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    高斯色噪聲下基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA估計算法*

    2021-07-15 12:41:28李兆展林艷紅胡國平
    傳感器與微系統(tǒng) 2021年7期
    關鍵詞:四階嵌套高階

    吳 瓊, 李兆展, 林艷紅, 胡國平, 周 豪

    (1.中國人民解放軍93861部隊,陜西 三原 713800;2.空軍工程大學 防空反導學院, 陜西 西安 710051)

    0 引 言

    波達方向(direction of arrival, DOA)估計在雷達、聲納以及通信等領域有著廣泛的應用,學者們相繼提出了多重信號分類(multiple signal classification,MUSIC)算法和基于旋轉(zhuǎn)不變技術估計信號參數(shù)(estimating signal parameters via rotational invariance techniques,ESPRIT)算法等經(jīng)典的DOA估計算法。為便于研究,經(jīng)典的DOA估計算法常假設接收的噪聲是高斯白噪聲[1,2],但這在現(xiàn)實的電磁環(huán)境中難以滿足,實際接收的噪聲可能是高斯色噪聲,此時經(jīng)典DOA估計算法的性能將下降甚至失效[3]。針對這一問題,先后提出了空間差分算法、預白化算法、高階累積量算法等。其中,文獻[4,5]針對相干和獨立信源在高斯色噪聲下的DOA估計問題,利用噪聲協(xié)方差矩陣滿足Toeplitz矩陣結構的特點,通過空間差分算法消除色噪聲的影響。然而,空間差分算法只適用于相干和獨立信源共存的條件下,當僅存在獨立信源時,算法將失效。文獻[6]基于僅含色噪聲的采樣數(shù)據(jù)對陣列接收信號進行預白化,使色噪聲變?yōu)榘自肼?,以便后續(xù)的DOA估計。但在實際測向時,僅含色噪聲的數(shù)據(jù)難以取得,因此該算法的實用性不夠強。高斯噪聲的四階以上累積量為零,利用這一特性可有效消除高斯色噪聲的影響。文獻[7]提出一種基于四階累積量的Toeplitz矩陣重構算法,在高斯色噪聲和弱信噪比條件下仍然具有較高的估計精度。文獻[8]利用多輸入多輸出(multi-input multi-output,MIMO)雷達的旋轉(zhuǎn)不變性構造四階累積量矩陣來消除高斯色噪聲,并利用PM算法估計DOA。文獻[9]提出了具有高分辨率的2qMUSIC算法。然而,這些算法均基于均勻密布線陣,陣元有效自由度仍有提升空間。針對上述問題,Pal等人將高階累積量與嵌套陣相結合,提出基于高階累積量的2q階嵌套陣[10],在顯著擴展陣列有效自由度(degree of freedom,DOF)的同時抑制了高斯色噪聲,實現(xiàn)了色噪聲條件下的高精度DOA估計。然而,其2q階嵌套陣對應的“差聯(lián)合陣列”存在一定的孔洞,當應用MUSIC等算法時,僅能使用其中連續(xù)陣元,而離散的陣元被浪費。

    對此,本文利用MIMO雷達能夠形成“和差聯(lián)合陣列”的特點,提出一種基于高階累積量的2q階嵌套MIMO陣列,提高了有效自由度,從而實現(xiàn)更高精度的DOA估計。

    1 高階累積量

    (1)

    式中cx(I)為隨機變量x1,x2,…,xk的r階累積量,mx(Ip)為其符號集為Ip的矩。

    若x1,x2,…,xk均為零均值隨機變量,則式(1)將大為簡化。以四階累積量為例,根據(jù)式(1)有

    c4x(x1,…,x4)=E{x1x2x3x4}-E{x1x2}E{x3x4}-

    E{x1x3}E{x2x4}-E{x1x4}E{x2x3}

    (2)

    對于零均值的高斯隨機過程,其二階累積量和二階矩均等于其方差σ2,其高階(三階及三階以上)累積量恒為零。因此,當信源為非高斯分布而噪聲為高斯分布時,可利用高階累積量算法來消除高斯噪聲[9~12]。

    2 基于高階累積量的2q階嵌套MIMO陣列

    文獻[11]提出一種基于高階累積量的2q階嵌套陣,通過計算高階累積量矩陣并矢量化構造虛擬2q階“差聯(lián)合陣列”,從而實現(xiàn)自由度的擴展。以N=8的四階嵌套陣(q=2)為例,其物理陣元位置如圖1(a)所示,為[0,1,2,5,8,17,26,53],對應的虛擬陣列陣元位置如圖1(b)所示??梢?q階嵌套陣列能夠用較少的陣元實現(xiàn)較高的自由度,相應的角度估計性能也將得到提高。然而,從圖1(b1)也可看到,虛擬陣列并非是連續(xù)的,在82,83,86,91,92,94,95等處存在間斷,而常用的MUSIC,ESPRIT等算法均要求陣列為連續(xù)陣,因此,正半軸間斷點81右邊的這些有效自由度難以利用,造成了有效自由度的浪費。

    由圖1(b)分析可知,2q階嵌套陣利用構造高階累積量和矢量化形成虛擬的“差聯(lián)合陣列”,使自由度得到了擴展。然而,其僅僅是針對接收陣進行了優(yōu)化,并未將自由度擴展的潛力充分發(fā)揮出來。

    圖1 8陣元四階嵌套陣物理位置及其對應的虛擬陣列示意

    MIMO雷達能夠發(fā)射正交波形,并在接收端通過匹配濾波形成“和聯(lián)合陣列”,從而擴展接收陣虛擬孔徑[13]。受到這一啟發(fā),提出一種2q階嵌套MIMO陣列。首先利用MIMO雷達匹配濾波特性將自由度加以擴展,隨后再對接收數(shù)據(jù)構造高階累積量協(xié)方差矩陣并矢量化,形成2q階“和差聯(lián)合陣列”,從而進一步擴展有效自由度。

    設2q階嵌套MIMO陣列的陣元數(shù)為N,由于接收陣列原點處需要放置一個參考陣元,因此,只需考慮對余下的N0=N-1個陣元的位置進行優(yōu)化即可。而根據(jù)文獻[11],僅考慮接收的情況下,可將N0個陣元劃分為2q階子陣,各階子陣的陣元個數(shù)為

    (3)

    式中m和n分別為N0+2q-1除以2q所得的除數(shù)和余數(shù),即

    N0+2q-1=2qm+n0≤n≤2q-1

    (4)

    對于第一階至第2q-1階子陣,各子陣中陣元的坐標位置為

    (5)

    而第2q階子陣的陣元位置為

    (6)

    由于MIMO雷達能夠通過接收端的匹配濾波形成“和聯(lián)合陣列”,在第二步計算高階累積量并矢量化過程中能形成“差聯(lián)合陣列”,因此,為了使最終的“和差聯(lián)合陣列”自由度盡可能大,應使式(5)和式(6)中的陣元之和最大,且形成的連續(xù)虛擬陣元盡可能多。為此,將N0中前N0-1個陣元按照式(5)和式(6)計算出的位置置于發(fā)射陣列,將最后一個陣元按第2q階子陣中最后一個陣元的位置,放置在接收陣中。以8陣元的四階(q=2)嵌套MIMO陣列為例,發(fā)射陣和接收陣的結構如圖2所示,其中發(fā)射陣元的位置為[0,1,2,5,8,17],接收陣元的位置為[0,35]。對應的虛擬“和差聯(lián)合陣列”的陣元位置如圖3所示。

    圖2 8陣元四階(q=2)嵌套MIMO物理陣元位置

    圖3 8陣元四階(q=2)嵌套MIMO陣列對應的虛擬陣列示意

    通過對比圖1(b)和圖3可發(fā)現(xiàn),8陣元的四階嵌套MIMO陣列將形成更多的連續(xù)陣元;此外,8陣元四階嵌套陣的總自由度為197,而8陣元四階嵌套MIMO陣的總自由度為209。因此,無論從連續(xù)陣元數(shù)還是總自由度來看,8陣元四階嵌套MIMO陣列都更有優(yōu)勢,能夠?qū)崿F(xiàn)更高精度的DOA估計。

    3 基于空間平滑的MUSIC算法

    2q階嵌套MIMO陣列匹配濾波后的信號為

    y(t)=[ar(θ1)?at(θ1),…,ar(θk)?at(θk)]s(t)+w(t)

    =(Ar°At)s(t)+w(t)

    =As(t)+w(t)

    (7)

    式中Ar°At為Ar和At的Khatri-Rao積,w(t)為匹配濾波后的噪聲,s(t)為目標反射系數(shù)組成的向量

    s(t)=[ξ1(t),ξ2(t),…,ξk(t)]T

    (8)

    A=Ar°At=[a(θ1),a(θ2),…,a(θk)]

    (9)

    其中,接收到的目標反射信號ξk(t)(k=1,2,…,K)假設為非高斯分布,且噪聲w(t)為高斯色噪聲。A為匹配濾波后形成的虛擬導向矢量矩陣,相當于發(fā)射陣列和接收陣列的“和聯(lián)合陣列”

    atr(θk)=[ejdtr1πsin θk,ejdtr2πsin θk,…,ejdtrMNπsin θk]T

    (10)

    式中dtr((n-1)M+m)=dtm+drn由于接收陣元間距足夠大,MN個虛擬陣元的位置dtr((n-1)M+m)各不相同。

    利用式(2)計算y(t)中元素的高階累積量并排列為一個(MN)q×(MN)q的2q階Hermitian矩陣。當q≥2時,該矩陣的排列方式不止一種,用C2q,y(l)(0≤l≤q-1)代表不同排列方式的累積量矩陣,則有

    [atr(θk)? l?atr(θk)*?(q-l)]H+

    (11)

    (12)

    cvec=vec[C2q,y(l)]

    (13)

    (14)

    (15)

    (16)

    利用式(17)計算協(xié)方差矩陣并求平均可得

    (17)

    最后,基于C′可采用MUSIC,ESPRIT等算法來估計DOA。

    4 仿真實驗

    通過Monte Carlo仿真驗證所提算法的有效性。設總陣元數(shù)為8,Monte Carlo仿真次數(shù)為500。為便于計算分析,仿真中取q=2。

    仿真一多目標性能

    首先分析多目標條件下的DOA估計性能,設K=15個目標以10°為間隔分布在-70°到70°的空域,SNR=10 dB,快拍數(shù)L=300,圖4所示為2q階MUSIC算法(記為2qMUSIC)、基于2q階嵌套陣的DOA算法(記為2qNA)和基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法(記為2qNA MIMO)對應的空間譜。而空間差分MUSIC算法和最基本的MUSIC算法由于最多只能估計N-1個目標,因而在這種條件下失效,故不再在圖4中進行展示。由圖4可見,只有基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法能夠準確估計出所有15個目標的角度,從而證明與2q階嵌套陣相比,2q階嵌套MIMO陣列的自由度得到了提高。

    圖4 不同算法對15個目標角度估計

    仿真二鄰近目標性能

    隨后分析各算法對鄰近目標的角度估計性能,設K=2個目標的角度分別為10°和10.2°,SNR=10 dB,快拍數(shù)L=300,圖5所示為2q階MUSIC算法、基于2q階嵌套陣的DOA算法和基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法對應的空間譜。由圖5可見,只有基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法能夠準確將兩個鄰近目標區(qū)分開,而基于2q階嵌套陣的DOA算法和2q階MUSIC算法均失效,從而進一步證明了2q階嵌套MIMO陣列自由度得到了提高。

    圖5 不同算法對兩個鄰近目標角度估計

    仿真三高斯色噪聲下性能

    仿真三是為了研究2q階MUSIC算法、基于2q階嵌套陣的DOA算法和基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法在不同快拍數(shù)和不同信噪比下的測向性能。為此定義均方根誤差(root mean square error,RMSE)為

    (18)

    圖6(a)所示為不同算法的RMSE隨信噪比的變化關系,其中快拍數(shù)L=300,K=4個目標的角度分別為[10°,20°,30°,40°]。由圖6(a)可見,在快拍數(shù)一定的情況下,不同算法的RMSE均隨著SNR的增大而降低,其中基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法的估計精度最高,這是因為,一方面其采用了高階累積量消除了高斯色噪聲的影響,另一方面通過將2q階嵌套陣與MIMO相結合實現(xiàn)了有效自由度的提高。

    隨后研究不同算法的RMSE隨快拍數(shù)的變化關系,其中信噪比設為10 dB,K=4個目標的角度分別為[10°,20°,30°,40°]。由圖6(b)可見,在信噪比一定的條件下,不同算法的RMSE均隨著快拍數(shù)的增大而降低,其中2q階嵌套MIMO陣列的估計精度最高,而MUSIC算法由于沒有針對色噪聲采取有效抑制,因而其估計精度最低。

    圖6 不同算法RMSE隨信噪比和快拍數(shù)變化情況

    5 結 論

    本文針對高斯色噪聲下2q階嵌套陣的虛擬中存在孔洞,自由度利用不充分的問題,將2q階嵌套陣與MIMO體制相結合,構造2q階嵌套MIMO陣列,從而有效提高了形成的虛擬陣列中連續(xù)陣元的個數(shù),且能夠有效消除高斯色噪聲的不利影響。仿真表明:與2q階MUSIC算法和基于2q階嵌套陣的DOA算法相比,基于2q階嵌套MIMO陣列的DOA算法的多目標分辨力、鄰近目標分辨力均有所提高,在相同信噪比或相同快拍數(shù)下的估計精度也高于2q階MUSIC算法和基于2q階嵌套陣的DOA算法。

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