多自由度固有振動(dòng)廣義特征值問題的復(fù)分析證明1)
——工科教育中的理論思維能力培養(yǎng)一例

王懷磊

(南京航空航天大學(xué)振動(dòng)工程研究所，南京210016)

(南京航空航天大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016)

線性N自由度無阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程(組)為

其中u為N自由度位移向量，K為系統(tǒng)剛度矩陣，M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣。在求解該方程的固有振動(dòng)時(shí)，可首先假設(shè)其具有同頻率、同相位但不同振幅的固有振動(dòng)形式解

其中ω和θ為待求實(shí)標(biāo)量參數(shù)，在力學(xué)體系中分別代表固有頻率和初相位，φ為待求非零N維實(shí)向量，代表固有振型。將式(2)代入式(1)，得到這一運(yùn)動(dòng)形式存在的必要條件為：存在非零實(shí)向量φ，滿足

或記作

按照線性代數(shù)理論，方程(4)屬于矩陣束K和M的廣義特征值問題，其中標(biāo)量λ和對(duì)應(yīng)的非零向量φ分別稱為廣義特征值和廣義特征向量。顯然，方程(4)具有非零向量解的充要條件為

這是一個(gè)關(guān)于λ的一元N次代數(shù)方程，稱為方程(1)的特征方程。求解矩陣廣義特征值問題(4)就是先由特征方程(5)解出特征根λr,r=1,2,···,N，然后逐一代回式(3)，尋求齊次線性代數(shù)方程的非零向量解φr,r=1,2,···,N的過程。

由于式(2)所假設(shè)的形式解代表實(shí)際的物理振動(dòng)，因此其中各項(xiàng)參數(shù)都必須為實(shí)數(shù)，這就要求方程(4)必須有非負(fù)實(shí)特征值λ=ω2和對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量φ。換句話說，如果要說明系統(tǒng)(1)存在如式(2)所示的固有振動(dòng)形式解，必須要首先證明矩陣廣義特征值問題(4)存在非負(fù)的實(shí)特征值λ。否則，如果尚不清楚非負(fù)實(shí)特征值和實(shí)特征向量是否存在就對(duì)式(4)進(jìn)行左乘φT的操作，并進(jìn)一步根據(jù)質(zhì)量矩陣的正定性及剛度矩陣的半正定性判定出λ為非負(fù)實(shí)數(shù)，就會(huì)陷入邏輯上的循環(huán)論證，有可能導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。因此，是否能證明矩陣廣義特征值問題(4)的確具有非負(fù)實(shí)特征值，將對(duì)判斷固有振動(dòng)形式解(2)的存在性起到關(guān)鍵的作用。

由于質(zhì)量矩陣M一般為正定矩陣，剛度矩陣K一般為半正定矩陣，所以大多數(shù)振動(dòng)力學(xué)或結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的教材[1-4]在論證上述結(jié)論時(shí)，都是利用質(zhì)量矩陣M的Cholesky分解(平方根分解)將式(4)的矩陣廣義特征值問題轉(zhuǎn)化為與其具有完全相同特征值的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題，再利用標(biāo)準(zhǔn)特征值的經(jīng)典理論判斷出廣義特征值問題的所有特征值都是實(shí)數(shù)；而另外還有一些教材則主要專注于介紹力學(xué)概念而跳過相關(guān)的數(shù)學(xué)證明[5]。筆者在振動(dòng)理論課的教學(xué)實(shí)踐過程中發(fā)現(xiàn)，對(duì)于僅學(xué)習(xí)過線性代數(shù)而尚未學(xué)習(xí)矩陣論課程的本科階段學(xué)生而言，理解基于矩陣的Cholesky分解的證明具有一定的困難，絕大多數(shù)學(xué)生都只能采取暫時(shí)認(rèn)同而不深究的態(tài)度，降低了他們對(duì)該結(jié)論的理性認(rèn)知。為了在工科教育中使學(xué)生加強(qiáng)邏輯思維能力的訓(xùn)練及培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，增強(qiáng)對(duì)振動(dòng)理論的全面系統(tǒng)理解而又不帶來使用超前理論工具的困難，筆者思考對(duì)該問題給出如下一個(gè)較為初等的復(fù)分析證明。

1 廣義特征值問題的復(fù)分析證明

定理1.矩陣廣義特征值問題(4)的特征值皆為非負(fù)實(shí)數(shù)。

證明：假設(shè)矩陣廣義特征值問題(4)的任一特征值為一復(fù)數(shù)λ=λR+iλI，其中λR，λI為實(shí)數(shù)，i為純虛數(shù)單位，其對(duì)應(yīng)的復(fù)特征向量為φ=φR+iφI，φR和φI分別為特征向量的實(shí)部和虛部。將其代入方程(4)并化簡(jiǎn)得

令式(6)中的實(shí)部和虛部分別為零得

將式(7)的上式左乘，下式左乘得

由于質(zhì)量陣和剛度陣都是對(duì)稱矩陣，因此有

從而將式(8)中的兩式相減即得

由于M為正定矩陣，因此0，又由于φR，φI不同時(shí)為零向量，從而必有，因此由式(10)可得

這就證明了矩陣廣義特征值問題(4)的任一特征值λr必為實(shí)數(shù)，r=1,2,···,N。顯然，其對(duì)應(yīng)的特征向量φr也可取實(shí)數(shù)。利用實(shí)特征向量φr進(jìn)一步定義系統(tǒng)的第r階廣義質(zhì)量和第r階廣義剛度，并根據(jù)質(zhì)量矩陣的正定性及剛度矩陣的半正定性可得

于是，對(duì)式(4)兩端左乘實(shí)向量φT可解得

此即證明了矩陣廣義特征值問題(4)的任一特征值必為非負(fù)實(shí)數(shù)，從而可以進(jìn)一步求出系統(tǒng)的固有頻率證畢。

上述定理的證明過程事實(shí)上已經(jīng)求出了式(2)所設(shè)形式解中的所有未知量，也即說明了這種形式解的假設(shè)是合理的，它恰好反映了系統(tǒng)的固有振動(dòng)形態(tài)。

值得指出的是，本文給出的復(fù)分析證明方法僅能說明廣義特征值問題(4)的特征值皆為實(shí)數(shù)，從而可求出相應(yīng)的實(shí)特征向量，但卻無法利用其證明系統(tǒng)具有N個(gè)線性無關(guān)的實(shí)特征向量。這一結(jié)論的證明仍須利用Cholesky分解將廣義特征值問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題，得到二者之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，再利用標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的基本結(jié)論得出廣義特征值問題也具有N個(gè)線性無關(guān)的特征向量，其物理意義即為N自由度線性振動(dòng)系統(tǒng)具有N個(gè)獨(dú)立的模態(tài)振型。

2 結(jié)論

多自由度振動(dòng)系統(tǒng)固有振動(dòng)的求解最后歸結(jié)為質(zhì)量陣和剛度陣的矩陣廣義特征值問題，而固有振動(dòng)形式解的存在性要求該矩陣廣義特征值問題具有實(shí)的特征值和特征向量?，F(xiàn)有振動(dòng)理論教材在討論線性系統(tǒng)的固有振動(dòng)時(shí)，有的為強(qiáng)調(diào)物理概念而直接默認(rèn)該廣義特征值問題具有實(shí)特征值，有的則給出基于矩陣分解理論的矩陣分析證明。本文給出的這種復(fù)分析證明僅使用復(fù)數(shù)的基本概念和簡(jiǎn)單的矩陣代數(shù)運(yùn)算，而不涉及矩陣分解理論，在降低數(shù)學(xué)論證難度的同時(shí)又保持了分析的嚴(yán)密性，這對(duì)尚未學(xué)習(xí)矩陣論課程的本科階段的學(xué)生而言，不僅易于加深他們對(duì)結(jié)論的理解，而且將有助于他們?cè)诠た普n程的學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)或保持嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撍季S習(xí)慣。需要指出的是，該方法并不能完全替代矩陣分解理論給出的證明，若要進(jìn)一步證明廣義特征值問題具有N個(gè)線性無關(guān)的特征向量，即線性振動(dòng)系統(tǒng)具有N個(gè)獨(dú)立的模態(tài)振型，仍須利用矩陣分解理論加以論證。