待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式

郭小蔚

摘? ?要：從數(shù)的角度、形的角度、實際問題等三個方面引導初學者對求一次函數(shù)解析式問題進行分析，引導初學者學會用待定系法求解一次函數(shù)的解析式，為后續(xù)學習打下良好基礎.

關鍵詞：待定系數(shù)法;解析式;條件

利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，需要明確函數(shù)的模型，設出函數(shù)解析式，根據(jù)條件確定一次函數(shù)解析式中未知的系數(shù)，從而確定解析式.用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式一般有如下步驟：（1）找：在題目條件中尋找兩組對應的函數(shù)值與自變量;（2）設：函數(shù)解析式為y=kx+b，k，b 為待定系數(shù);（3）代：分別把兩組對應自變量與函數(shù)值代入y=kx+b生成一個二元一次方程組;（4）解：解方程組求出k，b 的值;（5）回歸：把解出的k，b的值回歸到y(tǒng)=kx+b中，寫出所求的一次函數(shù)解析式.

下面從三個方面對題目進行分析，引導初學者快速有效地學會用待定系法求解一次函數(shù)的解析式，為后續(xù)學習反比例函數(shù)、二次函數(shù)的打下良好的基礎.

1? 題目從“數(shù)”的角度展示條件

一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0）中有兩個待定系數(shù)，一個是一次項x的系數(shù)k，一個是常數(shù)項b，所以初學者在用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式時要會從題目中尋找出所需的兩個數(shù)據(jù)條件，列出一個以k，b為未知數(shù)的二元一次方程組，解這個二元一次方程組后就能具體寫出一次函數(shù)的解析式.具體有以下四種。

1.1? 開門見山型

【例題1】已知：一次函數(shù)y=kx+b，當x=-2，y=-1; 當x=3，y=-3;求一次函數(shù)的解析式.

這是最簡單的待定系數(shù)法的應用，關鍵是一個“代”字.代的時候要注意代對字母，同時要注意不要張冠李戴.

解：∵一次函數(shù)為：y=kx+b（k≠0），

由已知條件x=-2時，y=-1，得：-1=-2k+b.

由已知條件x=3時，y=-3， 得：-3=3k+b.

兩個條件都要滿足，即解關于x的二元一次方程組

-1=-2k+b

-3=3k+b? ，解得 k=-

b=-

.

所以，一次函數(shù)解析式為y=-x-.

1.2? 條件是以點坐標的形式展現(xiàn)

【例題2】已知：一次函數(shù)的圖象過點（2，-1），（3，-3）求一次函數(shù)的解析式.

與第一種開門見山型相比，條件以點坐標的形式展現(xiàn)的多了一步，要求初學者會把橫坐標轉(zhuǎn)化為相應的x，把縱坐標轉(zhuǎn)化為相應的y.

根據(jù)一次函數(shù)的定義，可以設這個一次函數(shù)為：y=kx+b（k≠0），目標轉(zhuǎn)化為求字母k，b的值.

由已知條件x=2時，y=-1，得：-1=2k+b.

由已知條件x=3時，y=-3， 得：-3=3k+b.

兩個條件都要滿足，即解關于x的二元一次方程

-1=2k+b

-3=3k+b， 解得k=-2

b=3? .

所以，一次函數(shù)解析式為y=-2x+3.

1.3? 條件是以不等式的形式展現(xiàn)

【例題3】已知一次函數(shù)y=kx+b，當0≤x≤2時，-2≤y≤4，則kb的值是多少？

對于初學者來說，這是一種隱藏極深的待定系數(shù)法求解析式，初學者往往不是束手無策，就是不知道還要分類討論.

1.由已知條件x=0時，y=-2，得：-2=0k+b.

由已知條件x=2時，y=4， 得：4=2k+b.

-2=b

4=2k+b，? ?解得k=-3

b=-2.

此時kb=-6.

2.由已知條件x=0時，y=4，得：4=0k+b.

由已知條件x=2時，y=-2， 得：-2=2k+b.

4=b

-2=2k+b，? 解得k=-3

b=4 .

此時kb=-12 .

綜上， kb的值為-6或-12.

1.4? 數(shù)字以半遮面型的形式展現(xiàn)

【例題4】已知一次函數(shù)圖象平行于直線y=-x-17且過點（2，-1），求此一次函數(shù)的解析式.

解：設這個一次函數(shù)為：y=kx+b（k≠0），

∵一次函數(shù)圖象平行于直線y=-x-17，

∴k=-.

由已知條件x=-2時，y=-1，得：-1=-2×（-）+ b，

解得：b=- .

所以，一次函數(shù)解析式為y=-x-.

2? 題目從“形”的角度展示條件

一次函數(shù)的圖象是一條直線，因為過兩點有且只有一條直線，所以初學者要學會從題目給的條件中找出兩個能確定直線位置的點.正比例函數(shù)的圖象是一條過原點的直線，所以只需一個異于原點的點就可以確定這條直線.

2.1? 條件以圖象形式直接展示一次函數(shù)與坐標軸的交點

【例題5】 已知一次函數(shù)的圖象如下圖1，求它的關系式.

分析： 從“形” 的角度來看，圖象與坐標軸交于兩點，經(jīng)過x軸上橫坐標為2的點，y軸上縱坐標是-3的點.從“數(shù)”的角度來看，坐標（2，0），（0，-3）滿足解析式.

解： 設所求的一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0）.直線經(jīng)過點（2，0），（0，-3），把這兩點坐標代入解析式，得

0=-2k+b

-3=b? ? ?，? ?解得k=

b=-3 .

所以所求的一次函數(shù)的關系式是y=x-2.

2.2? 圖象半遮面型

【例題6】如圖2，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，且與正比例函數(shù)y=-x的圖象相交于點B，求這個一次函數(shù)的解析式.

分析：本題中，一個點A的坐標是已知的，橫坐標是0，縱坐標是2，另一個點B的縱坐標是為1已知的，但橫坐標不知道，須從正比例函數(shù)y=-x獲得.

解：把y=1代入正比例函數(shù)y=-x得x=-1.

設這個一次函數(shù)為y=kx+b（k≠0），

直線經(jīng)過點（0，2），（ -1，1，），把這兩點坐標代入解析式，得2=b

1=-k+b，? ?解得k=1

b=2.

所以所求的一次函數(shù)的關系式是y=x+2.

3? 題目以實際問題為背景展示條件

題目以實際問題為背景展示條件，這就需要初學者認真讀題，從題目中提煉尋找出所需的兩個條件.

【例題7】如圖3，媽媽買了很多個形狀大小完全一樣的花盆想種多肉，丫丫把其中的5個花盆疊成兩摞，請根據(jù)圖中所給信息，求出花盆的高度高度y（cm ）與花盆個數(shù)x（個）之間的一次函數(shù)關系式（不要求寫自變量取值范圍 ）.

分析：本題是從實際問題中提煉尋找所需的兩個條件.設所求的一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0）.

條件一：當x=2時，y=11.5，得：11.5=2k+b.

條件二：當x=3時，y=17，得：17=3k+b.

11.5=2k+b

17=3k+b? ，? ?解得k=

b=

.

所以所求的一次函數(shù)的關系式是y=x+.

【例題8】蔬菜種植大戶老張引進某種滴灌技術，要用如圖所示方法粘合若干段水管，圖4為水管的主視圖，相鄰兩根水管重疊部分寬為2 cm，（1）求6根水管粘合后的長度;（2）設x根水管粘合后的總長度為y cm ，求y與x之間的函數(shù)關系式，并求出當x=30時， y的值.

分析：本題也是典型的從實際問題中尋找條件的，

條件一：當x=1時，y=35;

條件二：當x=2時，y=68，條件三：當x=3時，y=101…，設所求的一次函數(shù)的解析式為y=kx+b（k≠0）.選取最簡單的條件一與條件二代入得：

35=k+b

68=2k+b? ?解得k=33

b=2? .

所以所求的一次函數(shù)的關系式是y=33x+2.

當x=6時，y=200.當x=30時，y=992.

初學者力求能從以上三個方面分析題目，尋找出所需的兩個條件，學會用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的基本思路，以解決相關問題.