基于模糊C均值聚類(lèi)約束的井-地磁法聯(lián)合數(shù)據(jù)空間反演

徐凱軍, 李 猛, 季春暉, 梁舒瑗

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,山東青島 266580)

目前深部礦產(chǎn)資源勘探已成為中國(guó)勘探重點(diǎn)[1]。井中磁測(cè)對(duì)深部礦體的磁場(chǎng)變化非常敏感,在深部金屬礦勘探中發(fā)揮著重要作用[2-4]。考慮到井的數(shù)量有限,因此結(jié)合地面磁測(cè)數(shù)據(jù),進(jìn)行井-地磁異常聯(lián)合反演,可以有效提高反演結(jié)果的空間分辨率[5-7]。三維磁異常反演計(jì)算量大,為了提高地球物理數(shù)據(jù)反演計(jì)算效率,一些學(xué)者開(kāi)展了數(shù)據(jù)空間地球物理反演算法,極大地減少反演時(shí)間[8-11]。加入先驗(yàn)信息約束可以提高反演可靠性[12],基于模糊C均值聚類(lèi)(FCM)的約束反演,可以將先驗(yàn)地球物理信息加入到反演中,對(duì)反演結(jié)果進(jìn)行聚類(lèi),使反演的礦體邊界清晰,反演結(jié)果更符合地質(zhì)解釋[13-19]。井中磁測(cè)不僅可以觀測(cè)不同深度的三分量磁異常,同時(shí)鉆井巖心、磁化率測(cè)井曲線等信息能夠提供較精確的地下物性信息,更適合進(jìn)行FCM約束反演,提高反演可靠性。筆者將數(shù)據(jù)空間反演方法和FCM約束反演方法相結(jié)合,實(shí)現(xiàn)基于模糊C均值聚類(lèi)約束的井地磁異常數(shù)據(jù)空間聯(lián)合反演。

1 井地磁異常正反演理論

1.1 井中磁異常正演方法

磁法正演通常將地下剖分為一系列長(zhǎng)方體網(wǎng)格，采用不規(guī)則網(wǎng)格，礦體區(qū)域網(wǎng)格剖分較為細(xì)密。井中觀測(cè)點(diǎn)接收到的磁場(chǎng)等于所有地下網(wǎng)格在觀測(cè)點(diǎn)所引起的磁場(chǎng)總合。觀測(cè)點(diǎn)處產(chǎn)生的磁場(chǎng)三分量異常表達(dá)式如下：

(1)

其中

式中，Bx、By和Bz分別為x、y、z三個(gè)方向的磁異常；μ0為真空磁導(dǎo)率；Mx、My和Mz分別為x、y、z三個(gè)方向的磁化強(qiáng)度。

1.2 井-地磁異常聯(lián)合反演方法

1.2.1 數(shù)據(jù)空間反演算法

三維磁法模型空間反演通常計(jì)算量大,數(shù)據(jù)空間反演是基于模型空間反演算法的一種改進(jìn),減少反演時(shí)間,提高了反演效率。

磁法數(shù)據(jù)反演的目標(biāo)函數(shù)通常為

(2)

式中,φ(m)為目標(biāo)函數(shù);φd(m)為數(shù)據(jù)擬合目標(biāo)函數(shù);φm(m)為模型目標(biāo)函數(shù);d為觀測(cè)數(shù)據(jù)向量;F(m)為正演數(shù)據(jù)向量;Wd為數(shù)據(jù)對(duì)角加權(quán)矩陣;m為模型向量;Wm為模型加權(quán)矩陣;m0為參考模型向量。反演計(jì)算就是對(duì)目標(biāo)函數(shù)求解極小值的過(guò)程。因此對(duì)目標(biāo)函數(shù)求偏導(dǎo),并令其等于0,可得

(3)

式中,J為雅克比矩陣?；谑?3)求解,可以得到反演迭代公式,常規(guī)磁法數(shù)據(jù)反演都是基于模型空間,其反演迭代公式為

m=m0+(JTWdJ+Wm)-1JTWd(d-F(m)+J(m-m0)).

(4)

式中,JTWdJ+Wm為M×M階矩陣;M為模型空間個(gè)數(shù)。

在模型空間反演迭代公式基礎(chǔ)上進(jìn)行轉(zhuǎn)換,得到數(shù)據(jù)空間反演迭代公式[8]:

(5)

1.2.2 模糊C均值聚類(lèi)約束反演

模糊C均值聚類(lèi)算法通過(guò)指定聚類(lèi)中心的個(gè)數(shù),自動(dòng)計(jì)算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)相對(duì)于聚類(lèi)中心的“親昵程度”(隸屬度),從而確定樣本點(diǎn)的類(lèi)別,完成數(shù)據(jù)分類(lèi)的目的。FCM的數(shù)學(xué)表達(dá)式[13]為

(6)

其中

式中,M為需要聚類(lèi)數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù);C為聚類(lèi)中心的個(gè)數(shù);pj為第j個(gè)數(shù)據(jù);vk為第k個(gè)聚類(lèi)中心值;μjk為第j個(gè)數(shù)據(jù)pj相對(duì)第k個(gè)聚類(lèi)中心vk的隸屬度;q為隸屬度μjk的模糊系數(shù),取值范圍為[1,∞)。當(dāng)q=1時(shí),聚類(lèi)結(jié)果會(huì)產(chǎn)生類(lèi)似“硬聚類(lèi)”的效果,即每個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)象僅分配給一個(gè)聚類(lèi)中心,q值越大時(shí)聚類(lèi)效果越模糊。

Sun等[13]在FCM算法的基礎(chǔ)上加入了聚類(lèi)中心參考項(xiàng),改進(jìn)后的FCM算法為

(7)

其中

式中,tk為第k個(gè)聚類(lèi)中心的參考值;ηk為評(píng)價(jià)第k個(gè)聚類(lèi)中心是否有已知參考值的系數(shù)。ηk的取值范圍為0或1,當(dāng)?shù)趉個(gè)聚類(lèi)中心有已知參考值時(shí),ηk=1;當(dāng)?shù)趉個(gè)聚類(lèi)中心沒(méi)有已知參考值時(shí),ηk=0。

mc=vμ.

(8)

加入FCM約束的反演方法在擬合觀測(cè)數(shù)據(jù)的同時(shí)對(duì)模型的物性做出了約束限制,因此反演結(jié)果即符合觀測(cè)到的地球物理場(chǎng)又滿足先驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)巖石物理信息,同時(shí)FCM聚類(lèi)方法使反演異常體邊界更加清晰。

1.2.3 井-地磁異常聯(lián)合反演

常規(guī)地面磁測(cè)數(shù)據(jù)具有較高的水平分辨率,但縱向分辨率較差,而井中磁測(cè)數(shù)據(jù)具有較高的縱向分辨率,但受井?dāng)?shù)量限制,控制范圍有限。充分的利用地面磁測(cè)和井中磁測(cè)的優(yōu)點(diǎn),進(jìn)行井-地磁異常聯(lián)合反演,能夠提高磁異常反演結(jié)果的空間分辨率。

對(duì)于井-地聯(lián)合反演,式(2)中φd可寫(xiě)為

(9)

式中,γ為權(quán)重因子;γ1后的部分為地面磁測(cè)數(shù)據(jù)的殘差;γ2→γn后的部分為不同井中磁測(cè)數(shù)據(jù)的殘差。

聯(lián)合反演中要使井中磁測(cè)和地面磁測(cè)的最大振幅保持在同一個(gè)數(shù)量級(jí)內(nèi),當(dāng)井中磁測(cè)的振幅遠(yuǎn)大于地面磁測(cè)振幅時(shí),適當(dāng)降低井中磁測(cè)數(shù)據(jù)的權(quán)重,使反演結(jié)果不會(huì)因?yàn)檫^(guò)于擬合井中磁測(cè)數(shù)據(jù)而造成地面磁測(cè)數(shù)據(jù)的欠擬合的問(wèn)題。

2 井-地磁異常特征分析

2.1 井中三分量磁異常特征

地下為單一礦體,長(zhǎng)、寬均為200 m,高為100 m,礦體頂面埋深為400 m。布設(shè)4個(gè)井,其中井L1穿過(guò)礦體,井L2～L4未穿過(guò)礦體,模型與井位分布如圖1(a)所示。礦體的磁化強(qiáng)度為1 A/m,磁傾角為90°,磁偏角為0°,地磁場(chǎng)傾角為90°,地磁偏角為0°。井中測(cè)點(diǎn)從z=0起,相隔20 m設(shè)一個(gè)測(cè)點(diǎn),正演計(jì)算井中測(cè)點(diǎn)的三分量磁異常。圖1(b)為不同井的三分量磁異常曲線,圖中灰色部分顯示了礦體的深度范圍,井位于礦體中心線上(x=500 m),由于對(duì)稱性,磁異常Bx分量為0?？梢钥闯?當(dāng)井穿過(guò)礦體時(shí),磁異常Bz分量在礦體位置出現(xiàn)顯著變化,變化極值點(diǎn)可以確定磁性體的上下邊界。當(dāng)井沒(méi)有穿過(guò)礦體時(shí),磁異常垂直分量Bz的峰值基本對(duì)應(yīng)礦體中心位置,磁異常水平分量By正負(fù)峰值基本對(duì)應(yīng)礦體的上下邊界,隨著井離礦體越遠(yuǎn),磁異常幅值越小。

圖1 模型及井中三分量磁異常曲線

2.2 井-地磁異常對(duì)比分析

設(shè)置地下同時(shí)存在3個(gè)礦體的模型,模型和井分布如圖2(a)所示。礦體的磁化強(qiáng)度為1 A/m,磁傾角為90°,磁偏角為0°,地磁場(chǎng)傾角為90°,地磁偏角為0°。圖2(b)為井中三分量磁異常曲線圖?？梢钥闯?磁異常具有很好地縱向分辨率,能夠識(shí)別出離井較近的兩個(gè)縱向疊置礦體不同位置,而礦體3由于離井較遠(yuǎn),異常較弱,井中三分量磁異常沒(méi)有明顯響應(yīng)。圖2(c)為該模型的地面磁異常等值線圖,可以看到兩個(gè)明顯的異常區(qū)域,但無(wú)法識(shí)別縱向疊置的異常體。因此井中磁測(cè)具有較高的縱向分辨率,但受限于測(cè)井位置,橫向控制范圍有限,而地面磁異常具有較好的橫向分辨率,但縱向分辨率差,因此結(jié)合兩者的優(yōu)勢(shì)開(kāi)展井-地磁異常聯(lián)合反演是提高反演分辨率的有效方式。

圖2 模型及井-地磁異常

3 模型反演

3.1 數(shù)據(jù)空間反演與模型空間反演對(duì)比

建立4個(gè)頂面埋深在300 m,尺寸為500 m×500 m×480 m的磁性體,如圖3(a)所示,磁化強(qiáng)度為2 A/m,磁化傾角為90°,磁偏角為0°,背景區(qū)域無(wú)磁性,地磁傾角為90°,地磁偏角為0°。異常體區(qū)域剖分成50×50×40個(gè)網(wǎng)格單元,每個(gè)網(wǎng)格的尺寸為50 m×50 m×40 m。地面上從坐標(biāo)原點(diǎn)起,在x和y方向上隔50 m設(shè)置一個(gè)測(cè)點(diǎn),觀測(cè)點(diǎn)總數(shù)為2 500個(gè)。圖3(b)為正演計(jì)算得到的地面磁異常等值線圖。基于普通微機(jī)分別開(kāi)展數(shù)據(jù)空間反演和模型空間反演,分析反演的計(jì)算效率。基于模型空間反演耗時(shí)為50 min,而基于數(shù)據(jù)空間反演耗時(shí)為15 min,可以看到基于數(shù)據(jù)空間反演明顯減少了反演所用的時(shí)間。

圖3 模型及地面磁異常

圖4分別展示了模型空間和數(shù)據(jù)空間三維反演結(jié)果示意圖,可以看出模型空間反演和數(shù)據(jù)空間反演都能反演出礦體的空間位置,但反演的物性值與真實(shí)值2 A/m都有較大偏差。

圖4 反演結(jié)果三維示意圖

3.2 地面磁測(cè)反演與井-地磁測(cè)聯(lián)合反演對(duì)比

設(shè)計(jì)兩個(gè)傾斜脈狀體共同組合成的模型,模型中設(shè)置兩口井,井位坐標(biāo)分別為L(zhǎng)1(650,1 000)、L2(1 500,1 000),如圖5(a)所示。礦體在深度剖面上呈現(xiàn)“y”形狀,背景區(qū)域的磁性為零,礦體的磁化強(qiáng)度為2 A/m,磁化傾角75°,磁偏角25°。圖5(b)為正演得到的地面磁異常等值線圖,地面磁異常場(chǎng)的總體分布特征為中間高四周低,磁異常存在著兩個(gè)高值區(qū)間?；谡莴@得井中三分量磁異常,從z=0起間隔50 m設(shè)置一個(gè)測(cè)點(diǎn),圖5(c)顯示了井中磁測(cè)三分量曲線。井L1和L2的磁異常Bz分量表現(xiàn)了明顯的穿礦特征。

圖5 模型及井-地磁異常圖

針對(duì)上述模型僅使用地面磁異常數(shù)據(jù)進(jìn)行反演,反演結(jié)果如圖6(a)所示,圖中僅展示磁化強(qiáng)度高于0.4 A/m的反演結(jié)果,以展示反演結(jié)果的整體特征。反演結(jié)果顯示深部異常體形態(tài)與實(shí)際礦體有較大差異,說(shuō)明地面磁測(cè)縱向分辨率差。反演結(jié)果的磁化強(qiáng)度極大值為1.4 A/m,與實(shí)際礦體的磁化強(qiáng)度值2 A/m也有較大的差異。

圖6 模型反演結(jié)果

聯(lián)合地面磁測(cè)和井中三分量磁異常進(jìn)行聯(lián)合反演,反演結(jié)果如圖6(b)所示?？梢钥闯?相比于單獨(dú)地面磁異常反演,井-地磁異常聯(lián)合反演結(jié)果更接近于真實(shí)礦體模型,“y”型礦體得到很好地恢復(fù),說(shuō)明井-地磁異常聯(lián)合反演能夠結(jié)合地面磁測(cè)橫向分辨率高和井中磁測(cè)縱向分辨率高的優(yōu)點(diǎn),提高反演結(jié)果的空間分辨率,但反演結(jié)果的磁化強(qiáng)度極值為2.4 A/m,與實(shí)際礦體的物性值仍存在一定的差異。

3.3 FCM約束反演

針對(duì)圖5(a)模型,設(shè)置不同的聚類(lèi)參數(shù),分析不同聚類(lèi)參數(shù)時(shí)的反演效果。真實(shí)模型的聚類(lèi)中心為2,地質(zhì)背景磁化強(qiáng)度為0,礦體磁化強(qiáng)度為2 A/m。設(shè)置二組不同聚類(lèi)參數(shù),第一組聚類(lèi)中心數(shù)C為2,聚類(lèi)中心參考值僅輸入一個(gè)0值(即反演中背景層的磁性已知,而礦體的磁性未知);第二組聚類(lèi)中心數(shù)C為4,聚類(lèi)中心參考值僅輸入0和2 A/m(反演中猜測(cè)地下存在4種磁性體,但僅已知兩種巖石的物性值)。

分別使用這二組參數(shù)開(kāi)展基于FCM約束的井-地磁異常聯(lián)合反演。第一組的反演結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?基于FCM約束反演的物性分布直方圖更接近于真實(shí)模型。反演異常體的邊界清晰,而且反演物性值與真實(shí)模型較為一致。

圖7 第一組參數(shù)的FCM約束反演結(jié)果

第二組參數(shù)的反演結(jié)果如圖8所示,由于聚類(lèi)中心數(shù)C設(shè)為4,反演結(jié)果物性分布直方圖也顯示了磁化強(qiáng)度主要集中分布在0、0.4、1和2 A/m 4個(gè)區(qū)間內(nèi),反演異常體邊界變得模糊,與真實(shí)模型有了明顯差異。

圖8 第二組參數(shù)的FCM約束反演結(jié)果

通過(guò)不同聚類(lèi)參數(shù)的反演結(jié)果對(duì)比分析可以看出,FCM約束反演的效果與聚類(lèi)中心數(shù)C的選取有關(guān),C取值越接近真實(shí)情況,反演效果越好。在使用FCM約束反演方法時(shí),聚類(lèi)中心數(shù)C的取值應(yīng)盡量與地下巖石的物性種類(lèi)數(shù)目一致。鉆井和測(cè)井資料能夠提供較為精確的先驗(yàn)物性信息,這也為FCM約束反演提供了好的基礎(chǔ)。

3.4 冬瓜山銅礦建模及反演

冬瓜山銅礦位于安徽銅陵地區(qū),已做過(guò)不同程度的礦產(chǎn)調(diào)查工作,該區(qū)的地質(zhì)構(gòu)造情況已有較為詳細(xì)的認(rèn)知。以冬瓜山銅礦的地質(zhì)模型(圖9)為基礎(chǔ),調(diào)研了相關(guān)礦物的磁化率分布區(qū)間[20-21],然后建立冬瓜山地區(qū)的三維磁化強(qiáng)度模型,如圖10所示。礦體的磁化角度按當(dāng)?shù)氐牡卮艌?chǎng)角度設(shè)置,即磁化傾角47.4°,磁化偏角-5.54°。

圖9 冬瓜山銅礦典型地質(zhì)模型[20]

圖10 冬瓜山銅礦三維磁化強(qiáng)度模型

在該模型中設(shè)置3口井,井位坐標(biāo)分別為L(zhǎng)1(700,500),L2(300,600),L3(1 000,1 000),井深1 000 m。地面測(cè)點(diǎn)間隔100 m,井中測(cè)點(diǎn)間隔40 m,通過(guò)正演計(jì)算分別得到地面磁力異常和井中三分量磁力異常,然后加入5%的高斯噪音作為觀測(cè)數(shù)據(jù)。圖11顯示了地面磁異常和井中三分量磁異常。

圖11 地面和井中磁異常

分別進(jìn)行地面磁異常反演、井-地磁異常聯(lián)合反演和基于FCM約束的井-地磁異常聯(lián)合反演,分析不同反演的效果。圖12顯示了3種方法的反演效果。

圖12 不同反演方法結(jié)果對(duì)比

可以看出,僅使用地面磁異常反演效果較差,銅礦脈的埋藏較深且上方存在磁性巖體遮擋,地面磁異常反演無(wú)法從中分辨出不同的磁性礦體,更無(wú)法確定出埋藏最深的銅礦脈的位置形態(tài)。井地磁異常聯(lián)合反演提高了礦體的空間分辨率,上、中、下3部分的礦體在反演結(jié)果里都得以體現(xiàn),但礦脈的連續(xù)性較差,而且反演的磁化強(qiáng)度數(shù)值和真實(shí)值有一定的誤差?；贔CM約束的井地磁異常反演效果得到了進(jìn)一步提升,反演的礦體邊界較為清晰,磁化強(qiáng)度值更接近于真實(shí)的礦體物性值。

4 結(jié) 論

(1)井中磁測(cè)具有較高的縱向分辨率。磁異常垂直分量的峰值基本對(duì)應(yīng)礦體中心位置,磁異常水平分量正負(fù)峰值基本對(duì)應(yīng)礦體的上下邊界。

(2)與模型空間反演相比,數(shù)據(jù)空間反演能夠減少反演時(shí)間,提高反演計(jì)算效率。

(3)井-地磁異常聯(lián)合反演,綜合了地面磁測(cè)橫向分辨率高和井中磁測(cè)縱向分辨率高的優(yōu)點(diǎn),可以顯著提高反演結(jié)果的空間分辨率。

(4)在反演過(guò)程中引入FCM約束使反演結(jié)果既符合觀測(cè)到的地球物理場(chǎng),又滿足先驗(yàn)的巖石物理信息,反演的物性值更接近真實(shí)值,而且聚類(lèi)算法使反演異常體邊界清晰,反演結(jié)果更符合地質(zhì)解釋。