方差累積和控制圖的改進(jìn)

郭瑩瑩

（燕山大學(xué) 理學(xué)院，河北 秦皇島066004）

一、引言

控制圖的提出，最初目的是對(duì)過程均值是否發(fā)生變化進(jìn)行監(jiān)控，之后逐漸用于過程方差的監(jiān)控，因?yàn)楸M管產(chǎn)品質(zhì)量與目標(biāo)值相差不大，其方差也具有較小幅度的偏移。在產(chǎn)品生產(chǎn)過程中，由于系統(tǒng)因素，樣本在均值特性上可能沒有明顯變化，但在方差特性上會(huì)有很大偏移，如果方差的偏移量超出了規(guī)定要求，就必須對(duì)過程方差進(jìn)行監(jiān)控，過程方差增加會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)品質(zhì)量降低。當(dāng)前對(duì)過程方差監(jiān)控最普遍使用的控制圖是休哈特（Shewhart）R圖，S圖和S2圖。傳統(tǒng)的休哈特控制圖在過程發(fā)生比較大的偏移時(shí)敏感，在發(fā)生小偏移和中等偏移時(shí)不敏感。另外，當(dāng)樣本容量很小時(shí)，監(jiān)控工藝效率低下。為了優(yōu)化這些問題，學(xué)者們研究了帶有運(yùn)行規(guī)則的監(jiān)控過程方差的控制圖。

為了提高過程方差發(fā)生中、小偏移時(shí)監(jiān)控的靈敏度，Page E S[1]于1954年提出了累積和控制圖，一些數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)專家先后對(duì)累積和控制圖進(jìn)行了深入研究。Guoyi Zhang[2]針對(duì)傳統(tǒng)休哈特S圖的不足，提出了修正的S圖，并介紹了改進(jìn)的休哈特R圖和S圖；Rakitzis和Antzoulakos C等[3]提出了監(jiān)測(cè)過程方差的運(yùn)行和控制圖；薛麗[4]對(duì)累積和控制圖的參數(shù)K和H進(jìn)行了研究和分析，討論了基于三種不同原則的參數(shù)選取方法；胡靈雪和王志遠(yuǎn)等[5]建立了同時(shí)監(jiān)控均值和方差的累積和控制圖，提出基于馬爾可夫鏈理論的新控制圖的平均運(yùn)行鏈長計(jì)算方法；孫明超和宋向東等[6]提出基于累積和控制圖改進(jìn)的累積得分控制圖，設(shè)置改進(jìn)控制圖的初始響應(yīng)值，改進(jìn)了控制圖與傳統(tǒng)累積和控制圖比較方法；楊靜和宋向東等[7][8]對(duì)方差控制圖進(jìn)行改進(jìn)，檢測(cè)效率明顯提高。

對(duì)于方差發(fā)生小波動(dòng)的生產(chǎn)過程，累積和控制圖相比休哈特控制圖的監(jiān)控效率更高。過程方差一旦發(fā)生小的偏移，累積和控制圖就能迅速檢測(cè)出來。在產(chǎn)品制造過程中，累積和控制圖是一種很有效的監(jiān)控工具。因此，對(duì)它的優(yōu)化尤為重要。傳統(tǒng)的休哈特控制圖是在3σ原則上建立的，而累積和控制圖是以序貫概率比檢驗(yàn)為依據(jù)的。本文將累積和控制圖與常規(guī)控制限聯(lián)合使用，基于累積和方法，加入了常規(guī)控制限思想，根據(jù)總體服從正態(tài)分布時(shí)的方差特性設(shè)置了上控制限系數(shù)，并討論了上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖的平均運(yùn)行鏈長表現(xiàn)，有效地提高了監(jiān)控方差向上偏移的靈敏度，這在監(jiān)控過程方差方面有一定的借鑒作用。

二、累積和控制圖原理

（一）累積和控制圖原理—序貫概率比檢驗(yàn)

下面給出一個(gè)重要命題：

在使用時(shí)可近似取

其中α為犯第一類錯(cuò)誤的概率即當(dāng)H0為真時(shí)拒絕H0的概率；β為犯第二類錯(cuò)誤的概率即當(dāng)H0不真時(shí)接受H0的概率。

（二）累積和控制圖的常用方法

1.截頂V型模板法

截頂V型模板運(yùn)用于實(shí)踐中，操作比較容易。決定截頂V型模板的形狀有兩個(gè)參數(shù)：f和h，f稱為參考值，h稱為判定距。如圖1所示，f是截頂V型模板邊界的斜率，h是截頂V型模板中點(diǎn)O處垂直高度的一半。

圖1 截頂V型模板示意圖

判斷過程方差是否發(fā)生偏移時(shí)，把截頂V型模板放在累積和控制圖上，中心點(diǎn)O與最新得到的點(diǎn)重合，直線OA與樣本序號(hào)軸平行。若之前描的點(diǎn)均在透明模板的兩條斜線內(nèi)，則判斷過程方差沒有發(fā)生異常偏移；若有一點(diǎn)恰好在截頂V型模板的下斜線上或超出下斜線則判斷過程方差異常增大；若有一點(diǎn)恰好在截頂V型模板的上斜線上或超出上斜線，則判斷過程方差異常減小。

2.列表法

監(jiān)控過程偏移的累積和控制圖可看作重復(fù)的序貫概率比檢驗(yàn)，構(gòu)造累積和控制圖的兩個(gè)參數(shù)為K和H，K稱為參考值，H稱為決策值。檢驗(yàn)過程方差是否發(fā)生偏移是檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是否落入原假設(shè)H0的拒絕域。

監(jiān)控過程方差向上偏移的累積和控制圖檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表達(dá)式為：

D+m=max{0，D+m-1+sm2-K}，初始值 D0+=0

當(dāng)D+m>H時(shí)，說明過程發(fā)生了向上的偏移，拒絕原假設(shè)H0，控制圖發(fā)出警報(bào)，停止抽樣。

（三）控制圖的性能指標(biāo)ARL

對(duì)于控制圖，通常稱從過程檢測(cè)開始到它發(fā)出失控的報(bào)警信號(hào)為止，抽取的平均樣本組數(shù)為平均運(yùn)行鏈長（ARL）。

平均運(yùn)行鏈長是評(píng)價(jià)累積和控制圖性能優(yōu)劣的一個(gè)重要指標(biāo)，設(shè)計(jì)控制圖時(shí)一般都希望在過程受控時(shí)平均運(yùn)行鏈長不低于預(yù)設(shè)值，在過程失控時(shí)平均運(yùn)行鏈長越小越好。要比較不同控制圖的性能，通常是固定受控時(shí)的平均運(yùn)行鏈長，失控時(shí)的平均運(yùn)行鏈長較小的控制圖控制性能更加優(yōu)良。常用的計(jì)算平均運(yùn)行鏈長的方法有馬氏鏈法、積分方程法和隨機(jī)模擬法，本文采用隨機(jī)模擬的方法計(jì)算平均運(yùn)行鏈長。

三、上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖

在過程方差的監(jiān)控中，過程方差增大說明產(chǎn)品的合格率下降。在某些產(chǎn)品的生產(chǎn)過程中，原材料劣質(zhì)、機(jī)器零件不合格或磨損、操作工人操作失誤等都會(huì)造成過程方差變大?？梢允褂蒙蠁蝹?cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖監(jiān)控過程方差向上的偏移，盡快發(fā)出警報(bào)，提高生產(chǎn)過程性能。

（一）上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和圖設(shè)計(jì)

設(shè)過程質(zhì)量特性X∶N（μ，σ2），樣本量大小為m。我們希望當(dāng)過程方差σ2由σ02偏移到σ12（σ12=ρσ02，ρ>1為偏移倍數(shù)）時(shí)，控制圖能盡快發(fā)出警報(bào)。為了檢驗(yàn)過程方差向上的偏移，將常規(guī)控制圖上控制限（UCL）思想加入到累積和控制圖中，取當(dāng)前的觀測(cè)值即樣本方差si2，檢驗(yàn)si2是否大于Bσ02，其中σ02是已知的過程方差，B為上常規(guī)控制限系數(shù)。如果si2不大于Bσ02，就將其按慣例加入累積和，如果 si2大于 Bσ02，則發(fā)出狀態(tài)失控的信號(hào)。

上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖將0直限作為控制下界，0直限到控制限上界的距離為控制距H，0直限到警戒限的距離為警戒距K。橫軸表示樣本組序號(hào)m，縱軸表示樣本方差si2（i=1，2，3，…，m）與警戒距K的的累積和Cm（K）。設(shè)初始值為0，則有累積和：

（二）上常規(guī)控制限的確定

下面計(jì)算上常規(guī)控制限系數(shù)，計(jì)算過程中將系數(shù)記為B。

當(dāng)過程上偏時(shí)，不發(fā)出失控信號(hào)的的隨機(jī)事件表示為S2

若用F（x）表示自由度為n-1的卡方分布的概率分布函數(shù)，則發(fā)出失控信號(hào)的概率為：

p=p（ρ）=1-F[（n-1）（B/ρ）]

平均運(yùn)行鏈長即為L（ρ），對(duì)于錯(cuò)誤報(bào)警率α=0.002，當(dāng)ρ=1即過程方差處于受控狀態(tài)時(shí)，平均運(yùn)行鏈長L（ρ）有 L（1）=500，計(jì)算 S2統(tǒng)計(jì)量的上常規(guī)控制限系數(shù)結(jié)果如表1：

表1 不同樣本容量的上常規(guī)控制限系數(shù)表

將上述求得的控制限系數(shù)作為上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖的上控制限系數(shù)，即先檢驗(yàn)每組的樣本的S2統(tǒng)計(jì)量是否大于Bσ02，若大于此值則發(fā)出報(bào)警信號(hào)，不大于此值則按上述標(biāo)準(zhǔn)計(jì)入累積和。

（三）上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

假定觀測(cè)值服從正態(tài)分布，且總體均值相同，即xi∶N（μ，σ2），i=1，2，3，…。用 f表示概率密度函數(shù)，則兩個(gè)假設(shè)可表示為：

H0：σ02～f（σ02），i=1，2，3，…

H1：σi2～f（σ12），i=1，2，3，…

第m次抽樣，從而H1對(duì)H0的似然比為：

其中，K為上參考值，H為決策值。

可以定義上偏的聯(lián)合的常規(guī)-累積和s2圖的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：

zj=max{0，zj-1+sj2-K}，j≥1

（四）平均運(yùn)行鏈長表現(xiàn)

用下面的標(biāo)準(zhǔn)來判斷檢測(cè)過程是否正常：

1.檢驗(yàn) sj2是否大于 Bσ02，如果 sj2大于 Bσ02，則發(fā)出狀態(tài)失控的信號(hào)，如果sj2不大于Bσ02，就將其按慣例加入累積和；

2.當(dāng)Cm（K）≤0時(shí)，認(rèn)為過程方差波動(dòng)正常，但此階段累積和計(jì)算中斷，接下一個(gè)階段的累積和計(jì)算；

3.當(dāng)0

4.當(dāng)Cm（K）≥h，認(rèn)為過程方差向上偏移，發(fā)出報(bào)警信號(hào)。

采用隨機(jī)模擬方法計(jì)算平均運(yùn)行鏈長，并繪制平均運(yùn)行鏈長曲線與傳統(tǒng)的方差控制圖的比較：

從表2可以看出，當(dāng)過程方差發(fā)生上偏時(shí)，上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖較傳統(tǒng)的方差控制圖有較短的平均鏈長，說明對(duì)于方差向上偏移的過程，上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖檢測(cè)效率優(yōu)于傳統(tǒng)的方差控制圖。

表2 n=10時(shí)過程上偏的聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖平均鏈長表現(xiàn)

圖2 上單側(cè)常規(guī)-累積和S2圖與傳統(tǒng)的方差控制圖平均鏈長比較

圖中給出了n=10時(shí)偏移從1倍到3倍時(shí)上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖與傳統(tǒng)的方差控制圖平均鏈長比較，當(dāng)方差偏移倍數(shù)在1.1倍到1.6倍間可以看出上單側(cè)聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖具有優(yōu)越性，當(dāng)方差偏移倍數(shù)大于2.5倍時(shí)，上單側(cè)常規(guī)-累積和S2圖幾乎立即報(bào)警，說明聯(lián)合的常規(guī)-累積和圖在檢測(cè)較小偏移時(shí)有較高靈敏性。

四、結(jié)論

本文研究過程方差檢測(cè)的累積和方法，將累積和控制圖與常規(guī)控制限聯(lián)合使用，基于累積和方法，加入了常規(guī)控制限思想。利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖的平均鏈長，并與傳統(tǒng)的方差控制圖的平均運(yùn)行鏈長進(jìn)行比較。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，聯(lián)合的常規(guī)-累積和S2圖在檢測(cè)向上偏移的方差過程具有更高靈敏性。因此，它的進(jìn)一步研究是有實(shí)際價(jià)值的?！?/p>