關(guān)于“烙餅問題”教材編寫和教學(xué)的研究（一）

劉憲升

[摘 要]針對教材編寫的烙餅問題存在的所答非所問、脫離實(shí)際且不科學(xué)、違背常識(shí)及不是最優(yōu)方案等幾方面問題，給出了六種既實(shí)用且更優(yōu)化的烙餅方案，并論證了它們在生活中的實(shí)際應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]烙餅問題;優(yōu)化;烙餅方案

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）14-0001-04

新課程改革以來，為了貫徹課改理念及其相關(guān)要求，“烙餅問題”作為“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容編入了小學(xué)數(shù)學(xué)教材，人教版教材（簡稱教材）將其編排在四年級(jí)上冊第八單元“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”的第二節(jié)?？梢哉f，“烙餅問題”自編入教材起就成了廣大教師鐘愛的內(nèi)容，如示范課、展示課或公開課，以及教研活動(dòng)或?qū)懳恼碌?，教師就常常選此內(nèi)容。究其原因，教師認(rèn)為烙餅的方法能讓學(xué)生有耳目一新之感，不但能啟迪學(xué)生的思維，完成滲透數(shù)學(xué)思想方法的課程目標(biāo)任務(wù)，還能讓學(xué)生在課堂上用紙片當(dāng)作烙餅進(jìn)行模擬操作，利于實(shí)施課程改革所提倡的探究式教學(xué)之目的。

自“烙餅問題”編入教材起，筆者就反復(fù)研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）（包括之前的實(shí)驗(yàn)稿）、教材及其配套的《義務(wù)教育教科書教師教學(xué)用書數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊》（簡稱“教學(xué)用書”）不下十幾遍，觀看了上百個(gè)教學(xué)視頻，閱覽了上百份教學(xué)設(shè)計(jì)，讀了上百篇教研文章。經(jīng)過兩年多的整理及反復(fù)修改，寫出了該專題系列文章，主要針對一些爭議問題或共性的問題，與廣大數(shù)學(xué)教育工作者進(jìn)行商榷。

由教材關(guān)于“烙餅問題”的圖（圖1）可知，教材展示的是“用圓形平底鍋烙3張圓形的餅，且每次最多能烙2張餅，正反兩面都要烙3分鐘。怎樣才能盡快吃上餅？”，通過給出探究的提示語和交替烙餅的最優(yōu)方案，引導(dǎo)學(xué)生探討烙4張餅、5張餅、6張餅……的方法，進(jìn)而得出教學(xué)用書第191頁上提出的規(guī)律： “如果要烙餅的張數(shù)是雙數(shù)，2張2張地烙就可以了;如果要烙餅的張數(shù)是單數(shù)，可以先2張2張地烙，最后3張餅按上面的最優(yōu)方法烙，最節(jié)省時(shí)間?！比欢?，單從教材內(nèi)容的設(shè)計(jì)而言，存在著一些問題。

一、教材編寫存在的問題

1.“烙餅問題”的編寫所答非所問

教材中提出的問題是“怎樣才能盡快吃上餅？”，而給出的烙餅方法回答的是烙完餅的時(shí)間，是明顯的所答非所問，嚴(yán)格來說是錯(cuò)誤的。關(guān)于這個(gè)問題，董桂云在文章《談教學(xué)“烙餅問題”》中就指出：“生2說：‘為了能盡快吃上餅，烙好2張餅后，把這2張餅分成幾小塊，3個(gè)人先吃著，邊吃邊等第三張餅烙好，這樣3個(gè)人能同時(shí)較快吃上餅。”可見，這是一個(gè)小學(xué)四年級(jí)學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)的問題。

2.“烙餅問題”設(shè)計(jì)脫離實(shí)際

“烙餅問題”是作為“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容編入教材的，那就要符合《標(biāo)準(zhǔn)》中對該部分內(nèi)容的要求?！稑?biāo)準(zhǔn)》（第4至第5頁）在“（三）課程內(nèi)容”中提出“‘綜合與實(shí)踐內(nèi)容設(shè)置的目的在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)的知識(shí)與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)問題的能力”。教學(xué)用書（第188頁）的教學(xué)目標(biāo)中也提出“體會(huì)運(yùn)籌學(xué)在解決現(xiàn)實(shí)問題中的作用……，凸顯數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系”?？梢姡袄语瀱栴}”既然是解決生活中的現(xiàn)實(shí)問題，那么設(shè)計(jì)就應(yīng)該符合實(shí)際。誠然，“烙餅問題”確實(shí)是生活中的實(shí)際問題，然而相關(guān)的條件、烙法等卻脫離了實(shí)際。

（1）問題的條件脫離實(shí)際

在火焰大小一定的情況下，烙餅“每面3分鐘”的條件就不切合實(shí)際。事實(shí)上，烙餅的正面3分鐘能烙好，那烙好反面就不需要3分鐘，烙餅不需要兩面烙同樣長的時(shí)間。因?yàn)橐婚_始的鍋和餅的溫度基本都是一樣的，而正面烙好時(shí)，鍋和餅已經(jīng)吸收了相當(dāng)多的熱量，具有了相當(dāng)高的溫度（一般200 °C左右），反面若再烙3分鐘，供給同樣多的熱量，就會(huì)把餅烙煳。當(dāng)然，數(shù)學(xué)畢竟不同于生活，作為問題的條件本身就是假設(shè)，雖然不太符合實(shí)際，還尚能說得過去。

（2）烙餅過程中的依據(jù)脫離實(shí)際且不科學(xué)

在火焰大小一定的情況下，從教材設(shè)計(jì)的烙餅之探究過程來說，設(shè)計(jì)提示語“為什么烙2張餅和烙1張餅都用6分鐘？”的目的是促進(jìn)學(xué)生思考與探究。既然如此，就不是后面“每次總烙（? ）張餅”提示語暗示的2張餅“一起烙”能簡單解決的。這樣的設(shè)計(jì)，限制了學(xué)生思考與探索的空間，因?yàn)槔雍?張餅的一面需要用3分鐘，那同時(shí)烙2張餅的一面用3分鐘就烙不好;或烙熟1張餅用6分鐘，同時(shí)烙2張餅用6分鐘就烙不熟。其實(shí)，在一些數(shù)學(xué)課堂上就有不少學(xué)生提出6分鐘烙不熟2張餅的問題，但都被教師選擇性忽略了。因?yàn)?，任何人都知道烙餅是需要一定熱量的，火焰供給的熱量只夠烙好1張餅的一面或兩面，那第2張餅需要的熱量哪里來？這無論是從理論還是實(shí)踐角度來講都說不通。但從數(shù)學(xué)簡化問題的角度考慮，雖存在問題，還可算作是比較合理的。

（3）交替烙法既脫離實(shí)際又違背常識(shí)

教材給出的交替烙餅優(yōu)化方法存在以下問題：第二次烙餅時(shí)，1號(hào)餅的溫度已達(dá)200 °C左右，3號(hào)餅的溫度是室溫，一起烙3分鐘就會(huì)出現(xiàn)“1號(hào)餅的反面可能烙煳，3號(hào)餅的正面可能會(huì)欠火候”的現(xiàn)象。同樣，第三次烙餅時(shí)，3號(hào)餅的溫度達(dá)200 °C左右，2號(hào)餅的溫度接近或略高于室溫（因從鍋里拿出來晾上3分鐘會(huì)散發(fā)大量熱量），就會(huì)出現(xiàn)“3號(hào)餅的反面可能烙或2號(hào)餅的反面可能欠火候”的現(xiàn)象。更為重要的是，拿出來“待命”的2號(hào)餅，沒烙熟就拿出來，3分鐘后再放入鍋中烙，這張餅有可能會(huì)夾生——烙不熟。 “夾生饅頭蒸不熟”可是我國勞動(dòng)人民長期生活經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)??！ 楊雨在《如此“烙餅”好吃嗎》中就論述了這個(gè)四年級(jí)學(xué)生也知道的生活常識(shí)。董桂云在文章《談教學(xué)“烙餅問題”》中也指出，親自按教材的優(yōu)化烙餅方法烙餅，烙出的餅確實(shí)夾生，且“課后讓學(xué)生回家詢問媽媽平時(shí)是怎樣烙餅的，第二天反饋回來的信息是‘沒有一個(gè)媽媽是用交替方法烙餅的”。筆者親自詢問過一些烙餅技術(shù)比較好的家庭婦女和烙餅店專門烙餅的多位師傅，他們都說生活中不會(huì)按教材上的所謂的“優(yōu)化”方法烙餅。

3.所謂的“優(yōu)化”烙餅方法并不是最優(yōu)烙法

教材上所謂的“優(yōu)化”烙餅方法不僅脫離實(shí)際，還不是最優(yōu)的烙餅方法。這是因?yàn)?，即使從?shù)學(xué)的角度出發(fā)，在先不管所答非所問和夾生的問題，也承認(rèn)1張餅的正反兩面都烙3分鐘，及烙1張餅和烙2張餅都用6分鐘能烙熟之假設(shè)合理的情況下，教材給出的所謂“優(yōu)化”烙餅方法，無論是單從節(jié)省時(shí)間上來說，還是綜合節(jié)省能源來看，都不是最優(yōu)的。因?yàn)?，這種烙法本身就與教材“別讓鍋（空著）”的提示語矛盾——同時(shí)烙2張餅的時(shí)候鍋至少空著一半。（既實(shí)用又更優(yōu)化的烙餅方法，下文將進(jìn)一步說明）

由上可知，教材設(shè)計(jì)存在諸多問題，若是脫離實(shí)際的問題，從數(shù)學(xué)的角度來說還可以理解，因?yàn)閿?shù)學(xué)畢竟是對生活的抽象，不可能完全等同于生活，但所答非所問是不應(yīng)該的，加之烙餅的“優(yōu)化”方法并不優(yōu)，那這個(gè)設(shè)計(jì)就有待商榷了，因?yàn)檫@是滲透統(tǒng)籌與優(yōu)化思想方法的內(nèi)容??！

二、既實(shí)用又更優(yōu)化的烙餅方案

稍微有點(diǎn)生活經(jīng)驗(yàn)的人都知道以下烙餅常識(shí)：在每張餅的面團(tuán)體積（質(zhì)量）以及爐灶的火焰大小一定的情況下，烙餅的快慢主要取決于餅的厚度。當(dāng)然，也與餅每個(gè)面的面積大小有關(guān)，因其決定了覆蓋鍋底面積的大小，進(jìn)而決定餅吸熱面積的大?。m影響熟的快慢但非決定因素），以及鍋底空余的多少（這決定了熱量散發(fā)或燃料浪費(fèi)的多少），而與餅的形狀無關(guān)。一塊面團(tuán)，當(dāng)搟成的餅面的面積越大時(shí)，餅就越薄，烙熟得就越快，熱量散發(fā)就越少;當(dāng)搟成的餅面的面積越小時(shí)，餅就越厚，烙熟得就越慢，熱量散發(fā)就越多。

為方便論述，先做以下假設(shè)：用教材上圖示的圓形平底鍋（其大小不變）烙餅;圖示3張圓餅的厚度相同（這是隱含條件，否則同時(shí)烙2張餅不可能同時(shí)烙熟），也假設(shè)餅的直徑相同（當(dāng)然可以不同），搟成餅的3塊面團(tuán)的質(zhì)量或體積相同;因每次最多只能烙2張餅，故餅的直徑d小于鍋的半徑R（再大了放不下2張餅），但大于鍋半徑的[43-6≈0.928]倍（當(dāng)r=0.928R時(shí)，3張餅兩兩相切并都與鍋的內(nèi)邊緣相切，可以同時(shí)放3張餅一起烙）。另外，爐灶的火焰大小雖然可調(diào)，但也假設(shè)是不變的，并假設(shè)所設(shè)計(jì)的圓餅每面烙3分鐘，多張一起烙和單獨(dú)烙1張的時(shí)間相同。

在上述假設(shè)下，基于烙餅常識(shí)，只要餅的厚度、每個(gè)面的面積大小及形狀是可變因素，便可以給出既能節(jié)省時(shí)間又能大大減少燃料浪費(fèi)地烙熟3張餅，并且在生活中可以應(yīng)用的、最優(yōu)化的烙餅方案。

1.餅的張數(shù)和形狀不變情況下的烙餅方案

方案一：把3張餅都搟成和鍋一樣大的餅，一張一張地烙。這時(shí)，可計(jì)算出：每張餅的受熱面積至少變?yōu)樵瓉淼?倍，厚度最多為原來的1/4。單從餅的厚度來說，理論上每張餅1.5分鐘就可烙熟;若再考慮到受熱面積的增大，實(shí)際上應(yīng)少于1.5分鐘就可烙熟1張餅。這樣烙熟3張餅最多需要4.5分鐘。

方案二：把3張餅仍搟成圓形且同時(shí)烙。把3張餅都搟成圓形，且使它們兩兩相切，并與鍋的內(nèi)邊緣相切（此時(shí)餅的直徑d最大為0.928R（鍋的半徑為R））。這時(shí)可計(jì)算出，餅的厚度最多為原來的1.16倍，理論上6.96分鐘可同時(shí)烙熟這3張餅，還可減少鍋空余造成的燃料浪費(fèi)。

2.餅的張數(shù)不變而形狀可變情況下的烙餅方案

方案三：把3張餅都搟成圓心角為120°，半徑等于鍋的半徑的扇形餅，放在鍋里一起烙（即將3張餅拼成和鍋一樣大的餅）。此時(shí)可計(jì)算出：每張餅的厚度最多為原來的3/4，受熱面積最少為原來受熱面積的4/3倍，理論上這3張餅一起烙，最多4.5分鐘也可烙熟。

方案四：先烙2張，再烙1張;或先烙1張，再烙2張。把2張同時(shí)烙的餅搟成半圓（直徑等于鍋的直徑）形。這時(shí)，每張餅的受熱面積最少變?yōu)樵瓉淼?倍，厚度最多為原來的1/2，理論上3分鐘就足以烙熟這2張餅。單獨(dú)烙的1張餅搟成和鍋一樣大，由方案一可知理論上1.5分鐘就可烙熟。這樣， 4.5分鐘也可烙熟3張餅。

3.餅的張數(shù)可變而形狀不變情況下的烙餅方案

其實(shí)，實(shí)際生活中，烙餅一是考慮熟得快;二是考慮省燃料。因此，沒有必要非得烙成3張餅，烙成1張餅或2張餅后再切開吃也是可以的?；诖?，還有以下方案。

方案五：把3張餅的面團(tuán)揉在一起，搟成和鍋一樣大的1張大餅。此時(shí)可計(jì)算出：餅的厚度最多為原來的3/4，受熱面積為原先3張餅受熱面積的4/3倍，理論上4.5分鐘也可烙熟。

方案六：把3張餅的面團(tuán)揉在一起，平均分開（此時(shí)每張餅的體積或質(zhì)量為原來1張餅的1.5倍），搟成和鍋一樣大的2張大餅（也可以搟成更多張餅）。此時(shí)可計(jì)算出：大餅的厚度最多為原來的3/8，每張餅的受熱面積最少為原先1.5張餅受熱面積的8/3倍，理論上2.25分鐘足已烙熟一張餅，4.5分鐘足已烙熟2張餅。

由上可見，若教材上的烙法能烙熟的話，上述方案中，除方案二外，其他方案理論上4.5分鐘都足已烙熟餅。這不僅比教材上所謂的“優(yōu)化”烙餅法的時(shí)間少了一半，而且都實(shí)現(xiàn)了餅對鍋底的全覆蓋（符合教材提出的“別讓鍋（空著）”），大大減少了熱量的散發(fā)，至少比教材上的方法省一半多的燃料。

值得指出的是，一鍋烙1.5張、2張或3張餅肯定比烙1張餅需要的熱量多，方案二至方案六實(shí)際所需時(shí)間可能略多于理論值;最后一次烙完都損失一次熱量，但前一張餅烙熟后，鍋本身的熱量可以使下一張餅烙熟得更快一些。故綜合諸多因素來看，方案一應(yīng)是最優(yōu)的烙餅方案，方案六、方案四次之。

生活中，在烙3張餅且烙餅次數(shù)不限的前提下，應(yīng)用方案一的人最多，應(yīng)用方案四的也比較多，常出現(xiàn)在人們烙餡餅時(shí)，把面搟成一個(gè)圓餅，在一半放上餡后折疊過來捏好再烙。在烙3張餅且一次烙完的情況下，由于方案三所述的形狀難以搟出，人們往往是將其適當(dāng)變形，搟出面積盡量大的餅，使3張餅基本鋪滿鍋，不太在意形狀;在不限制烙餅的張數(shù)，但一次烙完的情況下，人們往往是按照方案五烙餅，然后切開吃;在不限制烙餅張數(shù)，也不限制烙餅次數(shù)的情況下，人們往往是按照方案一、方案六烙餅（當(dāng)然餅的張數(shù)未必是2張、3張，可以更多）。

特別需要指出的是，上述方案都是給出的烙熟餅的方案，而不是盡快吃上餅的方案。若是盡快吃上餅，在方案一中，1.5分鐘就可使一家三口人吃上餅——把烙好的第1張餅切成三份先吃著，接著邊吃邊烙。

綜上可知，從節(jié)省時(shí)間和節(jié)約能源的角度給出的烙餅方案，都比教材上所謂的“優(yōu)化”烙餅方法更優(yōu)，且方法多樣，真正貫徹統(tǒng)籌與優(yōu)化思想，并都能在生活中得以應(yīng)用。再者，上述方案中關(guān)于餅的厚薄、直徑及每面面積的計(jì)算還應(yīng)用了圓及圓柱等有關(guān)知識(shí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，更符合“綜合與實(shí)踐”的內(nèi)容設(shè)置及標(biāo)準(zhǔn)要求。反觀原設(shè)計(jì)，基本沒有涉及多少數(shù)學(xué)知識(shí)——只是簡單的加或乘，體現(xiàn)不了數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用。

當(dāng)然，有的人會(huì)說，教材上沒說餅的厚薄、面積或形狀可以變。是的，但教材也沒有說不能變，況且方案一和方案二中每張餅的大?。w積或質(zhì)量）及形狀都沒變。更何況，這些方案都符合教材“別讓鍋（空著），這樣應(yīng)該最省時(shí)間”的提示。再者，教材也沒有說烙餅烙好一面可以拿出來等會(huì)再烙，但給出的烙法不照樣將2號(hào)餅?zāi)贸鰜砹郎?分鐘再烙嗎？何況這樣烙的餅還夾生呢！難道比餅的厚薄、面積、形狀或張數(shù)的變化更合理？只有抓住問題的可變因素進(jìn)行處理，才能真正體現(xiàn)統(tǒng)籌與優(yōu)化思想的內(nèi)涵與實(shí)質(zhì)（詳見研究（二）的分析），如果問題的所有因素都不變，何來的統(tǒng)籌與優(yōu)化呢？

綜上，由于教材編寫存在的一些問題，按教材進(jìn)行教學(xué)不可能實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)。上面給出的既實(shí)用且更優(yōu)化的烙餅方案，既有利于學(xué)生感悟統(tǒng)籌與優(yōu)化思想，有助于教師實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，更能說明數(shù)學(xué)確實(shí)“源于生活，又應(yīng)用于生活”，還可避免課堂上教師面對學(xué)生質(zhì)疑烙餅方法時(shí)，茫然無措或出現(xiàn)無法應(yīng)對的窘相;避免用諸如“數(shù)學(xué)源于生活，但它高于生活”的大道理去應(yīng)付學(xué)生的質(zhì)疑。更何況，課程標(biāo)準(zhǔn)中指出的就是讓學(xué)生學(xué)“有用的數(shù)學(xué)”“貼近學(xué)生實(shí)際”的數(shù)學(xué);教材編寫也貫徹課程改革的這一理念，且教學(xué)用書提出的教學(xué)目標(biāo)（第188頁）還要求“凸顯數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系……增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和實(shí)踐能力”。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 人民教育出版社，課程教材研究所.義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)（四年級(jí)上冊）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3] 人民教育出版社.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)教師教學(xué)用書（四年級(jí)下冊）[M].2版.北京：人民教育出版社，2016.

[4] 董桂云.談教學(xué)“烙餅問題”[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2011（5）.

[5] 楊雨，朱艷麗.如此“烙餅”好吃嗎[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（小學(xué)版），2013（3）.

（責(zé)編 金 鈴）