模糊有界完備domain及其基本性質(zhì)

馬娜娜， 羅清君

（西安財(cái)經(jīng)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安710100）

Domain理論產(chǎn)生于20世紀(jì)60年代末70年代初，其目的是為Strachey的指稱語(yǔ)義學(xué)提供模型，是理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之一.序和拓?fù)涞南嗷ソY(jié)合、相互作用是這一理論的基本特征.1980年，Gierz等［1］對(duì)連續(xù)格的內(nèi)容和思想進(jìn)行了系統(tǒng)的研究.2003年，Gierz等［2］重新修訂了專著［1］，對(duì)連續(xù)格和Domain理論的發(fā)展做了階段性總結(jié).2013年，Goubault-Larrecq［3］介紹了Domain理論與非T2拓?fù)涞木o密聯(lián)系.經(jīng)過(guò)40多年的發(fā)展，Domain理論已有豐富的成果和廣泛的應(yīng)用，并與拓?fù)鋵W(xué)和范疇論等眾多數(shù)學(xué)分支有著緊密的聯(lián)系［4-6］.

模糊Domain理論是把模糊集理論應(yīng)用到Domain理論中，其最大的優(yōu)點(diǎn)在于強(qiáng)調(diào)與模糊集理論的直接聯(lián)系，從而可以運(yùn)用模糊集理論作為工具，使許多問(wèn)題得以順利解決.目前，模糊Domain理論及相關(guān)領(lǐng)域已經(jīng)取得了較為豐富的研究成果［7-16］，并與拓?fù)鋵W(xué)、范疇論和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)等眾多學(xué)科發(fā)生了非常密切的聯(lián)系，但關(guān)于模糊有界完備domain的性質(zhì)還尚無(wú)涉及.基于此，本文引入模糊有界完備domain和模糊Scott domain的概念，研究它們的模糊閉包算子的像以及模糊保序映射等一些基本的性質(zhì).證明在相應(yīng)條件下，IL（X）是模糊Scott domain，并在此基礎(chǔ)上給出模糊有界完備domain的等價(jià)刻畫(huà).

1 預(yù)備知識(shí)

下面給出完備剩余格和模糊偏序集中的一些基本概念和結(jié)論.

定義1.1［17］作為一個(gè)泛代數(shù)，一個(gè)剩余格是一個(gè)（2，2，2，2，0，0）型代數(shù)（L；∧，∨，*，→，0，1）（有時(shí)簡(jiǎn)記為（L，*）或僅為L(zhǎng)）滿足：

（RL1）（L；∧，∨，0，1）是有界格，0、1分別為最小元和最大元；

（RL2）（L；*，1）是交換幺半群，且*雙側(cè)保序；

（RL3）?x，y，z∈L，x*y≤z當(dāng)且僅當(dāng)

若L是完備格，則稱L是完備剩余格.

定理1.2［18］設(shè)L是剩余格，則成立：

（R1）a*b≤a∧b；

（R2）a＝1→a；

（R3）a≤b?a→b＝1；

（R4）a→（b→c）＝（a*b）→c；

（R5）a→b≥b；

當(dāng)L是完備格時(shí)，則成立：

文中若無(wú)特別說(shuō)明，L均表示一個(gè)完備剩余格.

定義1.3［7，14］設(shè)X是一個(gè)集合，e：X×X→L是一個(gè)映射.若滿足：?x，y，z∈X，成立：

（E1）e（x，x）＝1（自反性）；

（E2）e（x，y）*e（y，z）≤e（x，z）（傳遞性）；

（E3）e（x，y）＝e（y，z）＝1?x＝y(tǒng)（反對(duì)稱性）；則稱（X，e）是模糊偏序集，e稱為X上的模糊偏序.有時(shí)也把（X，e）簡(jiǎn)記為X.

定義1.4［7，14］設(shè)（X，e）是模糊偏序集，x0∈X，?A∈LX.若滿足：

1）?x∈X，A（x）≤e（x，x0）（相應(yīng)地，A（x）≤e（x0，x））；

在定義1.4中，如果x0和A滿足條件1），此時(shí)稱x0為A的上界（相應(yīng)地，下界）.

定理1.5［7］設(shè)（X，e）是模糊偏序集，A∈LX，則

定義1.6［7］設(shè)（X，e）是模糊偏序集，若?A∈存在，則稱模糊偏序集（X，e）模糊完備格.

設(shè)f是模糊偏序集（X，eX）和（Y，eY）之間的映射.若

則稱f是模糊保序映射.若f是雙射且f，f－1是模糊保序映射，則稱f是模糊序同構(gòu).

定義1.7設(shè)f：X→Y是一個(gè)映射.Zadeh前置冪集算子

和Zadeh后置冪集算子

分別定義為：

和

定義1.8［19］設(shè)（X，e）是模糊偏序集，D∈L X，，且

則稱D為一個(gè)模糊定向子集.若模糊定向子集I∈L X是模糊下集，則稱I為一個(gè)模糊理想.模糊偏序集（X，e）的全體模糊定向子集（模糊理想）的全體記為DL（X）（IL（X））.

定義1.9［20-21］設(shè)（X，e）是模糊Dcpo，?x∈X，定義?x∈L X為

定義1.10［20-21］設(shè)（X，e）是模糊Dcpo，x∈X.定義映射k x：X→L為?y∈X，則

若k x是X的模糊定向子集且則稱X是代數(shù)模糊domain.

定義1.11［22］設(shè)（X，e）是模糊偏序集，f：X→Y為映射，若f滿足

且

則稱f為X上的一個(gè)模糊閉包算子.

2 模糊有界完備domain

下面引入模糊有界完備domain的概念，主要研究其上的模糊閉包算子的像以及模糊保序映射等一些基本的性質(zhì).

定義2.1［23］設(shè)（X，e）是模糊偏序集，如果?A∈L X，當(dāng)A有上界時(shí)存在，則稱（X，e）為模糊有界完備的.

定義2.2設(shè)（X，e）是模糊domain，如果（X，e）為模糊有界完備的，則稱（X，e）是模糊有界完備domain.

定理2.3設(shè)（X，e）是模糊有界完備domain，若c：X→X是保模糊定向并的模糊閉包算子，則c（X）是模糊有界完備domain，且

證明第一步，c（X）是模糊Dcpo.

由于（X，e）是模糊有界完備domain，有

下證

對(duì)任意x∈c（X），則

反之，對(duì)任意y∈c（X），則

綜上

第二步，c（X）是模糊domain.設(shè)y∈c（X），x∈X，I∈IL（c（X）），則

因此

下證?y∈c（X），?y∈IL（c（X））.由于

對(duì)任意x，x2∈c（X），則

容易證明?y是c（X）中的模糊下集.

綜上，?y∈IL（c（X））.

由于（X，e）是模糊有界完備domain，有

又c：X→X保模糊定向并，則

且

下證c（X）是模糊連續(xù)的.

反之，顯然成立.

綜上，c（X）是模糊domain.

第三步，c（X）是模糊有界完備的.?A∈Lc（X），x0為A的上界，即

定義

則A1∈LX，且A1的模糊上界為x0，根據(jù)X是模糊有界完備的，得到存在.

因此

最后，證明對(duì)任意x，y∈c（X），則

反之

推論2.4設(shè)（X，e）是模糊有界完備domain，若c：X→X是保模糊定向并的模糊閉包算子，則

證明?x，y∈X，?y（x）≤?y（c（x））＝

定理2.5設(shè)（X，e）是模糊有界完備domain，（Y，e）是模糊連續(xù)格，用（X→Y）表示所有的模糊保序映射，?f∈（X→Y），定義k（f）：X→Y為

有：

1）k（f）∈（X→Y）；

2）若用［X→Y］表示

則f保模糊定向并.

證明1）?x1，x2∈X，則

因此，k（f）∈（X→Y）.

一方面

另一方面

綜上，f保模糊定向并.

3 模糊Scott domain

下面研究模糊Scott domain中模糊閉包算子的像的性質(zhì)，證明在相應(yīng)條件下，IL（X）是模糊Scott domain，在此基礎(chǔ)上給出模糊有界完備domain的等價(jià)刻畫(huà).

定義3.1［20-21］設(shè)（X，e）是模糊Dcpo，x∈X.如果?x（x）＝1，則稱x是X中的L-緊元.X中L-緊元的全體記為K（X）.

定義3.2設(shè)（X，e）是模糊有界完備的Dcpo，x∈X.定義映射k x：X→L為?y∈X，則

若k x是X的模糊定向子集且則稱X是代數(shù)模糊有界完備domain，也稱為模糊Scott domain.

命題3.3設(shè)（X，e）是模糊Scott domain，則（X，e）是模糊有界完備domain.

命題3.4設(shè)（X，e）是模糊Scott domain，c：X→X是保模糊定向并的模糊閉包算子，有：

1）c（X）是模糊Scott domain；

2）若L是frame且1?1，則

證明1）由定理2.3，c（X）是模糊有界完備domain.僅需證明c（X）是代數(shù)的.?c（x）∈c（X），由于（X，e）是模糊Scott domain且c：X→X是保模糊定向并的模糊閉包算子，則k x是X的模糊定向子集且又根據(jù)推論2.4知c（K（X））?K（c（X））.

下證

一方面

另一方面

2）由1）知c（K（X））?K（c（X））.

下證

根據(jù)定理2.3，?x∈K（c（X）），則

由于L是frame且1?1.因此，存在u∈K（X），使得x＝c（u），從而

引理3.5設(shè)（X，e）是模糊偏序集，?A∈LX，存在x0∈X使得A（x0）＝1，則（X，e）是模糊有界完備的當(dāng)且僅當(dāng)存在.

證明必要性 設(shè)?A∈LX，A有上界，即?x∈X，存在y∈X使得A（x）≤e（x，y），則

因此，Au≠0L.根據(jù)存在，這說(shuō)明（X，e）是模糊有界完備的.

充分性 設(shè)?0L≠A∈LX，根據(jù)題意知存在x0∈X使得A（x0）＝1，由于

這說(shuō)明Al有上界.因此知存在.

引理3.6設(shè)（X，e）是模糊有界完備domain，L＝［0，1］，?Φ∈LIL（X），存在I0∈X使得 Φ（I0）＝1，則IL（X）是模糊Scott domain.

證明文獻(xiàn)［20-21］已經(jīng)證明當(dāng)（X，e）是模糊domain時(shí)，IL（X）是代數(shù)模糊domain，在這里只需證明當(dāng)（X，e）是模糊有界完備時(shí)，IL（X）是模糊有界完備的.設(shè)

下證 φ∈IL（X）.

1）φ是模糊下集.

定理3.7設(shè)（X，e）是模糊Dcpo，則（X，e）是模糊有界完備domain當(dāng)且僅當(dāng)存在模糊Scott domain（Y，e），r：Y→X使得r是保模糊定向并的滿射且r有左伴隨.

證明必要性 令Y＝IL（X），根據(jù)引理3.6可知IL（X）是模糊Scott domain.定義r：Y→X為

容易驗(yàn)證r是滿射且有左伴隨.根據(jù)文獻(xiàn)［20-21］，易證

因此，r保模糊定向并.

充分性 設(shè)h是r的左伴隨，則h保模糊定向并.由于r：Y→X是滿射，故h：X→Y是單射.令p＝h?r，則X?imp.類(lèi)似定理2.3，根據(jù)（Y，e）是模糊Scott domain，容易證明imp是模糊有界完備domain.因此，（X，e）是模糊有界完備domain.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文引入了模糊有界完備domain和模糊Scott domain的概念，研究了它們的模糊閉包算子的像以及模糊保序映射等一些基本的性質(zhì).證明了在相應(yīng)條件下，IL（X）是模糊Scott domain，在此基礎(chǔ)上給出了模糊有界完備domain的等價(jià)刻畫(huà).然而，模糊有界完備domain范疇和模糊Scott domain范疇是否是笛卡爾閉的，以及如何刻畫(huà)它們的模糊Scott拓?fù)涞确矫娴墓ぷ鳎梢赃M(jìn)一步探究.