磁懸浮軸承系統(tǒng)的模型辨識(shí)與控制

周亮，甘楊俊杰

(中車株洲電機(jī)有限公司，湖南 株洲 412000)

磁懸浮軸承因具有無摩擦、無磨損以及無需潤滑等一系列優(yōu)點(diǎn)，在高速主軸、氣體壓縮機(jī)、人工心臟泵、飛輪儲(chǔ)能等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用[1]。磁懸浮軸承本質(zhì)上是一個(gè)非線性不穩(wěn)定系統(tǒng)，需要設(shè)計(jì)控制器構(gòu)成閉環(huán)反饋控制。除了工業(yè)上常用的PID型控制器(比例-積分-微分控制器)及其改進(jìn)類型，模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、滑?？刂?、魯棒控制等現(xiàn)代控制方法也可實(shí)現(xiàn)磁懸浮軸承的穩(wěn)定控制，控制精度取決于控制器參數(shù)[2-6]?？刂破鲄?shù)可以通過試錯(cuò)法或根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)確定，也可通過極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)，極點(diǎn)配置法設(shè)計(jì)的控制器控制性能取決于模型的準(zhǔn)確性。

磁懸浮軸承建模時(shí)的簡(jiǎn)化處理會(huì)導(dǎo)致理論模型與系統(tǒng)實(shí)際特性有較大差異,主要體現(xiàn)在兩方面：1)理論模型的結(jié)構(gòu)與實(shí)際系統(tǒng)有差異[7]；2)模型參數(shù)的理論值與實(shí)際值有差異[8]。故基于模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，提高控制器性能的前提是獲取精確的系統(tǒng)模型。

模型辨識(shí)是獲取精確系統(tǒng)模型的方法之一，具有操作簡(jiǎn)單，辨識(shí)精度高等優(yōu)點(diǎn)。模型辨識(shí)將辨識(shí)對(duì)象看成一個(gè)“黑盒子”，通過施加特定的激勵(lì)以及測(cè)量其響應(yīng)，得到準(zhǔn)確的系統(tǒng)輸入輸出關(guān)系。模型辨識(shí)分為兩大類：1)已知系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)，只需通過辨識(shí)確定模型的參數(shù)值；2)模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)均未知，兩者都需要通過辨識(shí)確定。如文獻(xiàn)[9]采用基于轉(zhuǎn)子不平衡響應(yīng)的方法對(duì)磁懸浮軸承的剛度和阻尼系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。文獻(xiàn)[10]采用電磁力測(cè)量法和自由振蕩法對(duì)磁懸浮軸承的電流剛度和位移剛度系數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。為了獲取電流剛度和位移剛度的精確值，文獻(xiàn)[8]采用開環(huán)辨識(shí)的方法，文獻(xiàn)[11]采用了基于LMS(自適應(yīng)濾波)算法的在線辨識(shí)方法，這些辨識(shí)都屬于模型的參數(shù)辨識(shí)。而為了得到精確的系統(tǒng)模型，模型結(jié)構(gòu)辨識(shí)非常關(guān)鍵。如文獻(xiàn)[12]通過對(duì)一個(gè)磁懸浮工作平臺(tái)進(jìn)行辨識(shí)，得到了系統(tǒng)的精確傳遞函數(shù)，并基于此模型重新設(shè)計(jì)控制器，優(yōu)化了控制性能。文獻(xiàn)[13]通過頻域辨識(shí)方法，對(duì)實(shí)心結(jié)構(gòu)磁懸浮軸承進(jìn)行辨識(shí)，得到了系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階模型，并基于辨識(shí)模型設(shè)計(jì)了分?jǐn)?shù)階控制器，控制性能進(jìn)一步提升。文獻(xiàn)[14]對(duì)疊片結(jié)構(gòu)和實(shí)心結(jié)構(gòu)磁懸浮軸承進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，得到了兩者的精確模型，并做了對(duì)比，基于模型差異又討論了實(shí)心結(jié)構(gòu)中渦流的影響。

由上述分析可知，模型辨識(shí)法在獲取系統(tǒng)特性、優(yōu)化控制性能方面都起到了重要作用。在此基于理論模型設(shè)計(jì)了PID控制器，實(shí)現(xiàn)對(duì)磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制。為優(yōu)化控制性能，采用頻域辨識(shí)法對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行模型辨識(shí)，并對(duì)辨識(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行模型擬合。得到精確的系統(tǒng)模型后，重新設(shè)計(jì)控制器對(duì)轉(zhuǎn)子進(jìn)行懸浮控制。最后對(duì)模型辨識(shí)的結(jié)果進(jìn)行分析，并對(duì)2種控制器的控制性能進(jìn)行對(duì)比。

1 建模與PID控制

以某四自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)為研究對(duì)象，如圖1所示，其包括轉(zhuǎn)子、2套徑向磁懸浮軸承、位移傳感器、保護(hù)軸承等零部件。徑向磁懸浮軸承為轉(zhuǎn)子提供徑向無接觸支承，位移傳感器檢測(cè)轉(zhuǎn)子的位移變化。保護(hù)軸承通常為常規(guī)軸承，在轉(zhuǎn)子未懸浮時(shí)起支承作用，在轉(zhuǎn)子懸浮后因故障發(fā)生跌落時(shí)則起到保護(hù)作用。

圖1 四自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of four-DOF active magnetic bearing system

2套徑向磁懸浮軸承均為八磁極疊片結(jié)構(gòu)(圖2)，圖中：x0為磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子與定子之間的額定間隙，i0為線圈偏置電流。以豎直方向?yàn)槔f明其工作原理，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離平衡位置時(shí)，位移傳感器檢測(cè)轉(zhuǎn)子位移x，并將信號(hào)傳送至控制器，控制器根據(jù)控制算法計(jì)算控制信號(hào)，控制信號(hào)經(jīng)功率放大器轉(zhuǎn)換為作用在電磁線圈上的控制電流i，電磁鐵產(chǎn)生可控的電磁力，迫使轉(zhuǎn)子回到平衡位置，從而維持轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮。

圖2 八磁極徑向磁懸浮軸承結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure diagram of eight-pole radial active magnetic bearing

圖2結(jié)構(gòu)在豎直方向的電磁力為[1]

(1)

式中：k為電磁力系數(shù)，與電磁鐵的結(jié)構(gòu)和尺寸有關(guān)。

(1)式在平衡位置(x=0,i=0)處泰勒展開，并略去高次項(xiàng)，可得到電磁力的線性表達(dá)式。拉普拉斯變換后得到磁懸浮軸承在一個(gè)自由度上的開環(huán)傳遞函數(shù)為

(2)

式中：m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；ki為力-電流系數(shù)；ks為力-位移系數(shù)，與電磁鐵的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān);s為拉普拉斯算子。

(2)式為電流控制下磁懸浮軸承的理論模型。對(duì)于文中徑向磁懸浮軸承，取m=60 kg，ki=2 283.4 N/A，ks=4.57×106N/m。

(3)

式中：A0,B0,B1,C0為控制器參數(shù)。

針對(duì)圖1的磁懸浮軸承系統(tǒng)，設(shè)計(jì)了4個(gè)控制器對(duì)4個(gè)自由度進(jìn)行分散控制?？刂破鲄?shù)通過極點(diǎn)配置法確定，實(shí)際控制時(shí)根據(jù)控制效果做適當(dāng)調(diào)整。

磁懸浮軸承試驗(yàn)平臺(tái)如圖3所示，控制硬件包括磁懸浮軸承位移采樣電路、數(shù)字信號(hào)處理模塊及開關(guān)型功率放大器，轉(zhuǎn)子四自由度的懸浮位移變化通過示波器顯示。試驗(yàn)表明設(shè)計(jì)的PID控制器能實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮，穩(wěn)定懸浮后的位移曲線如圖4所示(x軸為時(shí)間，每格表示100 ms，y軸為位移，每格表示500 mV),由圖可以看出：轉(zhuǎn)子實(shí)現(xiàn)了穩(wěn)定懸浮，但位移曲線波動(dòng)比較明顯，A端豎直方向位移波動(dòng)最大，其峰值為61.6 mV，根據(jù)標(biāo)定關(guān)系，對(duì)應(yīng)位移波動(dòng)量14.67 μm。這是由于(3)式是基于(2)式的理論模型建立的，理論模型與實(shí)際系統(tǒng)之間存在誤差，導(dǎo)致控制精度較低。

圖3 磁懸浮軸承試驗(yàn)平臺(tái)Fig.3 Test rig of active magnetic bearing

圖4 PID控制的轉(zhuǎn)子四自由度位移曲線Fig.4 Four-DOF displacement curve of rotor under PID control

2 模型辨識(shí)

2.1 辨識(shí)原理

為準(zhǔn)確獲取磁懸浮軸承系統(tǒng)的模型，在此采用頻域辨識(shí)方法，精確獲取系統(tǒng)的頻率特性。根據(jù)線性系統(tǒng)理論，對(duì)于線性定常系統(tǒng)，若系統(tǒng)輸入為一系列不同頻率的諧波信號(hào)，則系統(tǒng)輸出也是一系列對(duì)應(yīng)頻率的諧波信號(hào)，只是幅值和相位發(fā)生了變化。系統(tǒng)輸出與輸入的比值即為系統(tǒng)的頻率特性。

頻域辨識(shí)原理框圖如圖5所示，在閉環(huán)系統(tǒng)的位移參考端注入一系列諧波信號(hào)A0sin(ωt)，分別采集辨識(shí)對(duì)象的輸入信號(hào)S1和輸出信號(hào)S2。對(duì)信號(hào)S1，S2進(jìn)行離散傅里葉變換，兩者的比值即為辨識(shí)對(duì)象的頻率特性，將其表示成幅值與相位的形式,即

圖5 頻域辨識(shí)原理框圖Fig.5 Principle block diagram of frequency domain identification

(4)

式中：|G(iω)|為辨識(shí)對(duì)象的幅值；φ(ω)為辨識(shí)對(duì)象的相位;i為虛數(shù)單位；ω為角頻率。

根據(jù)幅值與相位，即可繪制出系統(tǒng)的伯德圖。諧波信號(hào)幅值A(chǔ)0應(yīng)適當(dāng)選取，幅值太大易引起系統(tǒng)高頻失穩(wěn)，太小則不易區(qū)分干擾信號(hào)而引入誤差，通常取轉(zhuǎn)子最大運(yùn)動(dòng)間隙的5%～10%?？紤]到閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬，諧波信號(hào)頻率取600 Hz內(nèi)的一系列頻率，且這些頻率按照一定的倍率變化，以便數(shù)據(jù)在伯德圖上呈等距變化。辨識(shí)的對(duì)象除了磁懸浮軸承外，還包括功率放大器和位移傳感器。

2.2 辨識(shí)結(jié)果

對(duì)圖1和圖3所示磁懸浮軸承系統(tǒng)的4個(gè)自由度做頻域辨識(shí),辨識(shí)結(jié)果如圖6所示。由圖6可知：

圖6 磁懸浮軸承伯德圖Fig.6 Bode plots of active magnetic bearing

1)同一端磁懸浮軸承水平方向與豎直方向的頻率特性接近，在高頻段有較小的誤差。

2)兩端磁懸浮軸承的頻率特性具有相似性。以A端磁懸浮軸承為例,隨頻率增大，系統(tǒng)頻率特性呈光滑變化，但在200 Hz以上的某些頻率點(diǎn)，數(shù)據(jù)出現(xiàn)跳變，這是因?yàn)檫@些頻率點(diǎn)與轉(zhuǎn)子的某些固有頻率重合，轉(zhuǎn)子發(fā)生了諧振，導(dǎo)致采集的時(shí)域數(shù)據(jù)有較大的誤差。

3)系統(tǒng)幅頻曲線在低頻時(shí)基本保持不變，反映了系統(tǒng)的直流增益，但隨頻率增大，幅頻曲線逐漸衰減。相頻曲線在低頻時(shí)基本上保持不變，表明系統(tǒng)相位滯后180°，為二階系統(tǒng)的特性，但隨頻率增大，相位滯后持續(xù)增加，在高頻段相位滯后接近270°，呈三階系統(tǒng)的特性。

2.3 模型擬合與分析

得到辨識(shí)對(duì)象的頻率特性后，需對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。關(guān)于傳遞函數(shù)的擬合方法，文獻(xiàn)[15-17]都做了詳細(xì)介紹，文獻(xiàn)[17]中提出的擬合方法專門針對(duì)磁懸浮軸承，在此采用文獻(xiàn)[17]的擬合方法。

考慮到磁懸浮軸承理論模型為二階模型，首先用二階模型對(duì)頻率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，其傳遞函數(shù)為

(5)

式中：b0，b1，b2為模型系數(shù)。

因?yàn)閮啥舜艖腋≥S承的頻率特性具有相似性，只給出A端磁懸浮軸承的擬合曲線，如圖7所示，由圖可知：在低頻段，二階模型能較好地描述系統(tǒng)的實(shí)際特性，但在高頻段，二階模型相位趨近于-180°，與實(shí)際系統(tǒng)的相位變化有較大的誤差。4個(gè)自由度的二階模型擬合結(jié)果見表1。

圖7 A端磁懸浮軸承辨識(shí)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果Fig.7 Fitting results of identification data of A end active magnetic bearing

表1 二階模型擬合結(jié)果Tab.1 Fitting result of second-order model

考慮到實(shí)際系統(tǒng)的相位滯后更接近三階系統(tǒng)，因此也采用三階模型對(duì)辨識(shí)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，三階擬合模型的結(jié)構(gòu)為

(6)

式中：b0，b1，b2，b3為模型系數(shù)。

擬合曲線如圖7所示，相比于二階模型，三階模型在整個(gè)頻率段與實(shí)際系統(tǒng)都有較好的吻合，能更好地描述系統(tǒng)的實(shí)際特性,擬合結(jié)果見表2。

表2 三階模型擬合結(jié)果Tab.2 Fitting result of third-order model

三階模型的辨識(shí)對(duì)象除了磁懸浮軸承本身，還包括了功率放大器以及位移傳感器，而理論建模通常不考慮后兩者的影響。

試驗(yàn)裝置中用到的位移傳感器為電渦流位移傳感器，通常表示為一個(gè)具有固定增益的一階慣性環(huán)節(jié),但其帶寬為5 kHz，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于磁懸浮軸承位移控制閉環(huán)的帶寬，在閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬范圍內(nèi)其數(shù)學(xué)模型可表示為一個(gè)固定常數(shù)，即

Gs(s)=Ks，

(7)

式中：Ks為傳感器增益。

試驗(yàn)裝置中磁懸浮軸承控制硬件的功率放大器為開關(guān)型功率放大器，其帶寬有限，數(shù)學(xué)模型可以表示為一個(gè)具有固定增益的一階慣性環(huán)節(jié)，即

(8)

式中：Ka為功率放大器的增益；τa為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。

如圖5所示，根據(jù)傳遞函數(shù)運(yùn)算法則，由磁懸浮軸承、功率放大器和位移傳感器三部分構(gòu)成的系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為

(9)

由此得到的模型正好是一個(gè)三階模型。理論建模時(shí)，若功率放大器和位移傳感器的帶寬有限，則應(yīng)考慮這兩者的動(dòng)態(tài)特性，特別是功率放大器的滯后影響。開關(guān)型功率放大器的滯后作用與開關(guān)器件的性能有關(guān)，隨頻率增大，其滯后的影響也變得明顯。

3 基于辨識(shí)模型的控制器設(shè)計(jì)

在三階模型的基礎(chǔ)上，重新設(shè)計(jì)控制器。根據(jù)控制理論，為實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置，至少需要一個(gè)二階控制器。為消除靜態(tài)誤差，控制器中再添加上積分作用，設(shè)計(jì)的控制器傳遞函數(shù)為

(10)

式中：A0,A1,B0,B1,B2,C0為控制器參數(shù)。

構(gòu)成的閉環(huán)控制框圖如圖8所示。

圖8 閉環(huán)控制框圖Fig.8 Block diagram of closed-loop control

控制器參數(shù)通過極點(diǎn)配置法確定。將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在左半平面的相同位置(-r,0)處，為六重極點(diǎn)，得到控制器參數(shù)、模型參數(shù)與極點(diǎn)的關(guān)系為

(11)

(11)式形式上并非獨(dú)立，后面的計(jì)算依賴前面的計(jì)算結(jié)果，這樣有利于編程。通常閉環(huán)極點(diǎn)取磁懸浮軸承開環(huán)極點(diǎn)的1～3倍[18]，在此取r=160π。

設(shè)計(jì)了4個(gè)控制器對(duì)4個(gè)自由度進(jìn)行分散控制?？刂破麟x散化后用于磁懸浮軸承系統(tǒng)的控制，同樣實(shí)現(xiàn)了轉(zhuǎn)子4個(gè)自由度的穩(wěn)定懸浮，轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定懸浮曲線通過示波器顯示，如圖9所示(x軸為時(shí)間，每格表示200 ms，y軸為位移，每格表示500 mV)。

圖9 基于辨識(shí)模型控制的轉(zhuǎn)子四自由度位移曲線Fig.9 Four-DOF displacement curve of rotor based on identification model control

與圖3所示的PID控制性能相比，基于辨識(shí)模型的控制精度有了很大提升，位移波動(dòng)明顯減小。將圖4和圖9的曲線波動(dòng)峰值電壓和對(duì)應(yīng)的實(shí)際位移波動(dòng)量對(duì)比，結(jié)果見表3。由表3可知：PID控制下轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)懸浮的最大位移波動(dòng)量為14.67 μm，而基于辨識(shí)模型設(shè)計(jì)的控制器的穩(wěn)態(tài)懸浮最大位移波動(dòng)量為5.67 μm，減小了約60%，懸浮控制的穩(wěn)態(tài)性能提高。實(shí)際調(diào)試過程也表明PID控制器的調(diào)試時(shí)間較長(zhǎng)，控制器參數(shù)根據(jù)實(shí)際效果也做了多次改進(jìn)，而基于辨識(shí)模型的控制器調(diào)試時(shí)間較短，且控制參數(shù)改動(dòng)較小。

表3 轉(zhuǎn)子四自由度穩(wěn)態(tài)懸浮位移波動(dòng)量Tab.3 Displacement fluctuation of four-DOF rotor under stable suspension

由此說明，模型辨識(shí)得到了精確的系統(tǒng)模型，而基于精確模型設(shè)計(jì)的控制器在縮短調(diào)試時(shí)間以及提升穩(wěn)態(tài)控制性能上，均比基于理論模型設(shè)計(jì)的控制器有較大的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

采用頻域辨識(shí)法對(duì)四自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)進(jìn)行模型辨識(shí)，得到了精確的系統(tǒng)模型。基于精確模型設(shè)計(jì)了二階控制器，實(shí)現(xiàn)了磁懸浮軸承四自由度的穩(wěn)定懸浮控制。得出以下結(jié)論：

1)二階理論模型的相位在中高頻段不能準(zhǔn)確描述四自由度磁懸浮軸承系統(tǒng)的頻率特性，實(shí)際對(duì)象更接近三階系統(tǒng)。

2)為提高模型精度，理論建模有必要考慮功率放大器和位移傳感器的影響。

3)基于模型設(shè)計(jì)的控制器性能依賴于模型的準(zhǔn)確性，提高系統(tǒng)模型的精度，可以提高控制器的控制性能?；诰_辨識(shí)模型設(shè)計(jì)的控制器比基于理論模型設(shè)計(jì)的控制器更具優(yōu)勢(shì)。