)價(jià)指標(biāo)，不斷迭代實(shí)現(xiàn)解卷積，從而凸顯被噪聲淹沒的連續(xù)脈沖序列[11]。

基于上述分析，針對(duì)滾動(dòng)軸承早期微弱故障難以提取的問題，為增強(qiáng)軸承振動(dòng)信號(hào)中的沖擊成分，降低噪聲影響，本文提出一種基于MCKD和VMD關(guān)聯(lián)維數(shù)的滾動(dòng)軸承故障診斷AR模型，首先利用MCKD對(duì)故障信號(hào)進(jìn)行降噪，再通過VMD對(duì)降噪后的信號(hào)進(jìn)行分解，重構(gòu)信號(hào)建立AR模型，獲取自回歸參數(shù)，最后通過計(jì)算自回歸參數(shù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)對(duì)滾動(dòng)軸承故障進(jìn)行診斷。

1 MCKD算法

MCKD算法通過計(jì)算尋找一適用的長(zhǎng)度為l的濾波器f(l)，使分析信號(hào)中沖擊成分的相關(guān)峭度值最大，從而恢復(fù)其自身特性，濾除信號(hào)x內(nèi)噪聲干擾成分，相關(guān)峭度可定義為：

為獲取能夠使MCKM(T)最大的一個(gè)最優(yōu)濾波器，令：

式中：T為信號(hào)中沖擊成分的周期；M為位移數(shù)；f為濾波器內(nèi)向，f＝[f1.f2.….fL]T。

對(duì)上述問題進(jìn)行優(yōu)化求解并轉(zhuǎn)化為矩陣形式，最終濾波器系數(shù)可表示為：

將上式所得濾波器系數(shù)組合f代入公式（2），即可獲得采集信號(hào)x中的故障沖擊成分y。

2 VMD算法

VMD方法根據(jù)模態(tài)分解個(gè)數(shù)K將原始信號(hào)f（x）分解為K個(gè)中心頻率為ωk(t)的模態(tài)函數(shù)uk(t)，該方法將IMF分量重新定義為一具有限帶寬的調(diào)幅－調(diào)頻信號(hào)。

式中：Ak(t)≥0為uk(t)的瞬時(shí)幅值；ωk(t)為uk(t)的瞬時(shí)頻率；φk(t)為非遞減相位函數(shù)。為估算出每個(gè)IMF分量的帶寬，首先對(duì)每個(gè)模態(tài)函數(shù)uk(t)進(jìn)行Hilbert變換，得到邊際譜；然后向各模態(tài)解析信號(hào)內(nèi)添加指數(shù)項(xiàng)，將uk(t)頻譜變換至基帶上；最后計(jì)算解析信號(hào)梯度的平方L2范數(shù)，從而獲得模態(tài)函數(shù)的帶寬。

則受約束變分問題模型為：

式中：{uk}={u1.u2.….uk}，為VMD分解所得各IMF分量；{ωk}={ω1.ω2.???.ωk}，為各IMF分量的中心頻率；δ(t)為脈沖函數(shù)。

引入二次懲罰因子和拉格朗日乘法算子求解上述約束變分問題的最優(yōu)解，通過乘法算子交替方向法交替更新和λn+1以獲取擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式的鞍點(diǎn)。求模態(tài)函數(shù)取值問題則可表達(dá)為：

則求得的模態(tài)分量uk及中心頻率ωk分別為：

對(duì)于給定判定精度e>0，當(dāng)滿足式（8）時(shí)分解迭代停止，并由此得到最終模態(tài)分量及對(duì)應(yīng)中心頻率ωk。

3 VMD關(guān)聯(lián)維數(shù)的AR模型

設(shè)信號(hào)經(jīng)VMD分解所得K個(gè)IMF分量，其中對(duì)故障特征敏感的IMF分量為p個(gè)，將p個(gè)IMF分量形成重構(gòu)信號(hào)z(t)，對(duì)其建立AR模型AR(m)：

式中：φk(k=1.2.···.m)、m分別為重構(gòu)信號(hào)z(t)的AR(m)模型參數(shù)和階數(shù)；e(t)為模型殘差，關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算時(shí)，采用G－P算法[12]。

設(shè)距離閾值為r，C(r)為距離rij小于r的點(diǎn)對(duì)數(shù)在所有點(diǎn)對(duì)數(shù)中的比例：

式中：N為總相點(diǎn)數(shù)；θ(x)為Heaviside函數(shù)。

C(r)為關(guān)聯(lián)積分，是空間中兩點(diǎn)間距rij＜r概率，選擇恰當(dāng)r的范圍，使C(r)隨著r的變化為：

式中：D為關(guān)聯(lián)維數(shù)，可由下式求得：

分別以lnr和lnC(r)為橫、縱坐標(biāo)，則lnC(r)－lnr變化曲線的斜率對(duì)于逐漸增大的嵌入維數(shù)n逐漸收斂于一個(gè)值，則該值就是關(guān)聯(lián)維數(shù)D。

4 試驗(yàn)研究

為了驗(yàn)證所提出的方法，本文采用的是美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)的軸承信號(hào)集數(shù)據(jù)。其振動(dòng)采集實(shí)驗(yàn)平臺(tái)驅(qū)動(dòng)端電機(jī)負(fù)載為1 HP，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為1 772 r/min，采樣頻率為12 kHz，采取故障較為微弱的0.007 in的軸承內(nèi)圈、外圈和滾動(dòng)體故障信號(hào)進(jìn)行分析與驗(yàn)證，信號(hào)分析時(shí)長(zhǎng)選取1 s，軸承型號(hào)為6205－2RS。

圖1所示為一隨機(jī)內(nèi)圈故障信號(hào)頻譜，其振動(dòng)信號(hào)頻譜中存在較多高頻干擾噪聲，軸承故障特征頻率難以辨別，且低頻特征噪聲影響更明顯。

圖1 內(nèi)圈故障信號(hào)頻譜

為提升信號(hào)的信噪比，增強(qiáng)故障特征差異，本文對(duì)上述滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行MCKD降噪，降噪后內(nèi)圈故障的振動(dòng)信號(hào)如圖2所示。不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)經(jīng)MCKD降噪后，信號(hào)內(nèi)的絕大多數(shù)噪聲成分得到有效濾除，信號(hào)內(nèi)的沖擊成分得以增強(qiáng)。MCKD降噪后信號(hào)的頻譜如圖3所示。對(duì)比圖2和圖3可知，經(jīng)MCKD去噪后，內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)頻譜內(nèi)低頻區(qū)域沖擊成分的譜線峰值明顯增多。

圖2 MCKD降噪后內(nèi)圈故障振動(dòng)信號(hào)

圖3 MCKD降噪后內(nèi)圈故障信號(hào)頻譜

采用VMD方法對(duì)上述MCKD降噪信號(hào)進(jìn)行分解，分解過程中，模態(tài)分解個(gè)數(shù)K＝6，懲罰因子α＝2 400，分解所得各IMF分量和其頻譜如圖4所示。由圖可知，VMD分解結(jié)果中，各IMF分量間未出現(xiàn)明顯的模態(tài)混疊問題，表明參數(shù)選取方法具有較好的適用性。

圖4 MCKD降噪后內(nèi)圈故障信號(hào)的VMD分解結(jié)果及各IMF分量頻譜

為有效選取包含主要內(nèi)圈故障特征信息的模態(tài)分量，進(jìn)一步降低噪聲成分的影響，分別計(jì)算各IMF分量的峭度和MCKD去噪后信號(hào)間的互信息熵，結(jié)果如表1所示。由表可知，IMF1和IMF3的峭度和互信息熵值較大，因此選取上述IMF分量對(duì)內(nèi)圈故障信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)后信號(hào)的時(shí)域波形和頻譜如圖5~6所示。由圖可知，內(nèi)圈故障重構(gòu)信號(hào)中的高、低頻域內(nèi)沖擊成分譜線峰值得以明顯增強(qiáng)。

表1 內(nèi)圈故障信號(hào)各IMF分量的峭度和互信息熵

圖5 內(nèi)圈故障重構(gòu)信號(hào)的時(shí)域波形

按上述步驟分別對(duì)正常軸承、外圈故障軸承和滾動(dòng)體故障軸承信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，所得重構(gòu)信號(hào)時(shí)域波形和頻譜如圖7~8所示。對(duì)比圖5和圖7，圖6和圖8可知，重構(gòu)信號(hào)中的沖擊成分得到更加有效地突顯，信號(hào)頻譜中低頻域內(nèi)沖擊成分的譜線峰值更加明顯，為后續(xù)信號(hào)特征的準(zhǔn)確提取提供了保證。

圖6 內(nèi)圈故障重構(gòu)信號(hào)的頻譜

圖7 不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承重構(gòu)信號(hào)時(shí)域波形

圖8 不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承重構(gòu)信號(hào)頻譜

對(duì)圖6和圖8中不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承重構(gòu)信號(hào)建立AR模型，采用最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則確定模型階數(shù)n，并通過時(shí)延相圖法獲取AR模型自回歸參數(shù)的相空間。在此基礎(chǔ)上，計(jì)算其關(guān)聯(lián)維數(shù)，結(jié)果如圖9所示。其中，嵌入維數(shù)取值范圍為5～15。由此可知，不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承重構(gòu)信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)除在個(gè)別嵌入維數(shù)上有所重疊外，具有較好的區(qū)分度。其中在嵌入維數(shù)為6～10區(qū)域內(nèi)區(qū)分效果較為理想，說明可采用本文方法可實(shí)現(xiàn)對(duì)滾動(dòng)軸承早期故障診斷。未經(jīng)降噪處理的滾動(dòng)軸承信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)如圖10所示，經(jīng)MCKD去噪后的滾動(dòng)軸承信號(hào)關(guān)聯(lián)維數(shù)如圖11所示。對(duì)比圖9～11可知，不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)較為接近，難以實(shí)現(xiàn)故障類型的有效區(qū)分和診斷。

圖9 不同狀態(tài)重構(gòu)信號(hào)AR模型自回歸參數(shù)序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)

圖10 不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承原始振動(dòng)信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)

圖11 不同狀態(tài)下MCKD去噪后滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)AR模型自回歸參數(shù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)

采用所提方法對(duì)不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承的各10組振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行MCKD降噪，并進(jìn)行VMD重構(gòu)，計(jì)算重構(gòu)信號(hào)AR模型自回歸參數(shù)序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)。

結(jié)合圖10的分析，選擇嵌入維數(shù)為6～10時(shí)關(guān)聯(lián)維數(shù)的分布曲線對(duì)滾動(dòng)軸承故障進(jìn)行診斷，不同狀態(tài)下各組信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)如圖12所示。由圖可知，在指定嵌入維數(shù)上，軸承外圈故障、內(nèi)圈故障、滾動(dòng)體故障經(jīng)MCKD降噪和VMD重構(gòu)的滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)具有良好的區(qū)分度，說明滾動(dòng)軸承經(jīng)MCKD去噪后，信號(hào)內(nèi)的噪聲干擾成分得到濾除，VMD重構(gòu)實(shí)現(xiàn)了信號(hào)的非線性化，所建立AR模型的自回歸參數(shù)序列包含了信號(hào)的自身特征信息，強(qiáng)化了特征差異，保證了關(guān)聯(lián)維數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性，可以據(jù)此對(duì)滾動(dòng)軸承的障類型進(jìn)行診斷。

圖12 不同狀態(tài)下滾動(dòng)軸承信號(hào)的關(guān)聯(lián)維數(shù)

5 結(jié)束語

針對(duì)滾動(dòng)軸承早期故障特征微弱，特征信息難以提取的問題，本文提出了一種基于MCKD和VMD關(guān)聯(lián)維數(shù)的滾動(dòng)軸承故障診斷AR模型。該模型采用MCKD對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪處理，提升了信號(hào)的信噪比；根據(jù)峭度和互信息熵值對(duì)故障特征敏感的IMF分量進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，根據(jù)建立的AR模型，計(jì)算出在指定嵌入維數(shù)上自回歸參數(shù)的關(guān)聯(lián)維數(shù)。實(shí)驗(yàn)分析結(jié)果表明，所提出的AR模型在指定嵌入維數(shù)上可強(qiáng)化滾動(dòng)軸承早期微弱故障特征差異，故障診斷結(jié)果準(zhǔn)確有效。