基于β散度約束的非負(fù)矩陣分解的機(jī)械復(fù)合故障診斷方法*

王夢(mèng)陽(yáng)，郭 勁，薛向堯，時(shí) 魁，邵明振，王 光，遇 超

（1.中國(guó)科學(xué)院長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長(zhǎng)春 130033；2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

0 引言

非負(fù)矩陣分解（NMF）是一種新的特征提取方法，由于分解前后的矩陣中僅包含非負(fù)的元素，在某種意義上抓住了智能數(shù)據(jù)描述的本質(zhì)，使其分解結(jié)果更具物理意義[1]。由于算法的簡(jiǎn)便性，特征信息的局部性[2]，因而在生物醫(yī)學(xué)工程、模式識(shí)別、圖像目標(biāo)提取等方面應(yīng)用廣泛[2]。

隨著算法的不斷推廣，有學(xué)者將NMF算法應(yīng)用在盲源分離的問題上。相較于傳統(tǒng)解決盲源分離采用的獨(dú)立分量分析和稀疏分量分析算法，非負(fù)矩陣分解算法分解形式簡(jiǎn)單，收斂較快[3]，效率更高。武健[4]提出了基于非負(fù)矩陣分解的盲分離算法，實(shí)現(xiàn)了心電信號(hào)的有效分離。Hao Yansong等[5]采用內(nèi)稟特征尺度分解與LNMF算法結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了多源信號(hào)的欠定盲源分離。王夢(mèng)陽(yáng)等[6]提出了基于EVMD－LNMF的復(fù)合故障信號(hào)分離方法，通過引入能量收斂因子，成功分離出多源故障信號(hào)。王宏超[7]將稀疏約束作為非負(fù)矩陣分解算法的懲罰函數(shù)，通過引入反饋機(jī)制，有效解決了欠定盲分離問題。然而在實(shí)際工況下的旋轉(zhuǎn)機(jī)械領(lǐng)域，由于運(yùn)行環(huán)境嘈雜，滾動(dòng)軸承產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)十分復(fù)雜，特征信息通常淹沒在噪聲中，難以提取。綜上，本文采用β散度約束作為非負(fù)矩陣分解算法的懲罰函數(shù)，通過構(gòu)建新指標(biāo)加權(quán)脈沖因子（Correlation impulse factor.CIF），篩選分解后的重構(gòu)信號(hào)。從而有效分離提取出耦合故障特征，實(shí)現(xiàn)機(jī)械的復(fù)合故障診斷。

1 β-NMF算法模型

非負(fù)矩陣分解的算法模型[8]可簡(jiǎn)單地定義為：對(duì)任意的非負(fù)矩陣，NMF算法總能夠找出非負(fù)矩陣和，使其滿足：

式中：m為矩陣的維數(shù)；n為樣本個(gè)數(shù)；r為矩陣的秩。

自NMF算法提出以來，已有大量研究針對(duì)其懲罰函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化改進(jìn)，如α散度約束、β散度約束、Bregman散度約束等。而NMF算法固有的懲罰函數(shù)取決于應(yīng)用領(lǐng)域及數(shù)據(jù)處理類型[9]。本文根據(jù)實(shí)際軸承發(fā)生復(fù)合故障時(shí)信號(hào)之間的相互耦合，信噪比低，導(dǎo)致重構(gòu)信號(hào)很難表達(dá)多源故障特征信息。為此，選擇數(shù)據(jù)適應(yīng)性更強(qiáng)的β散度作為NMF算法的懲罰函數(shù)，其表達(dá)式為：

而將β散度約束作為NMF算法的目標(biāo)函數(shù)可用下式表示：

根據(jù)迭代算法，循環(huán)迭代矩陣W和H，直至式（3）目標(biāo)函數(shù)收斂，停止迭代，輸出矩陣W和H。

2 基于β－NMF算法的復(fù)合故障診斷方法

2.1 加權(quán)脈沖因子

脈沖因子指標(biāo)可以作為信號(hào)處理領(lǐng)域中檢測(cè)有無沖擊成分，其定義為信號(hào)的峰值與整流平均值的比值。相關(guān)系數(shù)指標(biāo)定義為信號(hào)之間的相關(guān)程度。本文根據(jù)故障時(shí)信號(hào)的沖擊特征及重構(gòu)后信號(hào)的選取規(guī)則，構(gòu)建信號(hào)的綜合影響參數(shù)加權(quán)脈沖因子（Correlation impulse fac?tor.CIF），其定義如下：

式中：IF（impulse factor）為信號(hào)x(n)的脈沖因子；N為信號(hào)選取的長(zhǎng)度；C為信號(hào)之間的相關(guān)系數(shù)。

由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知，|C|≤1。因此，C可以看作是脈沖因子的權(quán)重，故參數(shù)CIF定義為加權(quán)脈沖因子。

2.2 基于β-NMF的復(fù)合故障診斷方法

綜上，針對(duì)實(shí)際滾動(dòng)軸承出現(xiàn)耦合故障時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)，本文提出了基于β散度約束的非負(fù)矩陣分解的機(jī)械復(fù)合故障診斷方法。方法流程如圖1所示，步驟如下：

圖1 診斷方法流程Fig.1 Flow chart of method about fault diagnosis

（1）對(duì)采集的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，得到時(shí)頻特征矩陣；

（2）取時(shí)頻矩陣的能量值，采用β-NMF算法分解處理，并將分解后的向量在時(shí)域中恢復(fù)；

（3）計(jì)算恢復(fù)信號(hào)的CIF參數(shù)值；

（4）選擇參數(shù)CIF值較大的恢復(fù)信號(hào)，作其包絡(luò)頻譜圖，從頻譜圖中提取相應(yīng)的特征信息，完成故障診斷。

3 仿真信號(hào)分析

為了說明所提出方法的有效性，采用如下的模型來模擬滾動(dòng)軸承發(fā)生故障時(shí)產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)：

式中：g為阻尼屬性，本文取值0.1；s1(t)和s2(t)為模擬故障信號(hào)，按fn分別取3 500 Hz和5 500 Hz。

由式（7）中s(t)的形式，可知產(chǎn)生的特征頻率為f=1/T，本文取值63 Hz和157 Hz。采樣頻率取fs＝100 kHz，截取0.5 s時(shí)間片段作為仿真分析數(shù)據(jù)。隨機(jī)產(chǎn)生混合矩陣A＝[0.857 3，0.942 6]，按照式（8）形式獲得信號(hào)S(t)。對(duì)信號(hào)S(t)作歸一化處理，得到其時(shí)域波形和包絡(luò)頻譜如圖2所示。

圖2 仿真信號(hào)的時(shí)域波形和包絡(luò)頻譜Fig.2 Waveform and envelope spectrum of simulated signals

根據(jù)圖1中的流程步驟，采用所提出的方法對(duì)上述仿真信號(hào)進(jìn)行分析。首先對(duì)混合信號(hào)S(t)進(jìn)行時(shí)頻分析，獲得高維時(shí)頻特征矩陣；其次取時(shí)頻特征矩陣的能量值，采用β－NMF算法分解降維，將分解得到的特征分量在時(shí)域中恢復(fù)還原；然后計(jì)算恢復(fù)后信號(hào)的CIF參數(shù)值，如表1所示。由表可知，篩選出第8組與第9組的CIF參數(shù)值。對(duì)篩選出的二組信號(hào)作歸一化處理，其包絡(luò)頻譜圖如圖3所示。

表1 恢復(fù)信號(hào)的CIF值Tab.1 CIF of the signal

圖3 分離后信號(hào)S(t)的包絡(luò)頻譜Fig.3 Envelope spectrum of the separated signals

由分離信號(hào)包絡(luò)頻譜圖中可以看出，存在于仿真信號(hào)S(t)的兩種特征成分63 Hz與157 Hz，經(jīng)本文所提出的方法處理后可以有效分離。因此，從上述仿真信號(hào)的處理分析中，可以得出如下結(jié)論。原始混合信號(hào)經(jīng)本文所提出的方法處理后，可以分離得到源信號(hào)，信號(hào)的特征信息也可以從頻譜中提取出，驗(yàn)證了方法的有效性。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)采用NTN N204型號(hào)的圓柱滾子軸承為研究對(duì)象，對(duì)其外圈和滾動(dòng)體上加工相應(yīng)缺陷。將此故障軸承安裝在軸承座上，并在軸承座的豎直方向和水平方向上安裝加速度傳感器。將電機(jī)轉(zhuǎn)速設(shè)為900 r/min，采樣頻率為100 kHz，采樣時(shí)間為10 s。根據(jù)如表2所示的軸承相關(guān)參數(shù)計(jì)算得知滾動(dòng)體故障特征頻率fb=74 Hz，外圈故障特征頻率fo=60 Hz。

表2 軸承NTN N204參數(shù)Tab.2 Structure parameters of bearing NTN N204

隨機(jī)截取0.4 s數(shù)據(jù)片段的實(shí)測(cè)信號(hào)進(jìn)行處理分析，對(duì)其進(jìn)行歸一化，得到時(shí)域波形和包絡(luò)頻譜如圖4所示。由圖可知信號(hào)明顯存在沖擊成分，表示此軸承已存在缺陷。在其包絡(luò)頻譜圖中，特征信息被噪聲成分淹沒，難以作出相應(yīng)識(shí)別診斷。

圖4 實(shí)測(cè)信號(hào)的時(shí)域圖和包絡(luò)頻譜Fig.4 Waveform and envelope spectrum of the signal

根據(jù)圖1流程步驟，采用本文所提出的方法對(duì)采集的信號(hào)進(jìn)行驗(yàn)證。首先對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析，獲得高維時(shí)頻特征矩陣；其次取時(shí)頻特征矩陣的能量值，進(jìn)行β－NMF算法分解降維，將分解得到的特征分量在時(shí)域中恢復(fù)還原；然后計(jì)算恢復(fù)后信號(hào)的CIF參數(shù)值，如表3所示。由表可知，第3組與第6組的CIF值較大。

表3 恢復(fù)信號(hào)的CIF值Tab.3 CIF of the signal

對(duì)篩選出的二組信號(hào)作歸一化處理，其包絡(luò)頻譜圖如圖5所示。由圖可以看出，原始振動(dòng)信號(hào)經(jīng)過本文所提方法處理后，分離出兩種源信號(hào)成分。通過與理論計(jì)算值對(duì)比，兩種特征成分分別對(duì)應(yīng)滾動(dòng)體故障特征和外圈故障特征，并且出現(xiàn)了高次諧波成分也證明特征信息正確。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文所提出的方法可以有效地從耦合信號(hào)中分離出故障源信號(hào)，在頻譜圖中也可以提取出故障特征頻率信息，驗(yàn)證了該方法在軸承復(fù)合故障診斷中的有效性。

圖5 分離信號(hào)頻譜Fig.5 Spectrum of separated signals

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)機(jī)械故障診斷領(lǐng)域中存在耦合故障、特征信息難以識(shí)別提取的問題，提出了基于β散度約束的非負(fù)矩陣分解的機(jī)械復(fù)合故障診斷方法。利用數(shù)據(jù)適應(yīng)性更強(qiáng)的β散度約束，增強(qiáng)局部分解能力；并通過在算法中引入加權(quán)脈沖因子（CIF），對(duì)重構(gòu)后的信號(hào)進(jìn)行篩選，有效地減少了分解后的冗余信息，實(shí)現(xiàn)了數(shù)據(jù)的有效降維。將其應(yīng)用在實(shí)際滾動(dòng)軸承信號(hào)中，表明存在多重缺陷的故障軸承，經(jīng)本文所提出的方法處理后，可以分離提取出其特征信息，實(shí)現(xiàn)了機(jī)械復(fù)合故障的有效診斷。因此，本文提出的方法在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域具有一定的參考意義和工程應(yīng)用價(jià)值。