一類熱彈性板的Phragmén-Lindel?f二擇一結(jié)果

石金誠, 肖勝中

(1. 廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 廣州 511300； 2. 廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院 科研處, 廣州 510507)

1 引言與預(yù)備知識

解的空間指數(shù)衰減估計是Saint-Venant原則的一個重要性質(zhì), 但在研究解的Saint-Venant原則時, 通常需添加一個解在無窮遠(yuǎn)點處趨于零的限制. 近年來, 關(guān)于解的Phragmén-Lindel?f二擇一結(jié)果研究受到廣泛關(guān)注, 此時不需要對解在無窮遠(yuǎn)處添加限制條件. 經(jīng)典的Phragmén-Lindel?f定理表明, 調(diào)和方程的解從圓柱面有限的一端到無窮遠(yuǎn)處必隨距離呈指數(shù)增長或指數(shù)衰減. 由于雙調(diào)和方程在應(yīng)用數(shù)學(xué)與力學(xué)中具有重要作用, 因此, 在二維空間中的半無限帶形區(qū)域上, 對雙調(diào)和方程進(jìn)行空間性質(zhì)的研究受到廣泛關(guān)注. Payne等[1]給出了雙調(diào)和方程在3個不同區(qū)域的Phragmén-Linde?f二擇一結(jié)果； 文獻(xiàn)[2-5]利用不同方法研究了雙調(diào)和方程的空間性態(tài). 特別地, 文獻(xiàn)[6]考慮與時間相關(guān)的雙調(diào)和方程解的性態(tài), 采用二階微分不等式的方法得到了與時間相關(guān)的Stokes方程的Phragmén-Lindel?f二擇一結(jié)果. 對于解的Saint-Venant原則或Phragmén-Lindel?f二擇一研究目前也取得了一些成果： 文獻(xiàn)[7-13]研究了各種熱方程, 得到一些拋物方程解的空間性質(zhì). 本文研究雙曲拋物耦合方程組的Phragmén-Lindel?f二擇一性質(zhì). 由于該方程組中兩個方程的性態(tài)不同, 從而導(dǎo)致構(gòu)造解的能量函數(shù)較難.

本文所考慮的區(qū)域定義為Ω0={(x1,x2)|x1>0, 0

Lz={(x1,x2)|x1=z≥0, 0≤x2≤h}.

考慮如下可用于描述由彈性膜和彈性板構(gòu)成演化過程的方程組[14]：

其中v表示板的垂直擾度,θ表示溫度差,λ,κ,γ均為正常數(shù), Δ表示Laplace算子, Δ2表示雙調(diào)和算子.給出如下初邊值條件：

(3)

其中g(shù)i(x2,t)(i=1,2,3)是給定函數(shù), 并滿足如下的相容性條件：

(4)

2 能量函數(shù)的定義

首先, 在式(1)兩邊同時乘以exp{-ωt}v,t并積分, 可得

定義函數(shù)φ1(z,t)為

聯(lián)合式(5),(6), 可得φ1(z,t)的另一個表達(dá)式：

其次, 在式(2)兩邊同時對t求導(dǎo), 再乘以exp{-ωt}v,t并積分, 可得

定義函數(shù)φ2(z,t)為

聯(lián)合式(8),(9), 可得φ2(z,t)的新表達(dá)式為

(10)

在式(2)兩邊同時對t求導(dǎo), 再乘以exp{-ωt}θ,t并積分, 可得

定義函數(shù)φ3(z,t)為

聯(lián)合式(11),(12), 可得φ3(z,t)的另一個表達(dá)式：

(13)

在式(1)兩邊同時乘以exp{-ωt}θ,t并積分, 可得

定義函數(shù)φ4(z,t)為

聯(lián)合式(14),(15), 可得φ4(z,t)的另一個表達(dá)式：

(16)

在式(1)兩邊同時乘以exp{-ωt}v,αα并積分, 可得

定義函數(shù)φ5(z,t)為

聯(lián)合式(17),(18), 可得φ5(z,t)的另一個表達(dá)式：

由式(9),(15), 可得

由式(6),(12), 可得

由式(18), 可得

由式(20), 可知

其中ε1是大于零的任意常數(shù).聯(lián)合式(21)～(23), 可得

其中k1,k2是大于零的任意常數(shù).

聯(lián)合式(7),(10),(13),(16),(19), 定義能量函數(shù)φ(z,t)為

φ(z,t)=k1(φ2(z,t)+φ4(z,t))+φ5(z,t)+k2(φ1(z,t)+φ3(z,t)).

(25)

在式(24)中, 取

可得

令

3 Phragmén-Lindel?f二擇一結(jié)果

下面首先通過φ(z,t)的性質(zhì)得到一個微分不等式, 然后求解該微分不等式, 最后結(jié)合φ(z,t)與E(z,t)的性質(zhì)得到解的Phragmén-Lindel?f二擇一結(jié)果.

聯(lián)合式(7),(10),(13),(16),(19),(25), 可得

對于式(27)右邊第一項, 由H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式, 可得

對于式(27)右邊其他項, 采用類似式(28)的處理方法, 可得

(29)

其中k3為可計算的大于零的常數(shù).

下面分兩種情形討論：

(30)

(31)

在情形1)下, 類似于式(27)的推導(dǎo), 可得

(32)

其中k4是可計算大于零的常數(shù).對式(32)兩邊同時從z到z1積分, 可得

(33)

(34)

聯(lián)合式(30),(34), 可得

(35)

(36)

其中

聯(lián)合式(31),(36), 可得

(37)

綜合上述討論, 可得：

定理1假設(shè)(v,θ)為初邊值問題(1)-(4)的古典解, 則下列兩個不等式之一成立：

(38)

(39)

4 垂直擾度v的點點估計

引理1(Wirtinger不等式)[6]若u(x2)∈C1(0,h), 且u(0)=u(h)=0, 則

(40)

定理2在式(39)能量指數(shù)衰減的基礎(chǔ)上, 對于垂直擾度v, 有如下點點指數(shù)衰減估計:

(41)

(42)

由式(42),(43), 可得

證畢.