數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良中師生的表征特點(diǎn)研究

武曉梅

摘? 要：本研究以中師學(xué)生為研究對(duì)象，以排列組合為內(nèi)容設(shè)計(jì)表征測(cè)試工具。通過與學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生對(duì)比，揭示學(xué)習(xí)不良學(xué)生的表征特點(diǎn)。結(jié)果表明：與學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生相比，學(xué)習(xí)不良學(xué)生表征方式單一，缺乏多種表征的習(xí)慣和能力;在表征方式上更傾向于由抽象向具體的表征;對(duì)問題深層表征能力低。

關(guān)鍵詞：表征方式;表征順序;表征深度;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良中師生

中圖分類號(hào)：G715? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1672-4437（2021）02-0047-04

學(xué)習(xí)不良學(xué)生是指學(xué)習(xí)效率低下，智力正常，不能達(dá)到學(xué)校教學(xué)規(guī)定的基本要求的學(xué)生[1]。近年來中師學(xué)生中學(xué)習(xí)不良學(xué)生的比例明顯增多，提高其學(xué)習(xí)能力成為亟待解決的問題。

表征是指信息的記載或表達(dá)方式[2]。表征又稱心理表征或內(nèi)在表征，它是外在事物在心理活動(dòng)中內(nèi)在的呈現(xiàn)。以往研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)不良學(xué)生與學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生相比，表征存在差異。那么中師生中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良者與優(yōu)秀者存在哪些差異，他們?cè)跀?shù)學(xué)問題解決的表征中表現(xiàn)出哪些特點(diǎn)？這正是本研究要探討的問題。

一、研究方法

（一）被試

研究的取樣來自阜陽市某?？茖W(xué)校中師小教專業(yè)二年級(jí)的1-6個(gè)班的學(xué)生。按照標(biāo)準(zhǔn)選出學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生69人，學(xué)習(xí)不良的學(xué)生69人。分為6個(gè)小組，每組23人。

（二）實(shí)驗(yàn)材料

本研究所用的測(cè)驗(yàn)是數(shù)學(xué)問題表征和數(shù)學(xué)問題解決測(cè)試。本問卷選用的是開放式的數(shù)學(xué)問題，共有3道題目組成，測(cè)驗(yàn)的內(nèi)容主要涉及排列組合（這部分知識(shí)學(xué)生在測(cè)驗(yàn)前一學(xué)期學(xué)完）。

試題1：甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念，不同的站法有多少種？

試題2：甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念，要求老師必須站中間，不同的站法有多少種？

試題3：甲、乙、丙、丁四名同學(xué)和一名老師站成一排合影留念，要求老師必須站中間，甲同學(xué)不與老師相鄰，不同的站法有多少種？

（三）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與程序

本測(cè)驗(yàn)主要從三方面研究數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良學(xué)生的表征特點(diǎn)：第一，學(xué)習(xí)不良學(xué)生表征方式是單一還是多樣;第二，在多種表征方式中是由具體到抽象，還是由抽象到具體;第三，和學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生相比，其表征深度有無差異。

測(cè)驗(yàn)在2018年3月進(jìn)行，由6名數(shù)學(xué)教師做主試（他們不知道測(cè)驗(yàn)的具體目的），同時(shí)在6個(gè)班進(jìn)行測(cè)試。測(cè)試時(shí)間分別為60分鐘。要求被試完成試題，并寫出具思考過程，標(biāo)注思考時(shí)間。

二、結(jié)果與分析

（一）兩類學(xué)生使用多種表征頻數(shù)的差異比較

在測(cè)驗(yàn)題作答中，被試成功使用圖形和公式表征兩種方式解答即為多種表征，如只成功使用一種表征方式為單一表征。紀(jì)桂萍等把數(shù)學(xué)問題解決中的心理表征分為形象表征和抽象表征兩種[3]。形象表征是以圖片、圖形的形式進(jìn)行呈現(xiàn)。形象表征比較生動(dòng)、形象，而且它與視覺的關(guān)聯(lián)性也比較強(qiáng)，因此也將它叫做圖形表征。抽象表征是以語言、文字和符號(hào)、命題、圖式等形式存在的表征。表1中，學(xué)習(xí)不良學(xué)生使用多種表征的頻數(shù)為0.89±0.69，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生使用多種表征頻數(shù)為2.09±0.85，對(duì)兩者多種表征使用頻數(shù)的差異比較，t=-7.94（P=0.000<0.001）。結(jié)果顯示，被試在測(cè)驗(yàn)題中選擇多種表征頻次存在差異。學(xué)習(xí)不良學(xué)生和學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生在問題解決過程中使用多種表征的頻數(shù)存在顯著差異，優(yōu)秀學(xué)生更多使用多種表征方式。

學(xué)習(xí)不良學(xué)生更多使用單一的表征方式，對(duì)問題的理解往往不夠全面、深刻。事實(shí)上，具體的數(shù)學(xué)問題往往包含有多種信息，一種表征方式，往往只能獲得部分信息而非全部，信息遺漏會(huì)影響對(duì)問題的準(zhǔn)確理解，甚至是造成對(duì)問題的錯(cuò)誤判斷，使問題解決失敗，這一觀點(diǎn)已被諸多研究證實(shí)。學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生，更傾向于選擇多種表征結(jié)合的方式。多種表征可以理解為將語言、文字、符號(hào)、圖片、具體物、活動(dòng)或?qū)嶋H情景等多種形式相結(jié)合的綜合表征形式。借助不同的表征形式，形成對(duì)問題的不同屬性和特征的認(rèn)識(shí)，獲得多方面的信息。Keller認(rèn)為，數(shù)學(xué)的多種表征形式能夠形象具體的凸顯數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的兩個(gè)方面：一是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)象的多元屬性可以強(qiáng)化其復(fù)雜性，能夠便于學(xué)生對(duì)不同表征進(jìn)行轉(zhuǎn)換;二是它的多元屬性也可以淡化其復(fù)雜性，能夠便于學(xué)生對(duì)不同表征的認(rèn)識(shí)聯(lián)結(jié)[4]。因此，缺乏多種表征結(jié)合習(xí)慣和能力，是導(dǎo)致學(xué)習(xí)不良的原因之一。

（二）兩類學(xué)生表征的順序比較

分析學(xué)生的思考過程和解題過程發(fā)現(xiàn)，兩類被試選擇表征順序和解題思路存在差異。無論學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生還是學(xué)習(xí)不良的學(xué)生都試圖通過多種表征方式去尋找不同的解決思路。從表2可以看出，兩類學(xué)生在兩種表征方式使用的先后順序上存在差異：第1題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生中52人成功解題，，其中41人使用具體到抽象表征，11人使用抽象到具體圖形表征;學(xué)習(xí)不良學(xué)生中29人成功解題，其中10人使用具體到抽象表征，19人使用抽象到具體圖形表征。第2題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生中47人成功解題，其中38人使用具體到抽象表征，9人使用抽象到具體圖形表征;學(xué)習(xí)不良學(xué)生中17人成功解題，其中6人使用具體到抽象表征，11人使用抽象到具體圖形表征。第3題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生中47人成功解題，其中37人使用具體到抽象表征，10人使用抽象到具體圖形表征;學(xué)習(xí)不良學(xué)生中16人成功解題，其中4人使用具體到抽象表征，12人使用抽象到具體圖形表征?？ǚ椒治鼋Y(jié)果分別為15.71、10.90、17.84，P分別為0.000<0.01、0.002<0.01、P=0.000<0.01。結(jié)果表明，學(xué)習(xí)優(yōu)秀的學(xué)生更傾向于具體圖形—抽象表征，而學(xué)習(xí)不良者更愿意從抽象到具體圖形表征。

長期以來的爭(zhēng)論專注于使用具體表征還是抽象表征，特別是，數(shù)學(xué)和科學(xué)。盡管具體到抽象應(yīng)該是一個(gè)連續(xù)體，人們通常很極端，把具體和抽象對(duì)立起來。Bruner于1966年最先提出CRA技術(shù)，允許學(xué)習(xí)者開始有益于具體情境，鼓勵(lì)他們超越具體情境，逐漸去除無關(guān)的細(xì)節(jié)，抽象概括它們[5]。Fyfe[6]、Ching B.H.-H.， Wu X研究發(fā)現(xiàn)，具體到抽象的表征順序是成功學(xué)習(xí)的關(guān)鍵[7]。思維的發(fā)展是從具體到抽象的，知識(shí)的學(xué)習(xí)也是由感性上升到理性的。因此，學(xué)生在認(rèn)識(shí)事物或問題解決中，也應(yīng)遵循從具體圖形到抽象表征的過程。具體表征形式具有外顯性、展開性和直觀具體性。首先進(jìn)行直接觀察，容易理解具體物體、實(shí)際情境，激活現(xiàn)實(shí)世界的知識(shí)。其次具體表征既具有具體性，又具有形象性，更有利于學(xué)生從感性上升到抽象概念，形成知識(shí)之間本質(zhì)、內(nèi)在聯(lián)系，它可以幫助學(xué)習(xí)者理解模糊且復(fù)雜的抽象概念。因此，如果具體材料先于抽象材料，學(xué)習(xí)者可以用已經(jīng)理解的具體材料或情境來解釋意義模糊的抽象材料。而學(xué)習(xí)不良者更多選擇從抽象到具體的表征，抽象材料會(huì)使得學(xué)習(xí)者在沒有被理解的情況下，操縱無意義的符號(hào)[8]。研究發(fā)現(xiàn)以抽象的形式解決問題經(jīng)常導(dǎo)致無效的解答策略[9]，習(xí)得程序的不靈活的運(yùn)用[10]，或出現(xiàn)非邏輯錯(cuò)誤[11]。

因此，問題解決中由抽象到具體的順序，導(dǎo)致學(xué)生沒能充分理解問題。直接使用抽象表征形式，是學(xué)習(xí)不良者解題失敗的重要原因之一

（三）兩類學(xué)生表征深度比較

辛自強(qiáng)教授提出了“表征復(fù)雜性模型”，以此來考察或區(qū)分兒童的表征能力。他認(rèn)為數(shù)學(xué)問題，特別是數(shù)學(xué)應(yīng)用題最本質(zhì)的屬性往往是題目所涉及數(shù)量或集合關(guān)系的復(fù)雜性。以最基本的算術(shù)應(yīng)用題為例，一般只涉及三個(gè)集合，其中兩個(gè)集合已知，求第三個(gè)。在這些問題中，三個(gè)集合存在一定的關(guān)系（比如部分-整體關(guān)系），我們稱之為集合之間的初級(jí)關(guān)系。如果集合的集合又與別的集合發(fā)生了關(guān)系，那就是建立在初級(jí)關(guān)系基礎(chǔ)上的二級(jí)關(guān)系，依次類推，可以有三級(jí)關(guān)系、四級(jí)關(guān)系等。這種由關(guān)系的層級(jí)數(shù)決定的問題的復(fù)雜性，可以稱為關(guān)系的等級(jí)復(fù)雜性，而對(duì)問題表征的質(zhì)量主要取決于能理解的關(guān)系的最高層次，即表征深度。

本實(shí)驗(yàn)材料為排列組合題，試題1，只涉及排列問題，其解決過程為五人排，即P（5，5），列式正確得6分，其表征深度為初級(jí)關(guān)系;試題2中，要先將老師選出站中間，在將其他四人排列，即C（1，1）P（4，4），每個(gè)關(guān)系正確得3分，共6分，其表征深度為二級(jí)關(guān)系;試題3在選出老師站中間后，再將甲同學(xué)排在兩邊，最后排列其他三人，每個(gè)關(guān)系正確的2分，共6分，即C（1，1）C（2，1）P（3，3），其表征深度為三級(jí)關(guān)系。

分析所有被試對(duì)三類題目的重復(fù)測(cè)量的方差表明（見表3），在排列組合計(jì)算測(cè)驗(yàn)上三道試題之間存在極為顯著的主效應(yīng)，F(xiàn)=488.80， p=0.000<0. 001。前后兩個(gè)試題結(jié)果配對(duì)T檢驗(yàn)表明，兩個(gè)試題之間的正確率均有極其顯著的差異t1-2= 4.12， p=0.000<0.001;t2-3=2.70，p=0.000<0.001。這說明，在三道試題的計(jì)算方面，存在明確的難度等級(jí)。

在表4中，對(duì)學(xué)習(xí)優(yōu)秀（69人）和學(xué)習(xí)不良（69人）兩類學(xué)生的成績做了比較，結(jié)果表明，無論就各個(gè)試題而言，還是就整個(gè)測(cè)驗(yàn)而言，兩類學(xué)生的成績都存在顯著差異。事后比較表明，學(xué)習(xí)不良學(xué)生的排列組合計(jì)算成績通常落后于優(yōu)秀生。第1題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生成績?yōu)?.87±0.32分，學(xué)習(xí)不良學(xué)生成績?yōu)?.26±0.32分;第2題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生成績?yōu)?.30±0.28分，學(xué)習(xí)不良學(xué)生成績?yōu)?.78±0.28分;第3題，學(xué)習(xí)優(yōu)秀學(xué)生成績?yōu)?.93±0.27分，學(xué)習(xí)不良學(xué)生成績?yōu)?.96±0.28分。方差分析結(jié)果顯示，兩類學(xué)生在三道試題存在顯著差異。由此可以看出，優(yōu)秀生通常有較高的圖式水平，表征深度通常較大，理解表征問題中復(fù)雜關(guān)系的能力較好;而學(xué)習(xí)不良學(xué)生的圖式水平相對(duì)較低，不善于理解表征問題中復(fù)雜的關(guān)系。從表4可以看出，兩類學(xué)生三題的得分差值分別為1.61、2.52、2.97，隨著試題層次的升高，兩類學(xué)生得分的差距也越來越大。

三、結(jié)論與建議

本研究對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不良的中師學(xué)生進(jìn)行表征特點(diǎn)分析。通過測(cè)試了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題表征的選擇傾向及其對(duì)問題解決的效果的影響。研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)不良學(xué)生問題表征具有以下三方面特點(diǎn)：一是表征方式單一，缺乏多種表征的習(xí)慣和能力。因此，教師在日常教學(xué)中要改變傳統(tǒng)教學(xué)只關(guān)注抽象表征的方式。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的特點(diǎn)，適時(shí)將形象表征、抽象表征等多種表征結(jié)合。同時(shí)注意把握每個(gè)層面的知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)的整合。使得各種表征方式所提供的信息不是孤立的、分散的存在，而是能看到不同表征所提供信息的統(tǒng)一性。

二是在表征問題時(shí)，多傾向具體到抽象的方式。以往表征研究中往往只考察是否使用多種表征，很少研究不同表征順序?qū)W(xué)習(xí)者的影響。研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)學(xué)習(xí)不良學(xué)生來說，不經(jīng)具體表征過程直接使用抽象表征，容易讓學(xué)生死背公式，或生搬硬套某類熟悉的題目。布魯納在1966年提出，外在刺激程度深刻影響著學(xué)生思維活動(dòng)的水平。他用動(dòng)作的、形象的和符號(hào)的三種表征來代表不同的外在刺激程度。并且認(rèn)為，學(xué)生的思維水平是以“線性”或“單向性”的方式從動(dòng)作表征到圖形表征，最后再到符號(hào)表征。實(shí)物表征能夠更直觀地感受數(shù)學(xué)對(duì)象，形象表征能夠直觀地傳達(dá)大量數(shù)學(xué)圖形信息，在具體表征基礎(chǔ)上再進(jìn)行深度表征，更有利于提高學(xué)生解決問題的能力。三是深層表征問題的能力低。以辛自強(qiáng)的關(guān)系-表征復(fù)雜性模型（RRCM）為基礎(chǔ)確定問題的難度序列，該模型能夠有效解釋問題（解決）難度的本質(zhì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了兩類學(xué)生在表征的深度上存在顯著性差異。因此，針對(duì)學(xué)習(xí)不良學(xué)生，對(duì)教學(xué)材料的確定，對(duì)考試問題難度的排列無疑都應(yīng)考慮表征深度的問題。教學(xué)中教師可以把某個(gè)領(lǐng)域的各種問題按照由易到難的順序組織起來，使教學(xué)或練習(xí)真正做到“循序漸進(jìn)”。對(duì)于學(xué)習(xí)不良學(xué)生，學(xué)習(xí)表征低級(jí)關(guān)系是重點(diǎn)，應(yīng)該幫助他們建立基本的圖式并學(xué)會(huì)使用基本公式，促進(jìn)其表征深度，提高其圖式水平與知識(shí)基礎(chǔ)。

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