基于增量分析法的機(jī)床薄弱模塊識別方法及應(yīng)用

湯偉莉，陳永亮，劉立業(yè)

（天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300354）

機(jī)床的剛度對其加工性能的影響很大。在過去幾十年中，許多研究人員通過理論分析、數(shù)值模擬和實驗測試等方法分析了機(jī)床的剛度。例如：Huang等［1］提出用混合建模法來分析單個模塊對機(jī)床剛度的影響，解決了傳統(tǒng)單模塊分析法中因載荷的等效轉(zhuǎn)換、節(jié)點力的不均勻分布而引發(fā)的局部效應(yīng)問題；鐘偉弘等［2］基于混合建模法識別了功能不獨立的復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品的薄弱模塊，運用靈敏度分析法找到了對其性能影響最大的參數(shù)，并通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化提高了其剛度和精度；于長亮等［3］基于混合建模法辨識得到不同激振頻率下機(jī)床的薄弱模塊，明確了優(yōu)化目標(biāo)，提高了優(yōu)化效率。但是，這種將待識別模塊材料的彈性模量設(shè)為無窮大，而其他模塊材料的彈性模量為實際值的混合建模法會因不同模塊的彈性模量相差較大而引發(fā)模塊結(jié)合面處網(wǎng)格劃分錯誤等問題，從而導(dǎo)致分析無法進(jìn)行。因此，劉啟偉等［4-5］提出了機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)剛度場概念，通過對機(jī)床進(jìn)行有限元分析，得到機(jī)床的柔度曲線，根據(jù)曲線的拐點確定機(jī)床的薄弱模塊；楊俊杰等［6］基于串聯(lián)結(jié)構(gòu)剛度場理論，對復(fù)雜工況下機(jī)床剛度的變化情況進(jìn)行分析，并通過構(gòu)建機(jī)床同一串聯(lián)結(jié)構(gòu)的有限元分析模型來識別其薄弱模塊。綜上，串聯(lián)結(jié)構(gòu)剛度場理論能夠解決采用混合建模法時易出現(xiàn)的問題，但采用該理論時須將機(jī)床主軸端的載荷等效轉(zhuǎn)換到待分析模塊上，轉(zhuǎn)換過程比較繁瑣。

基于此，筆者提出一種基于增量分析法的機(jī)床薄弱模塊識別方法。該方法在劃分機(jī)床模塊的基礎(chǔ)上，以包含主軸的最小模塊為基礎(chǔ)模塊，逐一添加同一串聯(lián)結(jié)構(gòu)上的模塊，通過分析添加模塊后結(jié)構(gòu)變形量的增量來確定機(jī)床的薄弱模塊，增量最大所對應(yīng)的模塊即為薄弱模塊。該方法可避免采用混合建模法時出現(xiàn)的問題，同時不用對主軸端的載荷進(jìn)行等效轉(zhuǎn)換，分析過程簡單。對識別出的薄弱模塊進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)［7-10］，并采用基于熵權(quán)法的綜合模糊評價法［11-13］來比較結(jié)構(gòu)改進(jìn)前后機(jī)床的性能，以驗證所提出方法的可行性。

1 基于增量分析法的機(jī)床薄弱模塊識別

1.1 網(wǎng)絡(luò)圖構(gòu)建

機(jī)床各零部件之間存在一定的約束關(guān)系。根據(jù)各零部件之間的約束關(guān)系，采用圖論法構(gòu)建機(jī)床的網(wǎng)絡(luò)圖［14-16］，如圖1所示。其中：節(jié)點i、j表示機(jī)床的零部件，eij表示零部件i、j之間約束關(guān)系的權(quán)重。

1.2 模塊劃分

圖1 機(jī)床網(wǎng)絡(luò)圖Fig.1 Network diagram of machine tool

基于圖1所示的機(jī)床網(wǎng)絡(luò)圖，利用社區(qū)發(fā)現(xiàn)算法（Louvain 算法）對機(jī)床進(jìn)行模塊劃分。Louvain算法是基于模塊度的算法，在一個有權(quán)網(wǎng)絡(luò)中，模塊度Q為［17］：

其中：

式中：Ki表示與節(jié)點i有關(guān)的約束關(guān)系的權(quán)重之和；ci表示節(jié)點i所屬的社團(tuán)；?(ci，cj)表示節(jié)點i和節(jié)點j所屬社團(tuán)之間的關(guān)系，若2個節(jié)點屬于同一個社團(tuán)，則?(ci，cj)=1，否則為0。

1.3 增量分析模型構(gòu)建

對于機(jī)床的某串聯(lián)結(jié)構(gòu)，為分析添加某一模塊后結(jié)構(gòu)變形量的增量，構(gòu)建相應(yīng)的增量分析模型。構(gòu)建過程如下：以包含主軸的最小模塊為基礎(chǔ)模塊，逐一添加同一串聯(lián)結(jié)構(gòu)中的模塊，直至添加到與地面固定的模塊為止。以由模塊M1、M2和M3組成的機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)為例，構(gòu)建其增量分析模型，如圖2 所示。其中：M1為包含主軸的最小模塊，M3為與地面固定的模塊，工作載荷F作用在模塊M1上。

圖2 機(jī)床單個串聯(lián)結(jié)構(gòu)增量分析模型的構(gòu)建過程Fig.2 Construction process of incremental analysis model of single series structure of machine tool

1.4 薄弱模塊識別

對于圖2所示的機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)，在工作載荷F的作用下，設(shè)置模塊M1的邊界約束條件。如圖2（a）所示，此時該串聯(lián)結(jié)構(gòu)的變形量為d1。

當(dāng)分析添加模塊M2 后該串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量的增量時，添加模塊M2，并設(shè)置模塊M2 的邊界約束條件。如圖2（b）所示，此時串聯(lián)結(jié)構(gòu)的變形量為d2，則添加模塊M2后該串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量的增量dM2為：

當(dāng)分析添加模塊M3 后該串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量的增量時，添加模塊M3，并設(shè)置模塊M3 的邊界約束條件。如圖2（c）所示，此時串聯(lián)結(jié)構(gòu)的變形量為d3，則添加模塊M3后該串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量的增量dM3為：

根據(jù)式（2）和式（3），計算得到逐一添加模塊后機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)變形量增量并繪制相應(yīng)的折線圖，變形量增量越大表明添加模塊后，機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)的變形越大，剛度越小，則對應(yīng)模塊為機(jī)床的薄弱模塊。

2 基于熵權(quán)法的機(jī)床薄弱模塊改進(jìn)方案綜合評價

基于識別出的薄弱模塊，對機(jī)床結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)。針對生成的多個改進(jìn)方案，以機(jī)床的整機(jī)質(zhì)量，X、Y、Z向變形量以及動態(tài)特性作為評價指標(biāo)，采用基于熵權(quán)法的模糊綜合評價法對其進(jìn)行綜合評價。

首先，利用熵權(quán)法確定機(jī)床改進(jìn)方案各評價指標(biāo)的權(quán)重，計算步驟如下。

1）構(gòu)建評價指標(biāo)矩陣。設(shè)有m個機(jī)床改進(jìn)方案、n個評價指標(biāo)，則機(jī)床改進(jìn)方案的評價指標(biāo)矩陣X可表示為：

2）對矩陣X中的元素進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理。正向指標(biāo)（指標(biāo)值越大越好）和負(fù)向指標(biāo)（指標(biāo)值越小越好）的處理方式如下：

3）計算每個機(jī)床改進(jìn)方案中各評價指標(biāo)所占的比重puv，然后計算各評價指標(biāo)的信息熵Hv，滿足Hv≥0。

其中：

4）計算每個機(jī)床改進(jìn)方案的各評價指標(biāo)的客觀權(quán)重wv：

然后，利用模糊綜合評價法獲取不同機(jī)床改進(jìn)方案的綜合評價結(jié)果，其步驟如下。

1）根據(jù)式（4），確定機(jī)床改進(jìn)方案的評價指標(biāo)矩陣X。

2）利用熵權(quán)法計算得到機(jī)床改進(jìn)方案各評價指標(biāo)的權(quán)重矩陣W=[w1w2…wn]T。

3）建立模糊關(guān)系矩陣R。對評價指標(biāo)矩陣X進(jìn)行歸一化處理，得到模糊關(guān)系矩陣R：

4）合成模糊綜合評價矩陣B。將權(quán)重矩陣W與模糊關(guān)系矩陣R進(jìn)行合成，得到機(jī)床改進(jìn)方案的模糊綜合評價結(jié)果。其中，bu（u=1，2，…，m）越小，改進(jìn)方案越佳。

3 實例驗證

3.1 基于增量分析法的機(jī)床薄弱模塊識別

以C型攪拌摩擦焊機(jī)床為例，基于增量分析法分析其各模塊對整機(jī)剛度的影響程度，以找出該機(jī)床的薄弱模塊，并對薄弱模塊進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)，以提高機(jī)床性能。C型攪拌摩擦焊機(jī)床的結(jié)構(gòu)如圖3所示，主要包括前床身、工作臺、后床身、立柱、主軸箱、主軸、X軸傳動系統(tǒng)、Y軸傳動系統(tǒng)及Z軸傳動系統(tǒng)。工作臺通過X軸傳動系統(tǒng)在前床身上左右移動（X向），前床身與后床身通過螺栓連接；立柱通過Y軸傳動系統(tǒng)在后床身上前后移動（Y向）；主軸箱通過Z軸傳動系統(tǒng)在立柱上上下移動（Z向），主軸箱與主軸通過螺栓連接。

圖3 C型攪拌摩擦焊機(jī)床結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of C-type friction stir welding machine tool

對C型攪拌摩擦焊機(jī)床的功能結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，以各零部件為節(jié)點，零部件間相關(guān)性關(guān)系為節(jié)點之間的約束關(guān)系，利用圖數(shù)據(jù)庫Gephi［18］構(gòu)建其網(wǎng)絡(luò)圖，如圖4所示。

圖4 C型攪拌摩擦焊機(jī)床的網(wǎng)絡(luò)圖Fig.4 Network diagram of C-type friction stir welding machine tool

基于圖4 所示的網(wǎng)絡(luò)圖，利用Louvain 算法對C型攪拌摩擦焊機(jī)床進(jìn)行模塊劃分，共劃分為9個模塊。模塊劃分后C型攪拌摩擦焊機(jī)床各模塊所含的零部件如表1所示。

C型攪拌摩擦焊機(jī)床的串聯(lián)結(jié)構(gòu)如圖5所示，其包含2 條獨立的串聯(lián)結(jié)構(gòu)：1）M1—M2—M3—M4—M5—M6；2）M7—M8—M9。

在第1條串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，主軸模塊M1為基礎(chǔ)模塊，構(gòu)建增量分析有限元模型1。在此基礎(chǔ)上，逐一添加主軸箱模塊M2、Z軸傳動模塊M3、立柱模塊M4、Y軸傳動模塊M5和后床身模塊M6，并分別構(gòu)建增量分析有限元模型2，3，4，5，6，如圖6所示。在主軸模塊M1的主軸端部施加載荷：X向為20 kN，Y向為20 kN，Z向為60 kN。在第2條串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，工作臺模塊M7為基礎(chǔ)模塊，構(gòu)建增量分析有限元模型7。在此基礎(chǔ)上，逐一添加X軸傳動模塊M8和前床身模塊M9，并分別構(gòu)建增量分析有限元模型8，9，如圖7所示。在工作臺模塊M7 的工件安裝表面上施加與主軸端部大小相等、方向相反的載荷。C型攪拌摩擦焊機(jī)床串聯(lián)結(jié)構(gòu)增量分析有限元模型的邊界約束條件如表2所示。表中：U1、U2與U3分別表示3個軸向（X、Y、Z向）的移動自由度；UR1、UR2與UR3分別表示3個軸向的轉(zhuǎn)動自由度。

分別對上述9個增量分析有限元模型進(jìn)行靜態(tài)分析，得到C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的X、Y、Z向變形量，如表3所示。

設(shè)dqX、dqY、dqZ分別為增量分析有限元模型q（q=1，2，…，9）對應(yīng)的C 型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的X、Y、Z向變形量。對于C型攪拌摩擦焊機(jī)床的第1條串聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過計算得到，添加主軸箱模塊M2、Z軸傳動模塊M3、立柱模塊M4、Y軸傳動模塊M5和后床身模塊M6后，該機(jī)床主軸端面的X、Y、Z向變形量的增量分別為：

表1 C型攪拌摩擦焊機(jī)床模塊劃分結(jié)果Table 1 Module division results of C-type friction stir welding machine tool

圖5 C型攪拌摩擦焊機(jī)床的串聯(lián)結(jié)構(gòu)Fig.5 Series structure of C-type friction stir welding machine tool

圖6 C 型攪拌摩擦焊機(jī)床第1 條串聯(lián)結(jié)構(gòu)的增量分析有限元模型Fig.6 Incremental analysis finite element model of the first series structure of C-type friction stir welding machine tool

對于C 型攪拌摩擦焊機(jī)床的第2 條串聯(lián)結(jié)構(gòu)，通過計算得到，添加X軸傳動模塊M8 和前床身模塊M9 后機(jī)床主軸端面X、Y、Z向變形量的增量，分別為：

圖7 C 型攪拌摩擦焊機(jī)床第2 條串聯(lián)結(jié)構(gòu)的增量分析有限元模型Fig.7 Incremental analysis finite element model of the secomd series structure of C-type friction stir welding machine tool

表2 C 型攪拌摩擦焊機(jī)串聯(lián)結(jié)構(gòu)增量分析有限元模型的邊界約束條件Table 2 Boundary constraint conditions of incremental analysis finite element model of series structure of C-type friction stir welding machine tool

為更直觀地對比添加模塊后C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面變形量的增量，繪制相應(yīng)的折線圖，如圖8所示。圖中ΔX、ΔY、ΔZ分別表示X、Y、Z向變形量的增量。

從圖8中可以直觀地看出：

1）在第1條串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，添加立柱模塊M4和后床身模塊M6后，C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面變形量的增量較大，說明立柱模塊M4 和后床身模塊M6均為該機(jī)床的薄弱模塊。

表3 C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的變形量Table 3 Deformation of spindle end face of C-type friction stir welding machine tool單位：μm

圖8 添加某模塊后C 型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面變形量的增量Fig.8 Deformation increment of spindle end face of C-type friction stir welding machine tool after adding a module

2）添加立柱模塊M4后，C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面X、Z向變形量的增量較大，因此須增大立柱模塊的X、Z向剛度；添加后床身模塊M6 后，主軸端面Y、Z向變形量的增量較大，因此須增大后床身的Y、Z向剛度。

3）在第2 條串聯(lián)結(jié)構(gòu)中，添加X軸傳動模塊M8和前床身模塊M9后，C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面變形量的增量較小，說明其對機(jī)床剛度的影響較小，不為薄弱模塊。

3.2 機(jī)床薄弱模塊改進(jìn)及整機(jī)性能分析

針對C型攪拌摩擦焊機(jī)床的薄弱模塊——立柱模塊M4 和后床身模塊M6，對其結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)。立柱模塊M4和后床身模塊M6的改進(jìn)方案分別如圖9和圖10 所示，其參數(shù)變化情況分別如表4 和表5所示。

圖9 立柱模塊M4的原始方案和改進(jìn)方案Fig.9 Original and improved schemes of column module M4

圖10 后床身模塊M6的原始方案和改進(jìn)方案Fig.10 Original and improved schemes of back bed module M6

為了觀察C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面X向剛度的變化情況，將立柱模塊M4的改進(jìn)方案1與后床身模塊M6的原始方案組合，記為改進(jìn)方案A；為了觀察機(jī)床主軸端面Y向剛度的變化情況，將立柱模塊M4的改進(jìn)方案2分別與后床身模塊M6的改進(jìn)方案1，2組合，記為改進(jìn)方案B、C；為了觀察機(jī)床主軸端面Z向剛度的變化情況，將立柱模塊M4 的改進(jìn)方案3與后床身模塊M6的改進(jìn)方案1，2組合，記為改進(jìn)方案D、E。為選擇可使C型攪拌摩擦焊機(jī)床綜合性能較優(yōu)的改進(jìn)方案，以機(jī)床的整機(jī)質(zhì)量，主軸端面X、Y、Z向變形量以及約束模態(tài)和自由模態(tài)前3階固有頻率為評價指標(biāo)，對各改進(jìn)方案進(jìn)行綜合評價。

表4 立柱模塊M4改進(jìn)方案的參數(shù)變化情況Table 4 Parameter changes of improved schemes of column module M4

表5 后床身模塊M6改進(jìn)方案的參數(shù)變化情況Table 5 Parameter changes of improved schemes of back bed module M6

通過獲取機(jī)床各零部件密度來確定其質(zhì)量；通過有限元靜態(tài)分析得到機(jī)床主軸端面的X、Y、Z向變形量；通過有限元模態(tài)分析得到機(jī)床約束模態(tài)與自由模態(tài)的前3階固有頻率。在對機(jī)床進(jìn)行有限元靜態(tài)分析時，在其主軸端面施加X向20 kN、Y向20 kN、Z向60 kN的載荷；將前床身與后床身底面完全固定。在對機(jī)床進(jìn)行約束模態(tài)分析時，將前床身與后床身底面完全固定，但不施加載荷；在對機(jī)床進(jìn)行自由模態(tài)分析時，不施加約束和載荷。C型攪拌摩擦焊機(jī)床的靜、動態(tài)性能分析結(jié)果如表6所示。

表6 C型攪拌摩擦焊機(jī)床的靜、動態(tài)性能分析結(jié)果Table 6 Static and dynamic performance analysis results of C-type friction stir welding machine tool

分析表6 結(jié)果可知，相比于原始方案，改進(jìn)后C 型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的X向剛度提高了3.46%～3.94%，Y向剛度提高了4.91%～5.16%，Z向剛度提高了51.99%～56.41%，而質(zhì)量僅增大了0.19%～7.32%。此外，改進(jìn)方案A中主軸端面的X向剛度提高了3.46%；改進(jìn)方案B、C中主軸端面的Y向剛度分別提高了4.98%和5.16%；改進(jìn)方案D、E中主軸端面的Z向剛度分別提高了56.07%和56.41%。

3.3 機(jī)床整機(jī)性能綜合評價及改進(jìn)方案優(yōu)選

利用熵權(quán)法計算得到C型攪拌摩擦焊機(jī)床改進(jìn)方案評價指標(biāo)的權(quán)重矩陣：

利用模糊綜合評價法對C型攪拌摩擦焊機(jī)床原始方案和改進(jìn)方案進(jìn)行評價，通過計算得到模糊綜合評價矩陣：

由模糊綜合評價結(jié)果可知，改進(jìn)方案B為最優(yōu)方案。與原始方案相比，改進(jìn)方案B對應(yīng)的C型攪拌摩擦焊機(jī)床主軸端面的X向剛度提高了3.46%，Y向剛度提高了4.99%，Z向剛度提高了51.99%。

4 結(jié) 論

本文以C型攪拌摩擦焊機(jī)床為例，基于增量分析法實現(xiàn)了對其薄弱模塊的識別，得到的結(jié)論如下。

1）增量分析法是將工作載荷直接施加在機(jī)床的主軸端，避免了繁瑣的工作載荷等效轉(zhuǎn)換。同時，通過逐一增加模塊來分析每個模塊對機(jī)床剛度的影響，能夠準(zhǔn)確地識別機(jī)床的薄弱模塊。

2）根據(jù)機(jī)床薄弱模塊主軸端面X、Y、Z三個方向的變形情況，可準(zhǔn)確地識別機(jī)床的薄弱方向。通過有針對性地改進(jìn)機(jī)床的薄弱結(jié)構(gòu)，有效提高了機(jī)床整機(jī)的綜合性能。