多樣、多元 、多維，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解

薛利敏

【摘 要】概念是客觀事物本質(zhì)屬性的概括，學(xué)生理解概念的過(guò)程即是對(duì)概念所反映的本質(zhì)屬性的把握過(guò)程。概念是思維形式之一，也是判斷和推理的起點(diǎn)，所以概念教學(xué)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力起重要作用。為準(zhǔn)確把握概念的本質(zhì)屬性，加深學(xué)生對(duì)概念的理解，筆者從情境探究、交流表述、辯證練習(xí)幾方面來(lái)加深學(xué)生對(duì)概念的理解。

【關(guān)鍵詞】多樣情境 多元表征 多維思考

教育心理學(xué)告訴我們，學(xué)生對(duì)于概念的理解既非來(lái)自外部的信息，也不是原來(lái)的長(zhǎng)時(shí)記憶，而是思維過(guò)程的產(chǎn)物，是對(duì)概念的內(nèi)涵和外延進(jìn)行詳細(xì)的“深加工”。教學(xué)中，教師可以創(chuàng)設(shè)多樣的情境，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生多維的思考，促使學(xué)生對(duì)概念的細(xì)節(jié)把握得更準(zhǔn)確，對(duì)知識(shí)的理解更加完善。下面，筆者結(jié)合蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“三角形三邊的關(guān)系”一課的教學(xué)談?wù)勛约旱乃伎肌?/p>

一、多樣情境：在探究中辯證地理解概念

情境一：小組活動(dòng)，為探究提供支撐（每組準(zhǔn)備四根小棒）

出示實(shí)驗(yàn)要求：

（1）從四根小棒中任選三根，圍一圍。

（2）從小到大記錄每一根的長(zhǎng)度，能圍成三角形的打“√”，不能圍成三角形的打“×”，

學(xué)生在小組內(nèi)任選三根小棒圍一圍，將結(jié)果記錄在下面的表格內(nèi)。

從小到大記錄三根小棒的長(zhǎng)度

單位：厘米 能圍成三角形的打“√”，不能圍成三角形的打“×”

① ② ③

第一種情況

第二種情況

第三種情況

第四種情況

情境二：觀察分析，發(fā)現(xiàn)三邊關(guān)系

學(xué)生分類整理探究的結(jié)果，出示表格。

能圍成三角形 不能圍成三角形

① ② ③ 三邊

關(guān)系 ① ② ③ 三邊

關(guān)系

第一種情況 4 5 8 第三種情況 2 4 8

第二種情況 2 4 5 第四種情況 2 5 8

要求學(xué)生仔細(xì)觀察表格，思考：能圍成三角形的三邊到底有什么奧秘？學(xué)生通過(guò)舉例、計(jì)算、比較，發(fā)現(xiàn)“三角形兩根小棒長(zhǎng)度和大于第三根小棒，能圍成三角形”。教師質(zhì)疑：第三、第四種情況中也有兩根小棒長(zhǎng)度和大于第三根小棒的現(xiàn)象，為什么不能圍成三角形？引導(dǎo)學(xué)生得出“兩根較短小棒的長(zhǎng)度和小于第三根小棒，不能圍成三角形”的結(jié)論。

情境三：動(dòng)手驗(yàn)證，完善發(fā)現(xiàn)

出示活動(dòng)要求：

①畫一畫：任意畫一個(gè)三角形。

②量一量：量出三角形的各邊長(zhǎng)度。（單位：毫米）

③算一算：算出任意兩邊之和與第三邊長(zhǎng)度的關(guān)系。

學(xué)生完成后，教師展示不同學(xué)生的探索結(jié)果，并提問(wèn)：同學(xué)們畫的三角形雖然各不相同，但它們有什么共同的特點(diǎn)？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“三角形任意兩邊的長(zhǎng)度之和大于第三邊”。追問(wèn)學(xué)生：畫出的三角形中有沒(méi)有不符合這一性質(zhì)的？學(xué)生換一角度去關(guān)注，發(fā)現(xiàn)只要是三角形，都符合“三角形任意兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊”這一性質(zhì)。

解讀：

在探索三角形三邊關(guān)系的過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了“小組合作圍三角形—觀察分析初步感悟三邊關(guān)系—?jiǎng)邮之嬺?yàn)證三邊關(guān)系”這三個(gè)學(xué)習(xí)情境，在第一個(gè)情境中學(xué)生分組直觀操作擺三角形，并記錄探究結(jié)果，為后面的研究提供了真實(shí)的學(xué)習(xí)資源。第二個(gè)情境中學(xué)生分類整理擺小棒的結(jié)果，觀察數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、研究關(guān)系，通過(guò)質(zhì)疑明白“兩根較短小棒的長(zhǎng)度之和小于第三根小棒，不能圍成三角形”。通過(guò)“能與不能”的對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只要其中有一種情況不符合規(guī)律，就能判斷它是不能圍成三角形的。要能圍成三角形，必須滿足任意兩根小棒的長(zhǎng)度之和大于第三根小棒。強(qiáng)調(diào)了“任意”一詞，完善了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)，使其更具嚴(yán)密性。第三個(gè)情境中，學(xué)生任意畫三角形，教師展示學(xué)生的作品，通過(guò)不完全歸納，發(fā)現(xiàn)畫的三角形雖然各不相同，但它們擁有共同的特點(diǎn)： “三角形任意兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊”，讓學(xué)生辯證地理解了“三角形任意兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊”這一重要性質(zhì)。

二、多元表征：在交流中凸顯對(duì)概念的精確理解

語(yǔ)言是思維的工具，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)量的高低往往與數(shù)學(xué)語(yǔ)言思維建立及使用的熟練水平有密切聯(lián)系。

1.規(guī)范——完整的表述

師：大家整理探索的結(jié)果，這是能圍成三角形的情況，這是不能圍成三角形的情況，仔細(xì)觀察，你們覺(jué)得能圍成三角形的三根小棒到底有什么奧秘？和同桌交流你的想法。

生1：兩根小棒的長(zhǎng)度大于第三根小棒的長(zhǎng)度，能圍成三角形。

生2：兩根小棒加起來(lái)的長(zhǎng)度和大于第三根小棒的長(zhǎng)度，能圍成三角形。

師（引導(dǎo)）：你們的發(fā)現(xiàn)是否正確呢？請(qǐng)舉例說(shuō)明。

（學(xué)生舉例說(shuō)算式，電腦出示：4+5>8，4+8>5，5+8>4）

師：看看第二種情況是否有這樣的規(guī)律。

（學(xué)生自己算一算比一比，指名回答，電腦出示：2+4>5，2+5>4，4+5>2）

師：通過(guò)剛才的驗(yàn)證，你們發(fā)現(xiàn)能圍成三角形的三根小棒的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？

生：三角形兩根小棒的長(zhǎng)度和大于第三根小棒的長(zhǎng)度，能圍成三角形。

師（設(shè)疑）：那第三種情況（4+8>2，2+8>4）和第四種情況中也滿足兩根小棒長(zhǎng)度之和大于第三邊的長(zhǎng)度，為什么不能圍成三角形呀？

生：因?yàn)橛袃筛“舻拈L(zhǎng)度加起來(lái)小于第三根的長(zhǎng)度了。

師（點(diǎn)撥）：這兩根小棒有什么特點(diǎn)？是呀，在驗(yàn)證時(shí)，我們只要發(fā)現(xiàn)其中較短的兩根小棒長(zhǎng)度之和不符合規(guī)律，就能判斷它是不能圍成三角形的。要能圍成三角形，必須滿足任意兩根小棒的長(zhǎng)度和大于第三根小棒的長(zhǎng)度。（電腦出示：任意）

師（追問(wèn)）：用你的話說(shuō)說(shuō)為什么不能圍成三角形。

生：兩根較短小棒的長(zhǎng)度和小于第三根小棒的長(zhǎng)度，不能圍成三角形。

2. 簡(jiǎn)練——精準(zhǔn)的表達(dá)

數(shù)學(xué)是具有簡(jiǎn)潔美的學(xué)科，在學(xué)生深入理解概念的基礎(chǔ)上，也可以進(jìn)一步縮句。如在用小棒擺三角形抽象為畫三角形，再一次驗(yàn)證“三角形兩根小棒的長(zhǎng)度和大于第三根小棒的長(zhǎng)度，能圍成三角形”“兩根較短小棒的長(zhǎng)度和小于第三根小棒的長(zhǎng)度，不能圍成三角形”后，教師進(jìn)一步抽象出性質(zhì)：任意兩邊之和大于第三邊能圍成三角形，兩邊之和小于第三邊不能圍成三角形。隨后追問(wèn)：如果兩邊之和等于第三邊能圍成三角形嗎？通過(guò)交流與電腦演示，進(jìn)一步整合概括：兩邊之和不大于第三邊不能圍成三角形。

3.符號(hào)化——抽象的表征

最后，教師追問(wèn)學(xué)生：還能用字母來(lái)表達(dá)剛才的意思嗎？學(xué)生在學(xué)習(xí)運(yùn)算律及長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式、周長(zhǎng)公式時(shí)已接觸過(guò)用字母表示數(shù)量關(guān)系，這時(shí)自然想到可以用“a+b>c時(shí)， 能圍;a+b≤c時(shí)，不能圍”來(lái)表示三角形三邊的關(guān)系，其中a、b表示任意兩邊，c表示第三邊。這樣的表征方式做到了用簡(jiǎn)潔的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)豐富的數(shù)學(xué)規(guī)律，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)。

解讀：

學(xué)生對(duì)概念的理解是循序漸進(jìn)的，剛接觸時(shí)必須引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范地表述概念，明確每一個(gè)要素，理解概念的各個(gè)方面，比如“任意”“長(zhǎng)度和”等，隨著舉例的不斷豐富與延伸、理解的不斷深入，可以將“冗長(zhǎng)”的句子濃縮，把握細(xì)節(jié)即可，如“兩邊之和”“不大于”等，最后學(xué)生對(duì)于概念的某些限制條件已充分把握，就可以用符號(hào)來(lái)表達(dá)對(duì)概念的精確理解。多元表征讓不同思維層次的學(xué)生彰顯自己對(duì)概念的理解，不同層次表征之間的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)關(guān)系、規(guī)律的精確理解。

三、多維思考：在辯證練習(xí)中提升推理能力

1.由此及彼

完成教材第78頁(yè)“練一練”第1題。

師（引導(dǎo)）：到現(xiàn)在為止，我們研究的都是三角形兩邊長(zhǎng)度之和與第三邊之間的關(guān)系，對(duì)此，你們有沒(méi)有其他想法？

生：我想知道三角形任意兩邊長(zhǎng)度的差與三邊有什么關(guān)系。

師：很好，由長(zhǎng)度和聯(lián)想到長(zhǎng)度差，會(huì)聯(lián)想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的妙招之一。觀察第一題中能圍成三角形的任意兩邊長(zhǎng)度之差有什么特點(diǎn)。

生：觀察發(fā)現(xiàn)任意兩邊長(zhǎng)度差小于第三邊的長(zhǎng)度。

師：算一算剛才畫的三角形任意兩邊長(zhǎng)度差，再與第三條邊比一比，符合剛才的發(fā)現(xiàn)嗎？

（生交流）

師：我們又得到了另一個(gè)特征，即三角形任意兩邊長(zhǎng)度的差小于第三邊的長(zhǎng)度。（貼出板書，并用字母表示a-b

2.由順到逆

師：請(qǐng)大家完整地讀一讀這兩個(gè)性質(zhì)：“三角形任意兩邊之和大于第三邊”? ?“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的差小于第三邊”。

（生齊讀）

師（啟發(fā)）：由“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的和大于第三邊”倒過(guò)去想到——？由“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的差小于第三邊”倒過(guò)去想到——？

生1：我想到第三邊要小于兩邊之和，大于兩邊之差。

生2：我知道第三邊在兩邊之和與兩邊之差中間。

師：真棒，我們可以確定第三邊的取值范圍——兩邊之差<第三邊<兩邊之和，這可以幫助我們解決一些實(shí)際問(wèn)題。

解讀：

在學(xué)生研究發(fā)現(xiàn)三角形任意兩邊的和與第三邊之間的關(guān)系后，教師啟發(fā)學(xué)生思考：任意兩邊的差與三邊有什么關(guān)系？學(xué)生通過(guò)觀察練習(xí)題中能圍成三角形的任意兩邊之差的特點(diǎn)，再算一算自己畫的三角形任意兩邊的差，與第三條邊比一比，得出“三角形任意兩邊長(zhǎng)度的差小于第三邊”的結(jié)論。由兩邊之和想到兩邊之差，由此及彼，舉一反三，打開了學(xué)生的思維視角，使學(xué)生的探索有了更深的意義。隨后，教師啟發(fā)學(xué)生思考“由‘三角形任意兩邊長(zhǎng)度之和大于第三邊倒過(guò)去想到——？由‘三角形任意兩邊長(zhǎng)度的差小于第三邊倒過(guò)去想到——？”得到了第三邊與兩邊之和、兩邊之差的關(guān)系，明確了第三邊的取值范圍。由順到逆，學(xué)生的思維能力得到了提高，思維更加縝密，對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)更加完善、更加豐滿，這一發(fā)現(xiàn)可以幫助學(xué)生很好地解決如下問(wèn)題：三條線段圍成一個(gè)三角形，其中兩條線段分別長(zhǎng)2厘米、7厘米，那么第三條線段最長(zhǎng)是（? ?）厘米，最短是（? ? ）厘米。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，要注重知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，注重知識(shí)的結(jié)構(gòu)和體系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性，體會(huì)對(duì)某些數(shù)學(xué)知識(shí)可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進(jìn)行理解。因此在教學(xué)中，我們要在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的情況下，發(fā)掘深層次的問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生多維度思考，關(guān)注學(xué)生推理能力和創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)。

多樣，是對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容的要求;多元，是對(duì)學(xué)習(xí)形式的要求;多維，是對(duì)學(xué)習(xí)方法的要求。

【參考文獻(xiàn)】

陳培群.在“多彩”的課堂經(jīng)歷中走向“精致”的建構(gòu)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2015（3）.