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    核心素養(yǎng)視域下對2020年高考Ⅰ卷(理科數(shù)學(xué))18題多維度的思考

    2021-07-11 10:53:50張松山
    中學(xué)理科園地 2021年2期
    關(guān)鍵詞:立體幾何核心素養(yǎng)

    張松山

    摘? ?要:立體幾何歷年都是高考重點、熱點的內(nèi)容之一,通過引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真分析高考中的立體幾何試題,從具體問題出發(fā),研究試題的背景、考查的目標(biāo)以及解題的思路,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

    關(guān)鍵詞:立體幾何;核心素養(yǎng);坐標(biāo)法;基底法

    立體幾何是高考的必考內(nèi)容之一.縱觀近幾年高考立體幾何解答題部分,第一小題主要證明直線與直線垂直或者平行、直線與平面垂直或者平行、平面與平面垂直或者平行,第二小題主要求直線和平面所成的角或者二面角,重點考查學(xué)生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算能力.

    數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)的方法和方式有很多種,其中的一個重要方法就是培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力,這樣可以提高學(xué)生的“三會”(用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界).學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng),離不開教師對教學(xué)的研究.教師對教學(xué)研究的有效方式之一就是研究題目,而高考題目是經(jīng)過數(shù)學(xué)教育專家研究的成果之一,因此,教師有必要對高考題目的考查目標(biāo),試題的背景,解題思路進(jìn)行研究.

    1? 真題呈現(xiàn)

    如圖1,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD,ΔABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點,PO=DO.

    (I)證明:PA⊥平面PBC;

    (II)求二面角B-PC-E的余弦值.

    2? 考查目標(biāo)

    試題考查圓錐的基本概念,考察空間中的直線和直線、直線和平面、平面和平面的位置關(guān)系,重點考察考生的空間想象能力、運算求解能力和邏輯推理能力.試題通過求解二面角的余弦值的過程考查學(xué)生應(yīng)用知識分析、求解問題的能力.

    3? 試題背景

    試題從一個圓錐出發(fā),在圓錐的底面和圓錐的高中構(gòu)建直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.這道題目結(jié)合了圓錐和正三棱錐,在解題的過程既要運用圓的知識又要根據(jù)立體幾何的相關(guān)位置關(guān)系來解決問題.在三棱錐P-ABC中為了降低難度將ΔABC設(shè)置為等邊三角形. 第一問的難度不大,要求考生有一定的空間想象能力、數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力,解題的關(guān)鍵在于通過計算證明PA與平面PBC內(nèi)的兩條相交直線垂直.對于第二問,通過建立空間直角坐標(biāo)系,應(yīng)用向量的方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題,通過向量求解二面角B-PC-E的余弦值,在解決這個問題的過程中如何合理建立空間直角坐標(biāo)系是一個關(guān)鍵的步驟.通過這道問題考查考生的空間想象能力、數(shù)學(xué)運算能力和邏輯推理能力.

    4? 解題思路研究

    4.1? (I)的證明

    證法1

    因為AE=AD=DE,所以ΔDAE是等邊三角形;

    設(shè)AO=1,則DO=,又因為PO=DO=×=.

    由題意可知AB=,因為AP=PB=PC

    所以AB2=PA2+PB2,所以PA⊥PB,同理PA⊥PC,又因為PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.

    證法2

    如圖2,設(shè)AE與BC交點為F,連接PF,由題意可知F是BC的中點.

    因為AE=AD=DE,所以ΔDAE是等邊三角形.

    設(shè)AO=1,則FO=,DO=,PO=DO=×=.所以PF==,PA==,又因為AF=,所以AF2=PA2+PF2,所以PA⊥PF.

    因為PO⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以,PO⊥BC.

    又因為AF⊥BC,AF∩PO=0,PO?平面AFB,所以BC⊥平面AFB,又因為PA?平面AFB,所以BC⊥PA.

    由上有PA⊥BC,PA⊥PF,BC?PF=F,PF?平面PBC,所以PA⊥平面PBC.

    證法分析:在第一個問題中要證明線面垂直,要找線線垂直,證法1利用勾股定理證明PA垂直平面PBC內(nèi)的兩條相交直線,再通過三條邊的關(guān)系證明垂直.證法2,證明PA⊥PF采用的是勾股定理,證明PA⊥BC采用的方法是由線面垂直(P0⊥平面ABC)到線線垂直(P0⊥BC),再由線線垂直(AF⊥BC,P0⊥BC))到線面垂直(BC⊥平面AFB)再到線線垂直(BC⊥PA),證法2相比證法1要復(fù)雜一點,需要對立體幾何中關(guān)于垂直的性質(zhì)和定理比較熟悉,因此,相比較證法1更容易想到和接受.

    證法3(坐標(biāo)系法)

    如圖3過O作ON‖BC交AB于點N,因為P0⊥平面ABC,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OA為x軸,ON為y軸, OP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系. 因為AE=AD=DE,所以ΔDAE是等邊三角形;

    設(shè)AO=1,則DO=,又因為PO=DO=×=.NO=,BC=,各點的坐標(biāo)分別為O(0,0,0),A(1,0,0),B(-,,0),C(-,-,0),E(-1,0,0),P(0,0,),D(0,0,)

    所以,=(1,0,0)-(0,0,)=(1,0,-)

    =(-,,0)-(0,0,)=(-,,-),

    =(-,-,0)-(0,0,)=(-,-,-)

    所以有·=-1×(-)+0×()+(-)×(-)=0,同理可得·=0

    PA⊥BC,PA⊥PC,又因為PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.

    證法分析:坐標(biāo)法的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系,將幾何關(guān)系通過量化的形式,由空間問題轉(zhuǎn)化為通過坐標(biāo)的計算來解決,因此,需要有一定的數(shù)學(xué)建模能力、直觀想象能力與數(shù)學(xué)計算的能力.考生在用這個方法解題時可能出現(xiàn)的幾個問題是:第一,不知道怎么建立空間直角坐標(biāo)系;第二,計算的過程中易出錯.

    證法4(基底法)

    因為AE=AD=DE,所以ΔDAE是等邊三角形;

    設(shè)AO=1,則DO=,又因為PO=DO=×=.

    如圖4, 設(shè)=,=,=,,,為一組基底,由已知條件可知||=||=||=,與的夾角為120°,與互相垂直, 與互相垂直,因為= -,=-,·=-,·=·=0.

    所以·=(-)(-)=·-·-·+·=(-)-0-0+×=0.

    所以PA⊥PB,由圖形的對稱性可知PA⊥PC,又因為PB∩PC=P,所以PA⊥平面PBC.

    證法分析:利用基底法證明的一個重要步驟是找到三個合適的基向量,如果基向量的選取不合適,那么會導(dǎo)致計算難度比較大,計算過程變得復(fù)雜.基向量的選取還要考慮三者角度的關(guān)系,最好是三者互相垂直的方向,如果不能也要是它們之間所成的角度是特殊角.

    4.2? (II)的證明

    解法1? ?(二面角的“真作真求”)

    如圖5 在ΔPCE上過點E做EH垂直PC且交于H,在平面PC上過H作HK平行于PB交CB于K,最后連接EK,由證法1可知PB⊥PC,所以HK⊥PC,又因為HK?平面PEC,平面PBC∩平面PEC=PC,所以∠EHK是二面角B-PC-E的平面角.

    在ΔPCE中,PC=PE=,CE=1.

    所以cos∠EPC==? 所以sin∠EPC=,

    所以EH=PE·sin∠EPC=,

    所以PH=PE·cos∠EPC=PE=PC,所以H是PC的三等分點,又因為HK平行于PB,所以HK=PB= ,在ΔCKE中CK=CB,CE=1,∠ECK=30°,

    由余弦定理可以求出EK= , 在ΔHKE中,有EH=,HK=,EK=, 由余弦定理可以求出cos∠EHK=,所以二面角B-PC-E的余弦值為.

    解法2 (二面角的“假作真求”)

    如圖6,過B作BH垂直平面CEP垂足為H,連接PH,由已知條件可知∠BPH是二面角B-PC-E的平面角,BH可以看成三棱錐B-PCE的高.

    由已知條件有PB=PC=PE=,CE=BE=1,BC=,SΔBCE=BC·CE·sin∠ECB=,由海倫公式可以求出SΔPCE=,Vp-BCE=SΔBCE·OP, VB-PCE=SΔPCE·BH.

    根據(jù)體積相等,有Vp-BCE=VB-PCE,從而有SΔBCE·OP=SΔPCE·BH.

    把相關(guān)的量帶入,有××=×·BH,從而求出BH=.

    所以sin∠BPH==,從而可得cos∠BPH=, 所以二面角B-PC-E的余弦值為.

    解法2的另解

    由證法2可知點E到平面PCB的距離等于點A到平面PCB的距離的三分之一,而點A到平面PCB的距離就是PA的長度,所以E到平面PCB的距離是,和解法1一樣可以求出E到直線PC的距離EH是,二面角B-PC-E的正弦值等于hE /EH,求得該值為,最后應(yīng)用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系就可以求出二面角B-PC-E的余弦值.

    解法分析:解法1通過圖形的特征以及邊角之間的關(guān)系,把二面角的平面角找出來.解法2通過等體積法把二面角的平面角的高求出來,由于高很難通過圖形表示出來,因此,需要學(xué)生有比較強(qiáng)的數(shù)學(xué)抽象能力和直觀想象能力.這兩個解法對空間想象能力要求比坐標(biāo)法來的高,因此,對空間想象能力基礎(chǔ)比較弱的學(xué)生可以不做要求,對于基礎(chǔ)較好的學(xué)生可以進(jìn)行擴(kuò)展.

    解法3 (坐標(biāo)法)

    由證法3可知=(-,-,-),

    =(-,,-),

    =(-1,0,0)-(0,0,)=(-1,0,).

    設(shè)平面BPC的法向量為=(x1,y1,z1),平面EPC的法向量為=(x2,y2,z2).

    則有

    -·x1+(

    -)·y1+(

    -)·z1=0

    -·x1+

    ·y1+(

    -)·z1=0? 令z1=-,則,x1=2,y1=0,所以=(2,0,-)

    同理可以求出平面EPC的法向量為=(1,,-).

    cos( ,)===

    所以二面角B-PC-E的余弦值為.

    解法分析:第二小題約有90%的考生會正確地采用坐標(biāo)法求解.坐標(biāo)法的優(yōu)勢在于考生可以通過用代數(shù)的方法求解,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)的問題,對考生的直觀想象能力的要求比較低.建立合適的空間直角坐標(biāo)系是關(guān)鍵,對于本道題目除了證法3那樣建立坐標(biāo)系以外,還可以考慮根據(jù)證法1,可以得到PA,PB,PC兩兩互相垂直,所以還可以考慮以邊PA,PB,PC所在的直線來建立直角坐標(biāo)系.

    解法4(基底法)

    由證法4可知=--,=++,=-+2,=-,

    設(shè)平面BPC的法向量為=x1+y1+z1,

    平面EPC的法向量為=x2+y2+z2

    ·

    =0

    ·

    =0 ,有(x1

    +y1

    +z1

    )·(

    +

    +

    )=0

    (x1

    +y1

    +z1

    )·(

    +2

    )=0

    x1+

    y1+

    z1=0

    y1=0 ,令x1=1,則有y1=0,z1=-1

    所以=--,同理可以求出=2+-3.

    cos(,)== =.

    所以二面角B-PC-E的余弦值為.

    解法分析:坐標(biāo)法也是基底法的一種形式,解法3在計算上更加簡潔,都是需要考生建立空間直角坐標(biāo)系,解法4只需要考生建立三個基向量就行.

    5? 考題評價

    考題以考生熟悉的圓錐為載體,通過在圓錐內(nèi)部的點組成正三棱錐,將圓錐和正三棱錐結(jié)合來考察考生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平,考生對考題中點、線、面的位置關(guān)系感到熟悉而又陌生.考題貼近考生學(xué)習(xí)的情況,同時,考題出現(xiàn)的信息量大,不同的考生結(jié)合自己的學(xué)習(xí)情況可以給出不一樣的解答,為考生在發(fā)現(xiàn)、分析和解決問題提供了思維空間.考題在考察學(xué)生的立體幾何基礎(chǔ)知識的同時還考察學(xué)生對問題的轉(zhuǎn)化和化歸的能力.考題能很好按照新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,把空間想象、向量運算、數(shù)值計算、邏輯推理、空間建系、空間作圖等融入問題中.考題不僅重視基礎(chǔ)還重視能力,因此,有比較好的區(qū)分度和選拔的功能.

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