盤(pán)式電機(jī)氣隙漏磁與空載氣隙磁密的解析計(jì)算

于慎波， 江爽， 夏鵬澎

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110870)

0 引 言

軸向磁場(chǎng)盤(pán)式永磁電動(dòng)機(jī)因其具有高轉(zhuǎn)矩慣量比，結(jié)構(gòu)緊湊，效率高，功率密度大等優(yōu)點(diǎn)，因此適用于電動(dòng)汽車(chē)驅(qū)動(dòng)，新能源發(fā)電等領(lǐng)域。

在盤(pán)式永磁電機(jī)的分析與設(shè)計(jì)階段，可以利用有限元軟件進(jìn)行仿真分析，但仿真過(guò)程需要較長(zhǎng)的時(shí)間進(jìn)行，這時(shí)候就需要用到解析法對(duì)盤(pán)式永磁電機(jī)進(jìn)行初步分析。不管何種結(jié)構(gòu)電機(jī)，該電機(jī)的漏磁系數(shù)與空載氣隙磁密都是對(duì)該種電機(jī)進(jìn)行初步分析需要考慮的。等效磁網(wǎng)絡(luò)法是一種將磁路問(wèn)題轉(zhuǎn)化為電路問(wèn)題來(lái)進(jìn)行分析的方法。其中，等效磁網(wǎng)絡(luò)模型中的電阻代表磁阻，電流代表磁通，電動(dòng)勢(shì)代表磁動(dòng)勢(shì)。這種方法對(duì)于軸向磁場(chǎng)、徑向磁場(chǎng)、混合型磁場(chǎng)全都適用，相較于磁網(wǎng)絡(luò)法來(lái)說(shuō)，解析建模過(guò)程更加簡(jiǎn)單而且便于理解；相較于有限元法來(lái)說(shuō)，不需要對(duì)復(fù)雜的電機(jī)本體進(jìn)行實(shí)體建模，能更快高效地解決問(wèn)題。文獻(xiàn)[1]采用該方法對(duì)一臺(tái)徑向磁場(chǎng)永磁電機(jī)進(jìn)行了分析，計(jì)算了電機(jī)在不同氣隙長(zhǎng)度,不同極距和不同剩磁密度下的氣隙磁密及漏磁系數(shù)，并且經(jīng)過(guò)了有限元仿真計(jì)算的驗(yàn)證，但該文獻(xiàn)沒(méi)有考慮端部漏磁。文獻(xiàn)[2]采用該種方法分析計(jì)算了單定子單轉(zhuǎn)子軸向磁場(chǎng)盤(pán)式電機(jī)不同氣隙長(zhǎng)度和極弧系數(shù)下的漏磁系數(shù)，并且經(jīng)過(guò)了有限元仿真計(jì)算的驗(yàn)證，該文獻(xiàn)考慮了端部漏磁。文獻(xiàn)[3]計(jì)算了橫向磁通永磁直線(xiàn)電機(jī)定轉(zhuǎn)子在不同位置下的氣隙磁導(dǎo)，由此建立了該電機(jī)變磁導(dǎo)等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，基于此模型解析計(jì)算出電機(jī)的空載反電勢(shì)。文獻(xiàn)[4]建立了無(wú)刷雙饋電機(jī)的等效磁網(wǎng)絡(luò)模型，基于此模型分析了電機(jī)在不同工況下的運(yùn)行特性，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。文獻(xiàn)[5]采用精確子域模型法解析計(jì)算了一臺(tái)10極12槽不等寬不等厚Halbach部分分段徑向永磁同步電機(jī)的空載氣隙磁密，并且考慮了齒槽效應(yīng)。文獻(xiàn)[6-8]給出了空載氣隙磁密分布解析公式，利用此公式可以直接算出軸向磁通永磁電機(jī)任何位置的空載氣隙磁密的大小。該公式由三部分組成：永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密、齒槽效應(yīng)函數(shù)、端部效應(yīng)修正函數(shù)。文獻(xiàn)[9]基于一個(gè)永磁直線(xiàn)電機(jī)模型，介紹了一個(gè)基于傅里葉分析的永磁體產(chǎn)生的氣隙磁通密度分布方程。文獻(xiàn)[10]完全利用二維有限元進(jìn)行曲線(xiàn)擬合出軸向磁通永磁無(wú)刷直流電機(jī)的端部效應(yīng)函數(shù)曲線(xiàn)，并將平均半徑處的氣隙磁密曲線(xiàn)利用有限元與解析算法進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果比較吻合。文獻(xiàn)[11]在文獻(xiàn)[10]的基礎(chǔ)上提出了利用虛擬等效直線(xiàn)電機(jī)模型的概念推導(dǎo)端部效應(yīng)修正函數(shù)解析公式。本文首先對(duì)盤(pán)式電機(jī)的磁路進(jìn)行了分析，解析求出氣隙磁場(chǎng)中的各種漏磁磁阻，提出利用等效磁網(wǎng)絡(luò)法求解盤(pán)式電機(jī)氣隙漏磁系數(shù)。通過(guò)函數(shù)的變形并利用二分法優(yōu)化計(jì)算去求解該種電機(jī)端部效應(yīng)修正函數(shù)，并利用解析法求解考慮開(kāi)槽效應(yīng)的平均半徑處的空載氣隙磁密。最后，通過(guò)有限元法進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。

1 軸向磁場(chǎng)盤(pán)式永磁電機(jī)等效磁網(wǎng)絡(luò)模型

軸向磁場(chǎng)盤(pán)式永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。電機(jī)模型參數(shù)如表1所示。該電機(jī)額定功率為5 kW，額定轉(zhuǎn)速為450 r/min。

圖1 盤(pán)式永磁電機(jī)結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Construction of disc PM motor

表1 電機(jī)參數(shù)

由于盤(pán)式電機(jī)的對(duì)稱(chēng)性，在對(duì)電機(jī)的磁路進(jìn)行分析時(shí)，不需要對(duì)整機(jī)的磁路進(jìn)行分析，只需在一個(gè)極距單元來(lái)進(jìn)行分析。如圖2所示為一個(gè)極距單元下的盤(pán)式電機(jī)磁路模型圖。其中，回路①表示氣隙主磁通，回路②表示永磁體邊緣漏磁磁路(分為3種情況漏磁，分別是沿永磁體圓周方向漏磁，沿永磁體內(nèi)圓周邊緣漏磁，沿永磁體外周邊緣漏磁)，回路③表示相鄰永磁體之間的漏磁磁路。由圖2所示的盤(pán)式電機(jī)磁路圖可以得到如圖3所示的盤(pán)式電機(jī)等效磁網(wǎng)絡(luò)圖。在圖3中，Φr為永磁體虛擬內(nèi)稟磁通，Φm為永磁體向外磁路提供的總磁通，Φg為氣隙主磁通，Rg為氣隙磁阻，Rc為電樞電阻，Rm為永磁體自身磁阻，Rmo為永磁體外周邊緣漏磁，Rmi為永磁體內(nèi)周邊緣漏磁磁阻，Rmr為永磁體沿圓周方向漏磁磁阻，Rmm為相鄰永磁體之間漏磁磁阻，F(xiàn)ad為電樞反應(yīng)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)。

圖2 盤(pán)式永磁電機(jī)磁路模型Fig.2 Magnetic circuit model of disc PM motor

圖3 盤(pán)式永磁電機(jī)等效磁路網(wǎng)絡(luò)Fig.3 Equivalent magnetic circuit of disc PM motor

考慮到磁路對(duì)稱(chēng)性，可以將圖3簡(jiǎn)化為圖4。在對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化時(shí)，可以認(rèn)為Rc=0，F(xiàn)ad=0。

圖4 盤(pán)式永磁電機(jī)簡(jiǎn)化磁網(wǎng)絡(luò)Fig.4 Reduced magnet circuit of disc PM motor

根據(jù)圖4所示的簡(jiǎn)化等效磁路網(wǎng)絡(luò)圖，可以得到：

(1)

(2)

(3)

平均氣隙磁通密度為

(4)

式中：Ag為氣隙面積；Am永磁體軸向面積；αp為極弧系數(shù)。

2 各部分磁阻的計(jì)算

2.1 永磁體內(nèi)磁阻Rm以及氣隙磁阻Rg

永磁體內(nèi)磁阻Rm和氣隙磁阻Rg可以表示為：

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：Am為每極永磁體的充磁方向截面積；Aeff為考慮邊緣效應(yīng)時(shí)每極氣隙有效截面積；hm為永磁體厚度；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為永磁體相對(duì)磁導(dǎo)率；αp為極弧系數(shù)；p為極對(duì)數(shù)；Dmo為永磁體外直徑；Dmi為永磁體內(nèi)直徑；g′為考慮開(kāi)槽效應(yīng)后的氣隙長(zhǎng)度。

由于存在開(kāi)槽效應(yīng)，在槽口處的氣隙長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化，所以需要用卡特系數(shù)kc去表示實(shí)際氣隙長(zhǎng)度g′。卡特系數(shù)kc計(jì)算方法[9]為：

(9)

g′=kcg。

(10)

式中：ωs定子齒寬；τs為槽距。

2.2 其他漏磁磁導(dǎo)的計(jì)算

文獻(xiàn)[12]介紹了如何利用圓弧直線(xiàn)法求解雙氣隙電機(jī)漏磁磁導(dǎo)，由此我們可以直接得到電機(jī)的其他漏磁磁導(dǎo)。

永磁體內(nèi)周邊緣漏磁磁導(dǎo)可以表示為

(11)

永磁體外周邊緣漏磁磁導(dǎo)可以表示為

(12)

本文使用的電機(jī)兩永磁體極間距離的一半大于氣隙長(zhǎng)度，因此永磁體沿圓周方向漏磁磁導(dǎo)可以表示為

(13)

相鄰永磁體之間漏磁磁導(dǎo)可以表示為

(14)

將式(11)到式(14)表示的磁導(dǎo)分別求倒數(shù)，即可得到各自的漏磁磁阻。

3 空載氣隙磁密解析

在對(duì)電機(jī)進(jìn)行空載氣隙磁密數(shù)學(xué)模型的建立時(shí)，當(dāng)考慮齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)的情況下，半徑r處的空載氣隙磁密可表示為[7]

B(r,θ)=Bslotless(r,θ)ξ(r,θ)τ(r)。

(15)

式中：Bslotless(r,θ)表示忽略齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)時(shí)半徑r處永磁體產(chǎn)生的氣隙磁密；ξ(r,θ)表示考慮開(kāi)槽的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)；τ(r)表示考慮定子極外半徑和內(nèi)半徑附近端部效應(yīng)的端部效應(yīng)修正函數(shù)。

Bslotless(r,θ)=

(16)

式中：n為氣隙磁密諧波次數(shù)；αp(r)為半徑r處的極弧系數(shù)。對(duì)于常規(guī)扇形永磁體，αp(r)=αp。

3.1 端部效應(yīng)修正函數(shù)τ(r)解析

端部效應(yīng)修正函數(shù)τ(r)的表達(dá)式為[8]

(17)

(18)

式中：Ro為定子外半徑；Ri為定子內(nèi)半徑；ψ為與電機(jī)參數(shù)相關(guān)的參數(shù)。

如圖5為有限元法仿真得到的磁極中心線(xiàn)氣隙磁密圖，由圖可以看出在徑向距離為80～115 mm范圍內(nèi)氣隙磁密保持不變，即τ(r=80～115 mm)=1，取r=85代入式(18)，分析得出ψ的取值范圍為1≤ψ≤4。利用二分法優(yōu)化計(jì)算，取ψ=1、2、3、4，得到圖6。取ψ=1.7、2、2.3，徑向位置取72～82 mm,得到圖7。從圖7中可以看出ψ=2為最佳值。

圖5 磁極中心線(xiàn)氣隙磁密曲線(xiàn)圖Fig.5 Air gap flux density in the radial center line of one pole

圖6 ψ分別取1、2、3、4時(shí)磁極中心線(xiàn)氣隙磁密與有限元仿真對(duì)比圖Fig.6 Comparison of air gap flux density in the radial center line of one pole between FEM and analytical method when ψ is taken as 1,2,3,4

圖7 ψ分別取1.7、2、2.3時(shí)磁極中心線(xiàn)氣隙磁密與有限元仿真對(duì)比圖Fig.7 Comparison of air gap flux density in the radial center line of one pole between FEM and analytical method when ψ is taken as 1.7,2,2.3

由此可以得出盤(pán)式永磁電機(jī)的端部效應(yīng)修正函數(shù)曲線(xiàn)如圖8所示。

圖8 端部效應(yīng)修正函數(shù)曲線(xiàn)Fig.8 Analytical results for end effect correction function

3.2 考慮開(kāi)槽的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)ξ(r,θ)解析

定子開(kāi)槽會(huì)導(dǎo)致槽口部分的氣隙磁密發(fā)生變化，這是由于槽口區(qū)域的氣隙長(zhǎng)度大于非槽口區(qū)域的氣隙長(zhǎng)度，從而使得槽口部分的氣隙磁阻大于非槽口區(qū)域的氣隙磁阻。文獻(xiàn)[13]給出了氣隙中和槽口部分的磁通路徑的求解方法：將其分別等效為平行直線(xiàn)與四分之一圓弧。

文獻(xiàn)[11]給出了一個(gè)槽距內(nèi)考慮開(kāi)槽的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)，在此基礎(chǔ)上，擴(kuò)展到24個(gè)槽距內(nèi)考慮開(kāi)槽的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)，即

(19)

(20)

其中：k=0，1，2，…，23；b0表示槽口寬度。將式(20)代入到式(19)中，得到平均半徑處考慮開(kāi)槽的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)曲線(xiàn)，如圖9所示。

圖9 平均半徑處考慮開(kāi)槽的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)曲線(xiàn)Fig.9 Relative air gap permeance function curve considering slotting at average radious

4 有限元仿真驗(yàn)證

本文以一臺(tái)22極24槽軸向磁場(chǎng)盤(pán)式永磁電機(jī)為例, 首先是針對(duì)盤(pán)式永磁電機(jī)進(jìn)行三維建模。在針對(duì)盤(pán)式電機(jī)的空載氣隙磁場(chǎng)進(jìn)行有限元仿真分析時(shí)，永磁體的充磁方向的設(shè)置是沿軸向的。對(duì)于永磁體的充磁方向具體在軟件中的設(shè)置就是：“N”極的“X，Y”方向設(shè)置為“0”，“Z”方向設(shè)置為“1”；“S”極的“X，Y”方向設(shè)置為“0”，“Z”方向設(shè)置為“-1”。圖10給出了有限元仿真計(jì)算結(jié)果的空載情況下的三維磁通密度分布云圖。如圖11所示為盤(pán)式永磁電機(jī)三維氣隙磁密圖。

圖10 空載下的三維磁通密度分布云圖Fig.10 Three dimensional magnetic flux density distribution nephogram under no load

圖11 盤(pán)式永磁電機(jī)三維氣隙磁密圖Fig.11 Three dimensional air gap flux density of disc motor

4.1 氣隙漏磁系數(shù)和平均氣隙磁密的驗(yàn)證

有限元法算出的氣隙漏磁系數(shù)為1.139 7，而用等效磁網(wǎng)絡(luò)法算出的漏磁系數(shù)為1.101 6，誤差為3.34%。有限元法算出的平均氣隙磁密為0.780 4 T，而用等效磁網(wǎng)絡(luò)法算出的平均氣隙磁密為0.751 8 T，誤差為3.66%。

4.2 端部效應(yīng)修正函數(shù)曲線(xiàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證驗(yàn)證本文所提出的端部效應(yīng)修正函數(shù)，又選取了一個(gè)20極30槽，定子外徑為200 mm，定子內(nèi)徑為128 mm的雙定子單轉(zhuǎn)子盤(pán)式電機(jī)，對(duì)其磁極中心線(xiàn)氣隙磁密進(jìn)行仿真，圖12為有限元與解析法計(jì)算磁極中心線(xiàn)氣隙磁密對(duì)比圖。說(shuō)明端部效應(yīng)修正函數(shù)適用于不同尺寸、不同極槽配合、不同結(jié)構(gòu)類(lèi)型的軸向磁場(chǎng)盤(pán)式永磁電機(jī)。

圖12 有限元與解析法計(jì)算磁極中心線(xiàn)氣隙磁密對(duì)比圖Fig.12 Comparison of air gap flux density in the radial center line of one pole between FEM and analytical method

4.3 平均半徑處氣隙磁密函數(shù)驗(yàn)證

當(dāng)徑向位置在平均半徑處，τ(r)=1。圖13是利用解析法和有限元法計(jì)算平均半徑處的氣隙磁密對(duì)比圖。

從圖13可以看出有限元與解析法對(duì)比的結(jié)果基本吻合，特別是在齒槽效應(yīng)引起的氣隙磁密發(fā)生突變的地方能較好的對(duì)應(yīng)上，這說(shuō)明了考慮開(kāi)槽的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)是切實(shí)的。用有限元法算出氣隙磁密的平均值為0.780 4 T，解析法算出的氣隙磁密的平均值為0.761 1 T，誤差為2.47%。綜上，說(shuō)明本文采用的解析法計(jì)算空載氣隙磁密是可行的。

圖13 有限元與解析法計(jì)算平均半徑處氣隙磁密對(duì)比圖Fig.13 Comparison of air gap flux density at average radius between FEM and analytical method

5 結(jié) 論

本文針對(duì)一臺(tái)22極24槽的軸向磁場(chǎng)盤(pán)式永磁同步電機(jī)，利用解析法與有限元法計(jì)算了氣隙漏磁系數(shù)，端部效應(yīng)修正函數(shù)，槽數(shù)為24槽的齒槽效應(yīng)函數(shù)、完整的空載氣隙磁密函數(shù)。

1)本文利用等效磁網(wǎng)絡(luò)法建立了雙定子單轉(zhuǎn)子盤(pán)式永磁電機(jī)的等效磁路網(wǎng)絡(luò)模型，利用圓弧直線(xiàn)法求出了該電機(jī)的各種漏磁磁阻，解析計(jì)算出氣隙漏磁系數(shù)和平均氣隙磁密，解析法與有限元法所計(jì)算的氣隙漏磁系數(shù)和平均氣隙磁密的誤差分別為 3.34%和3.66%。

2)經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得出新的端部效應(yīng)修正函數(shù)，然后運(yùn)用二分法優(yōu)化計(jì)算，確定了未知參數(shù)ψ，得到了解析法繪制的端部效應(yīng)曲線(xiàn)圖。推導(dǎo)出的端部效應(yīng)修正函數(shù)適用于不同尺寸、不同極槽配合、不同結(jié)構(gòu)類(lèi)型的軸向磁場(chǎng)盤(pán)式永磁電機(jī)。

3)利用解析法計(jì)算出24個(gè)槽距下的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)和考慮齒槽效應(yīng)的平均半徑處的空載氣隙磁密分布，并與有限元法得到的磁密曲線(xiàn)進(jìn)行了對(duì)比，其氣隙磁密的平均值的誤差為2.47%。