一類隨機(jī)互惠模型的遍歷性和最優(yōu)收獲策略*

羅 俊 威

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，南京 210023)

0 引 言

近年來(lái)，隨著可持續(xù)發(fā)展戰(zhàn)略被大力宣傳與實(shí)施，更多的研究者也把注意力放在了自然資源的分配與使用中，例如天然氣、化石燃料、金屬以及生物資源都受到了重視。雖然部分資源本身具有可再生的能力，但是過(guò)度開(kāi)采已經(jīng)使得那些不可再生資源處于短缺甚至耗盡邊緣， 而且很多動(dòng)物在大肆的捕獲下也瀕臨滅絕。因此，最優(yōu)收獲問(wèn)題應(yīng)運(yùn)而生，如何控制收獲力度保證可持續(xù)發(fā)展成為很多生物研究者的研究主題。

目前，大部分的研究(如文獻(xiàn)[3，6，9，11])都是對(duì)典型的線性Lotka-Volterra模型進(jìn)行一系列的研究，本文則主要考察May在文獻(xiàn)[7]中提到的一類非線性互惠模型，其表達(dá)式如下：

(1)

其中：x(t)，y(t)代表兩個(gè)物種在時(shí)刻t時(shí)的數(shù)量密度；ri(i=1，2)表示物種x(t)，y(t)的內(nèi)在增長(zhǎng)率；K1是在沒(méi)有y(t)的影響下環(huán)境對(duì)x(t)的容納量，K2反之；qi(i=1，2)表示分別對(duì)x(t)，y(t)的收獲效力；bi表示互惠系數(shù)；εi表示種內(nèi)競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)；ri，Ki，bi，εi都是正常數(shù)，并且f(·)，g(·)為單調(diào)連續(xù)遞增的正函數(shù)；Wi(t)(i=1，2)是兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，其中 {Ft}t≥0代表域流為一個(gè)σ-代數(shù)，αi2(i=1，2)代表著白噪聲的強(qiáng)度。f，g的存在也讓這個(gè)模型具有代表性，下面主要對(duì)其在白噪聲擾動(dòng)下的隨機(jī)性質(zhì)以及最優(yōu)收獲問(wèn)題進(jìn)行探討。

(1)x(t)和y(t)都是持續(xù)存在的；

(2) 確定期望的可持續(xù)產(chǎn)出(ESY)：

有最優(yōu)值或范圍。

1 預(yù)備知識(shí)

引理1[8-9]設(shè)φ(t)∈[Ω×[0，+∞)，R+]，

(1) 如果存在3個(gè)常數(shù)λ0，λ和T≥0，使得對(duì)所有的t≥T，有

其中α是常數(shù)， 于是

(2) 如果存在3個(gè)常數(shù)λ0，λ和T≥0， 使得對(duì)所有的t≥T， 有

于是

定義1 如果x(t)，y(t) 滿足條件：

于是就說(shuō)式(1)是平均持續(xù)的。

2 主要結(jié)論

系統(tǒng)正解的存在唯一性對(duì)后續(xù)性質(zhì)的探討起著至關(guān)重要的作用，接下來(lái)，先證明式(1)存在唯一全局正解。

定理1 對(duì)于給定的正初值(x0，y0)，式(1)有一個(gè)唯一全局正解(x(t)，y(t))。

證明令u(t)=lnx(t)，v(t)=lny(t)，對(duì)式(1)使用It公式，得到

(2)

其中:t≥0，初值u(0)=lnx0，v(0)=lny0，由于系數(shù)滿足李普希茨條件，再利用文獻(xiàn)[14]中隨機(jī)微分方程的理論，可證式(1)在t∈[0，τ)上有唯一局部解，其中τ為爆破時(shí)間，因此(x(t)，y(t))有唯一局部解。對(duì)于全局解，即τ→+∞時(shí)，利用隨機(jī)方程的比較原理，參考文獻(xiàn)[10]中的方法，得證。

生物的持續(xù)與滅絕對(duì)維持自然界物種多樣性起著至關(guān)重要的作用，物種生物量的多少也決定著人類如何實(shí)施最優(yōu)收獲策略。下面開(kāi)始討論生物持續(xù)生存的條件。

證明對(duì)式(1)的第一個(gè)等式使用It公式，可以得到

同樣， 對(duì)y(t)，有

從而證明了系統(tǒng)平均持續(xù)性。

探討最優(yōu)收獲策略不僅能幫助人類充分利用自然資源并獲得最大收益，而且也能保證物種生物量維持在一個(gè)合理的水平，避免因過(guò)度開(kāi)發(fā)而滅絕。在確定最優(yōu)收獲策略之前，先給出一個(gè)引理。

證明證明方法可參考文獻(xiàn)[11]。

定理3 式(1)的測(cè)度μ(·)具有遍歷性。

證明根據(jù)引理2，可知式(1)的不變測(cè)度μ(·)是唯一的。利用文獻(xiàn)[12]中的推論3.4.3，可得μ(·)是強(qiáng)混合的。同樣，基于文獻(xiàn)[12]中的定理3.2.6，則μ(·)具有遍歷性。

現(xiàn)在，開(kāi)始確定式(1)的最優(yōu)收獲策略。

以及

證明令Q=(q1，q2)T>0，并且x(t)，y(t)是平均持續(xù)的，得到

(3)

通過(guò)引理2， 再利用文獻(xiàn)[12]中的式(3.3.2)，有

(4)

設(shè)τ(X)表示式(1)的平穩(wěn)概率密度，則

(5)

由于式(1)的不變測(cè)度具有唯一性，推出

(6)

結(jié)合式(3)—(6)得到最優(yōu)收獲的表達(dá)式：

其中：

由于連續(xù)性，可以知道存在兩個(gè)正常數(shù)

使得

3 數(shù)值模擬

利用數(shù)值模擬的方法展示前面章節(jié)所得到的結(jié)果， 并觀察在引入最優(yōu)收獲時(shí)， 生物持續(xù)和滅絕的情況。根據(jù)文獻(xiàn)[13]中 Milstein的方法，確定一些常量r1=1，r2=1.2，ε1=0.7，ε2=0.8，b1=0.9，b2=0.7，K1=K2=2以及f(y)=ey，g(x)=ex，且初值為X(0)=(0.6，0.4)。

圖1表示了在自然隨機(jī)擾動(dòng)條件下，生物的生長(zhǎng)情況，其中α1=0.15，α2=0.18，q1=q2=0。圖2模擬在和圖1同等強(qiáng)度隨機(jī)干擾的情況下，施加最優(yōu)收獲效力后生物的生長(zhǎng)變化，即q1=0.494，q2=0.592，可以看到生物的數(shù)量明顯下降了一個(gè)等級(jí)，但卻仍能持續(xù)存在。并且通過(guò)對(duì)比圖1，圖2 的生物數(shù)量變化，可以發(fā)現(xiàn)x(t)的數(shù)量從平均值為1下降到平均值為0.5左右，大約下降了0.5，而y(t)則由1.1下降到了0.52，大致下降了0.58。這與通過(guò)上一部分計(jì)算出來(lái)的最優(yōu)收獲效力q1=0.494，q2=0.592的結(jié)論相一致，并且算得最優(yōu)收獲Y(Q)處于(0.52，0.71)之間。另外通過(guò)圖1，圖3的對(duì)比發(fā)現(xiàn)在擾動(dòng)強(qiáng)度很大的情況下，即對(duì)于圖3中α1=1.6，α2=1.8，物種大概率會(huì)滅絕，因此無(wú)法進(jìn)行捕獲，這也驗(yàn)證了之前得到的結(jié)論。

圖1 隨機(jī)擾動(dòng)下無(wú)收獲的生物數(shù)量圖Fig. 1 Biological quantity diagram under stochastic disturbances with no harvesting

圖2 隨機(jī)擾動(dòng)下施加收獲的生物數(shù)量圖Fig. 2 Biological quantity diagram under stochastic disturbances with optimal harvesting efforts

圖3 強(qiáng)隨機(jī)擾動(dòng)下的生物數(shù)量圖Fig. 3 Biological quantity diagram under strong stochastic disturbances with harvesting

4 結(jié)束語(yǔ)

提出一類具有代表性的非線性生物互惠模型，對(duì)其解的存在唯一性和遍歷性進(jìn)行說(shuō)明，給出了物種持續(xù)存在與滅絕的條件，并且引入收獲項(xiàng)展開(kāi)對(duì)該系統(tǒng)最優(yōu)收獲問(wèn)題的研究，算出最優(yōu)收獲效力。雖然模型仍存在一點(diǎn)不足，即由于模型的特性無(wú)法算出最優(yōu)收獲的一個(gè)具體值，但是通過(guò)計(jì)算出最優(yōu)收獲的一個(gè)范圍，也能合理控制收獲量以確保物種不至于過(guò)度捕獲而滅絕。