定積分應(yīng)用中微元分析法探討

李繼猛

(邵陽學(xué)院 理學(xué)院，湖南 邵陽 422004)

積分學(xué)是微積分學(xué)的重要組成部分，在幾何、微分方程、物理、力學(xué)、電學(xué)、機(jī)械工程、自動(dòng)控制等方面有著廣泛的應(yīng)用。如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為定積分問題或用定積分來解決實(shí)際問題，微元分析法為解決這類問題提供了一個(gè)非常好的方法。當(dāng)然，能用定積分來解決的問題必須滿足一個(gè)先決條件就是：所求量（或總量）是一個(gè)與某區(qū)間或區(qū)域有關(guān)的量并對(duì)區(qū)間或區(qū)域具有可加性。下面我們通過一些實(shí)例來進(jìn)行具體分析。

1 微元分析法的基本思想

定積分的本質(zhì)就是一類特定和式的極限，即：

其中F(x)為f(x)的一個(gè)原函數(shù)，上述公式就是著名的“牛頓-萊布尼茲公式”。這個(gè)公式把定積分的計(jì)算變成了求原函數(shù)的運(yùn)算，揭示了微分與積分是互為逆運(yùn)算重要關(guān)系，提高了定積分理論定位，推廣了定積分的實(shí)用范圍，更加突顯出微積分在解決工程技術(shù)領(lǐng)域問題的價(jià)值。在實(shí)際應(yīng)用中如何把一個(gè)具體問題變成定積分問題或得到該問題的定積分表達(dá)式呢？一般來說這個(gè)問題要具有如下兩個(gè)特點(diǎn)：

(1)所求量U（總量）是一個(gè)不規(guī)則量，但它分布在有限范圍內(nèi)；

(2)當(dāng)把總量U 所在范圍分割成若干個(gè)小區(qū)域時(shí)，總量U 也

第三步：總量U 就是個(gè)小區(qū)間上部分量之和，此處無限累加就是積分

上述求總量U 的積分表達(dá)式的關(guān)鍵是第二步，這一步得到的表達(dá)式就是被積表達(dá)式，實(shí)質(zhì)上就是“變與不變”的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在具體問題中的應(yīng)用。也就是說宏觀上在變的量，微觀上看是不變的量，如做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體，在很短的時(shí)間段內(nèi)可以看成是勻速運(yùn)動(dòng)等，通常把用這種觀點(diǎn)來處理問題的思想稱為微積分思想。在數(shù)學(xué)教學(xué)中就是要培養(yǎng)學(xué)生具有這種辯證的邏輯思維，并利用這種思維去解決實(shí)際問題。

2 微分元素法的實(shí)際應(yīng)用舉例

圖2

注意：此處微功dW 必須分水中dW1和水外dW2分別進(jìn)行計(jì)算。

例3.某建筑工地用人工挖樁，要將井深為20 米重約500 公斤的泥土從井中一次取出，裝泥土的載具自重40 公斤，纜繩2kg/m重。若將泥土以2m/s 的速度上升，在拉升過程中泥土碎塊又以3kg/s 的速度自載具中掉落，試問將泥土提至井口做多少功？

解：在泥土的提升過程中由于泥土的掉落和纜繩的縮短，使得整個(gè)系統(tǒng)的重量在減少，因而克服重力所做的功在時(shí)刻發(fā)生變化，下面用微元分析法來計(jì)算。

取井底位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，鉛直向上為x 軸建立坐標(biāo)系，為了解決問題的方便，可以將總功W 分為三個(gè)部分：

此題關(guān)鍵之處要把對(duì)不同對(duì)象所做的功分開處理，然后再用微元分析法處理。

3 微元分析法應(yīng)用總結(jié)

微元分析法在處理幾何、物理、力學(xué)等方面的一些應(yīng)用問題時(shí)顯得非常方便、實(shí)用，它的中心思想就是“變與不變”的辯證統(tǒng)一，宏觀上看起來在變的量，從微觀上可以看成是不變的量。因此，正確理解和掌握好微元分析法，對(duì)加深微積分學(xué)的理解，提高數(shù)學(xué)建模能力具有重要意義。