新課標(biāo)下初中數(shù)學(xué)分類討論思想教學(xué)的幾個著力點

關(guān)建昌

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想是重要的教學(xué)方法之一，有助于促進學(xué)生思維發(fā)展、提高學(xué)生解題效率;這種不斷滲透的教學(xué)方式，將初中新課標(biāo)下九年義務(wù)教育的要求充分體現(xiàn)了出來，其反映出隨時代變化，社會對人才素質(zhì)要求的提高.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué);初中;新課標(biāo);分類討論思想

前 言

分類討論思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的內(nèi)在特征，是數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的解題方法.以往傳統(tǒng)教學(xué)模式雖然具有較長應(yīng)用歷史，但卻存在著明顯缺陷，其以教師為中心，注重基礎(chǔ)知識的傳授、講解，忽略培養(yǎng)學(xué)生實際處理數(shù)學(xué)問題的能力，影響教學(xué)成果[1].對此，在新課標(biāo)下，教師要積極學(xué)習(xí)先進教學(xué)模式，充分運用分類討論思想，提高教學(xué)質(zhì)量.

一、分類討論思想定義及其理論依據(jù)

（一）定義

初中數(shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹R體系與邏輯結(jié)構(gòu)，差別于語文、英語等其他學(xué)科，數(shù)學(xué)知識一般是明確真理與客觀存在的，并非學(xué)生主觀感受“仁者見仁”.因此，相比于其他學(xué)科，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)較為復(fù)雜，大量的教學(xué)內(nèi)容需要分類討論，如幾何圖形的位置關(guān)系、不同條件下數(shù)學(xué)公式變形等.如何提高初中教學(xué)質(zhì)量，促使學(xué)生更好地去掌握數(shù)學(xué)知識要點，正確、科學(xué)的教學(xué)方法與途徑顯得至關(guān)重要.分類討論思想根據(jù)數(shù)學(xué)知識點的關(guān)鍵因素、內(nèi)部特征，劃分成多個類別進行分析討論.分類討論思想教學(xué)方式，在教學(xué)過程中可條理清晰、一一列舉出問題的各種解決方法，同時可保證解決方案的概括性與全面性，避免遺漏重要知識點，改善數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，幫助初中學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識要點.

（二）理論依據(jù)

從邏輯層面來看，分類討論其子項外延的總和與母項外延相等;且整個劃分過程只有一個基本標(biāo)準(zhǔn);最終劃分出的子項一定要完全列出來;同時劃分操作必須依照某類從屬關(guān)系逐級落實，決不能出現(xiàn)隨意越級的問題.

對于該思想而言，其根本是分類，倘若分類錯誤，就無法得到正確的討論結(jié)果.而分類本質(zhì)上則是邏輯上的劃分.劃分是一種展現(xiàn)概念外延的重要邏輯方式，其原則就是劃分依據(jù)，也可以說是該思想中分類的主要標(biāo)準(zhǔn).對此，明確劃分依據(jù)則是實現(xiàn)正確分類討論的關(guān)鍵所在.

劃分規(guī)則通常包含這幾項：一是劃分之后的所有子項之間都應(yīng)該是互不相容的，比如長方形、正方形、菱形都是平行四邊形;二是必須窮盡母項，比如自然數(shù)可以分成偶數(shù)和奇數(shù)兩類;三是每一次的劃分都要按照同一標(biāo)準(zhǔn)，比如將三角形按照角進行劃分，可分為銳角三角形、鈍角三角形和直角三角形，將其按照邊分，就分為三邊都不相等的三角形和有兩邊相等的三角形.

二、分類討論引起原因

在整個初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，分類討論思想貫穿全部，一般可將其歸結(jié)為以下幾個原因：（1）分類討論根據(jù)實際問題具體分析，如實際應(yīng)用題、組合問題、排列問題等;（2）通過分類討論思想對數(shù)學(xué)問題中的不確定結(jié)論、不確定的圖形位置或形狀、不確定的數(shù)量關(guān)系等進行分析[2];（3）在數(shù)學(xué)問題中遇到參數(shù)（含有字母系數(shù)）問題，需要通過分類討論思想對參數(shù)區(qū)間、取值范圍等進行分析;（4）數(shù)學(xué)問題中涉及法則、運算性質(zhì)或公式、數(shù)學(xué)定理等分類給出或給出有條件范圍需要通過分類討論思想分析;（5）如絕對值這類，數(shù)學(xué)問題概念本身存在分類定義[3].

三、初中數(shù)學(xué)教學(xué)中分類討論思想的應(yīng)用

一般，在解答分類討論類問題時需要按照一定步驟開展：一是確定出具體的分類對象;二是針對問題當(dāng)中的某些條件進行分類，在同一標(biāo)準(zhǔn)之下實施合理分類;三是逐類進行討論;四是對各類的討論結(jié)果進行整理歸納，最終得出相關(guān)結(jié)論.實際使用該思想解決問題的時候需要在正確分類的前提下盡可能減少分類，從而使問題解決更為簡便.

（一）在函數(shù)或方程中的應(yīng)用

對于涉及函數(shù)、代數(shù)式或方程的題目來說，我們在使用該思想進行解決的時候，可以根據(jù)字母的不同取值，分別在其不同取值范圍當(dāng)中進行討論，最終順利解決問題.

比如，在求解y=（a-1）x2+ax+1和x軸的交點坐標(biāo)時，由于該問題條件具有眾多可能性，所以該函數(shù)也會有很多可能的情況.具體將其分為兩類，也就是函數(shù)是一次函數(shù)或者是二次函數(shù).兩種情況最終得出的結(jié)果為：第一，當(dāng)該函數(shù)是一次函數(shù)的時候，a=1，函數(shù)和x軸的交點坐標(biāo)為（-1，0）.第二，當(dāng)該函數(shù)是二次函數(shù)的時候，a≠1，Δ=（a-2）2，①當(dāng)Δ>0，即a≠2的時候，與x軸有兩個交點，即（-1，0）和? 1[]1-a，0;②當(dāng)Δ=0，即a=2的時候，與x軸有一個交點，即（-1，0）;③當(dāng)Δ<0，即（a-2）2<0時，a的取值不存在.在這樣的討論過程中最終就能夠得到正確答案，即當(dāng)a=1的時候，該函數(shù)和x軸的交點為（-1，0）;當(dāng)a≠1且a≠2的時候，該函數(shù)和x軸的交點為（-1，0）和1[]1-a，0;當(dāng)a≠1，且a=2的時候，該函數(shù)和x軸的交點為（-1，0）.

或者在解|3-x|+|x+2|=5這類含有絕對值的方程時，可以先把絕對值當(dāng)中的對象分為負(fù)數(shù)、正數(shù)和零三種情況，然后進行分類討論.在該題目當(dāng)中，對于|3-x|來說，能夠分為x<3、x=3以及x>3三種情況;對于|x+2|來說，則可以分為x=-2、x<-2以及x>-2三種情況.同時將分類好的范圍表示在數(shù)軸當(dāng)中，從而轉(zhuǎn)為這三種基本情形：第一，x<-2，這時候原本的方程可以直接轉(zhuǎn)化為3-x-（x+2）=5，那么最終x就能夠得出為-2，這一點與x<-2是互相矛盾的，所以在該情形之下，原方程無解;第二，-2≤x≤3，這時候原本的方程就可以直接轉(zhuǎn)化為3-x+x+2=5，方程恒成立，最終在-2≤x≤3內(nèi)的所有實數(shù)都是該方程的解;第三，x>3，這時候原本的方程就可以直接轉(zhuǎn)化為-（3-x）+x+2=5，最終解出x=3，這一點和x>3是相互矛盾的，所以在該情形下原方程無解.那么最終就能夠得到該題目的結(jié)果為-2≤x≤3.

我們通過這一案例分析能夠發(fā)現(xiàn)，一旦遇到這類問題，必須先進行審題，充分理解題意.教師還要促使學(xué)生在日常養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)審題的好習(xí)慣，進而避免因為審題不認(rèn)真而引起重復(fù)或者漏解的問題.

（二）在實踐課題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)是一門中學(xué)必修課，可鍛煉學(xué)生的理解能力、學(xué)習(xí)能力、思維能力;同時初中數(shù)學(xué)相比其他課程，如英語、語文、歷史等，對于學(xué)生的綜合分析能力、邏輯思維能力要求較高;相比其他課程，初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度、教學(xué)難度相對較高.因此，在新課標(biāo)下，將分類討論思想運用于實踐課題教學(xué)，對提高學(xué)生學(xué)習(xí)能力、綜合分析能力等至關(guān)重要.在初中教學(xué)中，教師可通過分類討論思想為學(xué)生設(shè)計題目.如，某面粉加工廠現(xiàn)有面粉9噸，若廠家直接在市場銷售面粉，每噸獲利500元;制成面條銷售每噸額外可多獲利700元;制成面包銷售，每噸額外可多獲利1500元;該工廠每天可加工生產(chǎn)3噸面條;制成面包每天可生產(chǎn)1噸;由于工廠規(guī)模有限，兩種產(chǎn)品無法同時加工;受市場環(huán)境影響，這批面粉需要在4天內(nèi)銷售或加工完成.對于此題目，教師可引導(dǎo)學(xué)生對影響工廠加工的因素進行綜合性分析，并從利益最大化角度出發(fā)，指定設(shè)計方案.初中數(shù)學(xué)教師可以通過這種教學(xué)模式，將分類討論思想融入教學(xué)之中，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

（三）將分類討論思想應(yīng)用于幾何教學(xué)中

初中數(shù)學(xué)與小學(xué)階段數(shù)學(xué)存在巨大差別，初中數(shù)學(xué)正式接觸幾何知識，不僅學(xué)習(xí)難度增加，同時其包含的圖形知識對學(xué)生思維能力提出更高要求.為更好地幫助學(xué)生理解、掌握幾何知識，在教學(xué)中，教師應(yīng)充分運用分類討論思想，對幾何圖形知識進行全面剖析.

初中數(shù)學(xué)當(dāng)中圓的對稱性、圓和直線、圓與圓，甚至圓和正多邊形的關(guān)系都是非常重要的內(nèi)容.并且在圓的對稱性與位置關(guān)系的相關(guān)問題解決當(dāng)中，分類討論思想應(yīng)用最多，它能夠促使學(xué)生更加明確題目當(dāng)中的各項變量和兩個圖形之間的距離等內(nèi)容.

1.確定點和圓的位置關(guān)系，直線與圓的關(guān)系，可通過作圖表示，當(dāng)點或者直線運動過程中，它們和圓的位置關(guān)系會出現(xiàn)不同的情況，進而進行分類討論.

2.在探討圓周角與圓心角的大小關(guān)系時，教師可以借助幾何畫板制作圖形（如圖1所示），通過移動點B，會出現(xiàn)以下三種情況，讓學(xué)生總結(jié)歸納，從而培養(yǎng)學(xué)生分類討論思想.在證明過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生從特殊情況入手進行證明，并讓學(xué)生思考：其他兩種情況能否轉(zhuǎn)化為第一種情況？如何轉(zhuǎn)化？在教學(xué)過程中，教師要有意識地向?qū)W生滲透解決問題的策略以及轉(zhuǎn)化、分類、歸納等數(shù)學(xué)思想方法.

3.幾何動點題型體現(xiàn)分類思想：如圖2：已知射線DE與y軸、x軸分別交于點E與點D，動點C以1個單位長度/秒的速度從點M（5，0）沿x軸勻速向左運動;同時動點P以同樣速度從點D勻速沿射線方向運動，假設(shè)運動時間為t秒.（1）以點C為圓心，12t個單位長度為半徑的⊙C與x軸相交于點A、點B（A點在B點左側(cè)），連接PA，PB;①當(dāng)△PAB為等腰三角形時，求t值;②當(dāng)射線DE與⊙C有公共點時，求t的取值范圍.（2）請用含t的代數(shù)式，表示出點P與點C的坐標(biāo).對于以上數(shù)學(xué)問題，雖然相對其他科目難度頗高，但只要學(xué)生主動積極學(xué)習(xí)，充分掌握中學(xué)數(shù)學(xué)知識，具有一定的類比技巧與聯(lián)想技能，知道數(shù)學(xué)問題最基本的解決方法，透過其復(fù)雜外表，看到問題的根本，再根據(jù)自己所學(xué)知識，有效地構(gòu)造出問題的新特征，合理進行知識遷移，尋找問題解決路徑與思路，就能解答此問題，并能提高其數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)其邏輯思維，使其形成良好的獨立的思維習(xí)慣，避免過度依賴他人.教師在教學(xué)過程中利用分類討論思想進行教學(xué)，可提高學(xué)生的理解能力，促進學(xué)生思維發(fā)展.

四、經(jīng)驗總結(jié)

首先，教師應(yīng)當(dāng)找準(zhǔn)時機，將分類的思想方法滲透給學(xué)生，比如可以在概念學(xué)習(xí)當(dāng)中進行滲透;也可以在法則探究當(dāng)中進行滲透;或者在圖形求解當(dāng)中進行滲透.

其次，教師進行啟發(fā)誘導(dǎo)，將該思想的本質(zhì)揭露出來，比如具體依照問題的需求去分類;在分類的時候必須要有相對比較明確的標(biāo)準(zhǔn).

最后，教師進一步加大對這類思想方法在問題應(yīng)用中的研究，比如可以依照取值范圍進行分類;或者直接依照幾何圖形的位置關(guān)系進行分類.

結(jié) 語

總體來說，初中數(shù)學(xué)題目雖然靈活多變，但有跡可循.在教學(xué)中，教師充分運用先進教學(xué)模式，將分類討論思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有助于提高學(xué)生分類討論能力，提高課堂的趣味性，強化學(xué)生解題效率，提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績.

【參考文獻】

[1]楊雪蓮.試論分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].時代教育，2017（8）：149.

[2]張福生.初中數(shù)學(xué)分類討論思想的教學(xué)建議[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（33）：28-29.