分?jǐn)?shù)度量意義發(fā)展的認(rèn)知根基及軌跡：分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階理論

丁 銳，衛(wèi)冰倩，Ron Tzur，田 然，孫文娟

分?jǐn)?shù)度量意義發(fā)展的認(rèn)知根基及軌跡：分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階理論

丁 銳1，衛(wèi)冰倩2，Ron Tzur2，田 然3，孫文娟1

（1．東北師范大學(xué) 教育學(xué)部，吉林 長(zhǎng)春 130024；2．科羅拉多大學(xué)丹佛分校教育與人力發(fā)展學(xué)院，美國(guó) 丹佛 80031；3．紅山郡小學(xué)，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

斯特芬（Steffe）、撒冷（Tzur）等人通過(guò)長(zhǎng)期的質(zhì)的建構(gòu)主義教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究，對(duì)西方兒童的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)軌跡進(jìn)行了探索，提出的分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階理論為學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)度量意義理解的發(fā)展提供了認(rèn)知依據(jù)．撒冷的“活動(dòng)—效果關(guān)系”反省理論可以解釋圖式的構(gòu)建和轉(zhuǎn)化機(jī)制，迭代和均分是分?jǐn)?shù)圖式構(gòu)建的兩種重要認(rèn)知操作，而分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階模型共包括8個(gè)進(jìn)階水平，前4個(gè)圖式主要基于迭代操作，后4個(gè)圖式主要基于均分操作．總之，分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)不是“部分—整體”，而是度量意義；學(xué)生的分?jǐn)?shù)圖式是對(duì)整數(shù)計(jì)數(shù)圖式的順應(yīng)；迭代和均分操作能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)度量意義的理解．

分?jǐn)?shù)；分?jǐn)?shù)圖式；迭代操作；均分操作；度量意義

由于其在數(shù)系擴(kuò)展方面的價(jià)值，分?jǐn)?shù)一直都是小學(xué)數(shù)學(xué)的核心知識(shí)；又因其內(nèi)涵的豐富性，使得學(xué)生在分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中存在諸多的困難[1]，因而成為研究的熱點(diǎn)．一般認(rèn)為分?jǐn)?shù)具有多重意義，部分與整體的意義、度量意義、除法的結(jié)果、比的意義等．現(xiàn)行大部分的國(guó)內(nèi)外的小學(xué)數(shù)學(xué)教材都是從“部分—整體”的意義引入分?jǐn)?shù)的[2]，但是越來(lái)越多的研究發(fā)現(xiàn)通過(guò)“部分—整體”引入分?jǐn)?shù)存在諸多弊端，主要原因就是學(xué)生的整數(shù)知識(shí)干擾了其分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)，主要表現(xiàn)的就是“整數(shù)偏向”（whole number bias），比如認(rèn)為分母越大，分?jǐn)?shù)越大[3]．美國(guó)的數(shù)學(xué)教育研究者斯特芬（Steffe）等人通過(guò)長(zhǎng)期的質(zhì)的建構(gòu)主義的教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究[4-5]，根據(jù)重組假設(shè)理論（reorganization hypothesis）提出學(xué)生的分?jǐn)?shù)圖式是對(duì)整數(shù)計(jì)數(shù)圖式（numerical counting schemes）的順應(yīng)而出現(xiàn)的[6]．而分?jǐn)?shù)圖式理論的發(fā)展為理解分?jǐn)?shù)的度量意義奠定了基礎(chǔ)．董文彬指出，無(wú)論是“圖形與幾何”領(lǐng)域的測(cè)量教學(xué)，還是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的運(yùn)算教學(xué)，“單位”都是貫穿兩大領(lǐng)域的核心詞，只不過(guò)在“圖形與幾何”領(lǐng)域強(qiáng)調(diào)的是測(cè)量單位，而在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域強(qiáng)調(diào)的是計(jì)數(shù)單位[7]．度量的核心是度量單位的產(chǎn)生、發(fā)展以及累加過(guò)程，也就是數(shù)出度量單位的個(gè)數(shù)以及度量單位轉(zhuǎn)換的過(guò)程．那么，分?jǐn)?shù)的度量意義就不僅僅要強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)也是數(shù)，是數(shù)軸上的一點(diǎn)，更強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的過(guò)程是對(duì)度量單位（也就是分?jǐn)?shù)單位）的計(jì)數(shù)或者迭代．因此，分?jǐn)?shù)度量意義是指每個(gè)分?jǐn)?shù)都可以看成單位分?jǐn)?shù)的累計(jì)或者迭代的結(jié)果，而單位分?jǐn)?shù)是一個(gè)可以計(jì)數(shù)或者迭代的量[8-9]．研究試圖從圖式的概念與建構(gòu)機(jī)制，分?jǐn)?shù)圖式的認(rèn)知操作方式以及進(jìn)階水平幾個(gè)方面來(lái)系統(tǒng)地介紹和剖析分?jǐn)?shù)圖式理論，并說(shuō)明分?jǐn)?shù)圖式發(fā)展如何促進(jìn)和增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)度量意義的理解．

1 圖式的概念與建構(gòu)機(jī)制

“圖式”（scheme，schema）一詞最早出現(xiàn)在18世紀(jì)哲學(xué)領(lǐng)域中[10]，指“一個(gè)通用的概括性概念，適用于某一范疇中的所有個(gè)體，是一個(gè)普遍的或者本質(zhì)的類(lèi)型或形態(tài)”．后來(lái)，該詞被瑞士心理學(xué)家皮亞杰（Piaget）引入他的發(fā)生認(rèn)識(shí)論中，他認(rèn)為[11]“圖式是動(dòng)作的結(jié)構(gòu)或組織，這些動(dòng)作在同樣或類(lèi)似的環(huán)境中由于重復(fù)而引起遷移或者概括．”簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，圖式就是認(rèn)知結(jié)構(gòu)或行為模式[12]．

馮·格拉斯菲爾德（von Glasersfeld）[13]認(rèn)為在某一具體領(lǐng)域下的任何一種圖式都是在個(gè)體經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)起來(lái)的．他認(rèn)為所有圖式都有3個(gè)成分：（1）識(shí)別一個(gè)具體情境或者經(jīng)驗(yàn)的模板；（2）和經(jīng)驗(yàn)相關(guān)的具體心智活動(dòng)（活動(dòng)本身也是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)）；（3）一個(gè)預(yù)期的結(jié)果，簡(jiǎn)言之就是“情境—活動(dòng)—結(jié)果”．當(dāng)個(gè)體具有了某個(gè)圖式，就具有了解決某水平問(wèn)題的能力．但是當(dāng)個(gè)體遇到超越這個(gè)水平的問(wèn)題時(shí)，他還會(huì)嘗試使用已有的圖式來(lái)解決新問(wèn)題，因此會(huì)遭遇失敗，引起認(rèn)知沖突，從而激發(fā)個(gè)體構(gòu)建新的圖式．比如，一個(gè)具有了加法“接著數(shù)”（counting on）圖式的兒童，在遇到“原來(lái)有5個(gè)蘋(píng)果，再給你3個(gè)蘋(píng)果，一共有多少個(gè)蘋(píng)果”的問(wèn)題的時(shí)候，他會(huì)識(shí)別這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)加法問(wèn)題（情境），這個(gè)問(wèn)題會(huì)激發(fā)他有關(guān)這類(lèi)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，也就是接著數(shù)（心智活動(dòng)），他知道可以使用“在5的基礎(chǔ)上接著數(shù)3個(gè)數(shù)”的策略解決這個(gè)問(wèn)題（預(yù)期的結(jié)果）．這個(gè)對(duì)結(jié)果的預(yù)期與實(shí)際的結(jié)果是相符的．但是當(dāng)這個(gè)學(xué)生遇到“3袋蘋(píng)果，每袋有5個(gè)蘋(píng)果，一共有多少個(gè)蘋(píng)果”的問(wèn)題，他采取的可能也是“接著數(shù)”的策略，并預(yù)期這個(gè)操作可以解決問(wèn)題．這時(shí)候，預(yù)期的結(jié)果與實(shí)際的結(jié)果不符，需要建構(gòu)新的圖式來(lái)解決新的問(wèn)題．

圖式的建構(gòu)機(jī)制要追溯到皮亞杰的反省抽象（reflective abstraction）理論．鄭毓信認(rèn)為皮亞杰的反省抽象是指“把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來(lái)的東西投射或反射到一個(gè)新的層面上，并對(duì)此進(jìn)行重新建構(gòu)”[14]．撒冷進(jìn)一步指出圖式的建構(gòu)就是個(gè)體對(duì)“活動(dòng)—效果關(guān)系”的反省過(guò)程[15]．“活動(dòng)—效果關(guān)系”的反省機(jī)制中包括兩種類(lèi)型的反思：其一是學(xué)習(xí)者預(yù)期的“活動(dòng)—效果”和實(shí)際的“活動(dòng)—效果”之間的比較，通過(guò)比較整理出“活動(dòng)—效果”的記錄；其二是對(duì)這些活動(dòng)—效果記錄進(jìn)行比較，通過(guò)比較和反思抽象出預(yù)期的、規(guī)律性的“活動(dòng)—效果關(guān)系”．同樣是前面的例子，當(dāng)學(xué)生遭遇“5×3”的問(wèn)題的時(shí)候，一開(kāi)始使用的還是“接著數(shù)”的加法圖式，預(yù)期這個(gè)問(wèn)題的結(jié)果是8（個(gè)蘋(píng)果），但是這與真實(shí)計(jì)數(shù)的結(jié)果15（個(gè)蘋(píng)果）是不符的，通過(guò)對(duì)比預(yù)期的活動(dòng)—效果（8）與真實(shí)的活動(dòng)—效果（15），學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)二者的差別（第一種類(lèi)型的反思）．通過(guò)變換問(wèn)題情境，學(xué)生慢慢地就會(huì)建立新的臨時(shí)的活動(dòng)—效果之間的關(guān)系（需要數(shù)3個(gè)5來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題），并在解決不同情境或者數(shù)字的乘法問(wèn)題中，不斷地對(duì)活動(dòng)—效果關(guān)系的記錄進(jìn)行比較（第二種類(lèi)型的反思），最終抽象出初步的乘法推理圖式．因此，由反省抽象建立的數(shù)學(xué)概念并不是通過(guò)不停地試誤得到的，而是個(gè)體對(duì)已有概念的重組．

上述兩種類(lèi)型的反思使得學(xué)生在構(gòu)建一個(gè)新的圖式時(shí)經(jīng)歷兩個(gè)階段：參與階段（participatory stage）和預(yù)期階段（anticipatory stage）．在參與階段，學(xué)習(xí)者建立對(duì)于活動(dòng)—效果關(guān)系的新的臨時(shí)結(jié)構(gòu)，學(xué)習(xí)者需要在這個(gè)臨時(shí)結(jié)構(gòu)建立的情境中才能想起并使用該結(jié)構(gòu)來(lái)解決當(dāng)前的問(wèn)題．也就是說(shuō)，學(xué)習(xí)者需要相應(yīng)的提示或線索才能激活這個(gè)臨時(shí)結(jié)構(gòu)來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，這個(gè)結(jié)構(gòu)也是不穩(wěn)定的，如果不經(jīng)過(guò)強(qiáng)化，可能會(huì)消退．在預(yù)期階段，學(xué)習(xí)者對(duì)活動(dòng)—效果關(guān)系形成了牢固的、穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，而且不再依賴(lài)提示，可以獨(dú)立自發(fā)地調(diào)用、使用和遷移該圖式．撒冷認(rèn)為第一種類(lèi)型反思的價(jià)值在于構(gòu)建臨時(shí)的活動(dòng)—效果關(guān)系，也就是參與階段的臨時(shí)結(jié)構(gòu)（不穩(wěn)定的圖式），而第二種類(lèi)型的反思對(duì)于將參與階段的圖式轉(zhuǎn)換為預(yù)期階段的新圖式（穩(wěn)定的、真正的圖式）是非常關(guān)鍵的[16]．

2 促進(jìn)學(xué)生分?jǐn)?shù)度量意義圖式發(fā)展的認(rèn)知操作

通過(guò)對(duì)比不同版本的教材，研究者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)度量意義的理解，要么被安排在“部分—整體”意義之后，要么與“部分—整體”意義同時(shí)進(jìn)行[2]．但是撒冷[17]認(rèn)為從“部分—整體”角度理解分?jǐn)?shù)，限制了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)的理解，并容易造成學(xué)生對(duì)“假分?jǐn)?shù)大于整體”等概念的理解困難．因此，撒冷匯總了斯特芬和奧利弗[18]、撒冷[19]、哈肯伯格（Hackenberg）[20]等人有關(guān)學(xué)生分?jǐn)?shù)推理發(fā)展的教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究成果，提出了的八階段分?jǐn)?shù)圖式理論[21]．該理論強(qiáng)調(diào)迭代（iterating）和均分（partitioning）操作是構(gòu)建分?jǐn)?shù)度量意義圖式的最基本的認(rèn)知操作方式．下面結(jié)合撒冷等設(shè)計(jì)的“均分薯?xiàng)l游戲”[22]來(lái)具體說(shuō)明兩種操作方式的內(nèi)涵，以及兩種操作對(duì)學(xué)生構(gòu)建分?jǐn)?shù)度量意義圖式的價(jià)值．

“均分薯?xiàng)l游戲”流程

游戲目的：該游戲通過(guò)讓學(xué)生完成“均分薯?xiàng)l”的任務(wù)，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)推理．

工具準(zhǔn)備：一個(gè)未均分的黃色紙條（代替薯?xiàng)l）和一個(gè)未均分的白色紙條（幫助均分薯?xiàng)l）、一只筆（做標(biāo)記，保留操作過(guò)程）．

活動(dòng)形式：兩個(gè)學(xué)生合作完成“均分薯?xiàng)l”的任務(wù)．

活動(dòng)流程：

首先，教師會(huì)讓大家將黃色薯?xiàng)l平均分給兩個(gè)人（沒(méi)有任何限制），幫助學(xué)生通過(guò)對(duì)折建立相等的概念以及了解活動(dòng)規(guī)則．

其次，教師提出挑戰(zhàn)性任務(wù)——如何將薯?xiàng)l平均分給3個(gè)人？并加入限制條件，要求學(xué)生在進(jìn)行“均分薯?xiàng)l”的任務(wù)中，兩張紙條都不可以折或者切分，也不能用尺子或者其它具有刻度的材料度量紙條的長(zhǎng)度，但是可以用鋼筆在紙條上做標(biāo)記．

在分薯?xiàng)l的過(guò)程中，教師觀察并引導(dǎo)學(xué)生使用重復(fù)策略：（1）估計(jì)長(zhǎng)度（一個(gè)人所分得的長(zhǎng)度）；（2）重復(fù)上述長(zhǎng)度（重復(fù)次數(shù)為平分的個(gè)數(shù)）；（3）比較（你的重復(fù)結(jié)果和原來(lái)的整體長(zhǎng)度）；（4）調(diào)整長(zhǎng)度（如果需要的話(huà)），然后重復(fù)上述步驟．如圖1所示，學(xué)生先估計(jì)一個(gè)長(zhǎng)度為每個(gè)人得到的薯?xiàng)l的長(zhǎng)度（白色是一小份），然后重復(fù)這個(gè)長(zhǎng)度3次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)比原來(lái)的薯?xiàng)l短．因此，需要調(diào)整估計(jì)的長(zhǎng)度．教師可以追問(wèn)，“下一份應(yīng)該長(zhǎng)一點(diǎn)，還是短一點(diǎn)”？然后讓學(xué)生重復(fù)上述過(guò)程，直到學(xué)生能夠找到“那一份”，就是整體的1/3，因?yàn)閷⑦@一份迭代3次就是整體．也就是說(shuō)，單位分?jǐn)?shù)是單位量1/與整體1之間的倍數(shù)關(guān)系．

再次，如果學(xué)生能夠?qū)⑹項(xiàng)l平均分給3個(gè)人，那么給學(xué)生新的任務(wù)，把薯?xiàng)l平均分給4個(gè)人（限制條件不變），并且問(wèn)學(xué)生：平均分給4個(gè)人，每人分到的薯?xiàng)l比分給3個(gè)人的是長(zhǎng)一點(diǎn)還是短一點(diǎn)？然后讓學(xué)生對(duì)他們的估計(jì)進(jìn)行驗(yàn)證．然后，可以根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)情況，繼續(xù)給學(xué)生平均分給5個(gè)人、7個(gè)人等任務(wù)，在每一次均分之前都要求學(xué)生基于上一輪均分的結(jié)果預(yù)估下一次均分的大小，以此來(lái)幫助學(xué)生建立重復(fù)次數(shù)與所重復(fù)量的大小之間的逆關(guān)系．也就是，重復(fù)次數(shù)越多，每一份就越?。?/3大于1/4是因?yàn)?/3重復(fù)3次與整體相等而1/4要重復(fù)4次才等于整體．這個(gè)活動(dòng)能夠幫助學(xué)生理解單位分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，從而，對(duì)抗“整數(shù)偏向”的影響．

最后，當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了多次的操作練習(xí)（改變均分組數(shù)）后初步建立了重復(fù)次數(shù)與整體的關(guān)系，以及每份的大小與重復(fù)次數(shù)的逆向關(guān)系之后，可以給出符號(hào)表征，也就是1/．并通過(guò)強(qiáng)化練習(xí)進(jìn)一步鞏固學(xué)生對(duì)1/和1的關(guān)系，以及1/和1/大小關(guān)系的理解．

圖1

薯?xiàng)l游戲不但清晰地呈現(xiàn)了均分和迭代的過(guò)程，而且展示了均分和迭代的密切關(guān)系．均分指的是把一個(gè)整體平均分成幾份，迭代指的是指連續(xù)地復(fù)制和粘貼一個(gè)量．在傳統(tǒng)的分?jǐn)?shù)教材中，一般通過(guò)對(duì)折等方式理解均分，而在上面的案例中，通過(guò)限制條件，促使學(xué)生使用重復(fù)策略，也就是迭代的方式從另外一個(gè)角度體會(huì)均分的意義．在迭代的過(guò)程中，復(fù)制的量是完全相等的，當(dāng)?shù)糠忠欢ǖ拇螖?shù)（次）正好等于整體的時(shí)候，就說(shuō)明整體被均分為份．同時(shí)，也可以幫助學(xué)生建立重復(fù)的量（分?jǐn)?shù)單位）的度量意義，也就是整體里有個(gè)1/．

其次，上述游戲也說(shuō)明了均分和迭代操作是對(duì)整數(shù)推理中復(fù)合單位（composite units）操作的一種順應(yīng)[17]．在整數(shù)推理中，復(fù)合單位是指?jìng)€(gè)體將大于1的數(shù)看成一個(gè)整體，對(duì)之進(jìn)行操作．這個(gè)復(fù)合單位是由一組單位量迭代而成，比如6是由6個(gè)“1”或者3個(gè)“2”迭代組成．而在分?jǐn)?shù)中，復(fù)合單位的內(nèi)涵擴(kuò)展了，1本身就是一個(gè)復(fù)合單位，由5個(gè)可迭代的單位分?jǐn)?shù)（1/5）組成．也就是說(shuō)，整體1可以被均分成5份，每一份是1/5；單位分?jǐn)?shù)1/5可以被迭代5次，從而形成整體1．

再次，薯?xiàng)l游戲也為分?jǐn)?shù)圖式的進(jìn)一步發(fā)展提供了操作基礎(chǔ)．比如，當(dāng)?shù)蚓滞瓿蓵r(shí)候，學(xué)生可以對(duì)迭代或均分的結(jié)果再次進(jìn)行迭代或均分，也就是遞歸迭代（recursive iterating）和遞歸均分（recursive partitioning）．而遞歸迭代擴(kuò)展了學(xué)生的迭代的單位（從單位分?jǐn)?shù)到復(fù)合分?jǐn)?shù)，從1/到/），遞歸均分則產(chǎn)生了新的單位分?jǐn)?shù)（單位分?jǐn)?shù)的單位分?jǐn)?shù)（unit of unit），1/的1/，即1/）．在遞歸迭代的過(guò)程中，單位分?jǐn)?shù)和整體1都沒(méi)有改變，始終保持著相同的倍數(shù)關(guān)系，因此，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)相對(duì)簡(jiǎn)單．而在遞歸均分的過(guò)程中，盡管整體與一開(kāi)始的單位分?jǐn)?shù)和新產(chǎn)生的單位分?jǐn)?shù)之間依然保持著倍數(shù)關(guān)系，但是單位分?jǐn)?shù)所對(duì)應(yīng)的整體發(fā)生過(guò)變化（1的1/，1/的1/，1的1/），單位分?jǐn)?shù)也發(fā)生了變化（從“1/”到“1/”，再到“1/”）．因此，遞歸均分要比均分和遞歸迭代都更復(fù)雜，但是理解遞歸均分對(duì)于學(xué)生解決分?jǐn)?shù)乘除法問(wèn)題有著重要的奠基作用．

總之，均分和迭代是構(gòu)建分?jǐn)?shù)度量意義圖式進(jìn)階的兩個(gè)核心操作，因此，撒冷和斯特芬等人建構(gòu)的分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階可以稱(chēng)之為“基于均分和迭代的分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階”．依據(jù)該理論，整個(gè)分?jǐn)?shù)概念的進(jìn)階過(guò)程被細(xì)化為8個(gè)圖式階段，前4個(gè)圖式主要基于迭代（包括遞歸迭代）操作，后4個(gè)圖式主要基于遞歸均分操作．

3 基于迭代—均分操作的分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階

斯特芬和奧利弗認(rèn)為分?jǐn)?shù)圖式是指在學(xué)生解決分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)的語(yǔ)言和行為背后所蘊(yùn)含的分?jǐn)?shù)推理過(guò)程，包括情境識(shí)別、操作活動(dòng)以及預(yù)期的結(jié)果[18]．分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階是指學(xué)生在分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)過(guò)程中構(gòu)建的分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展順序．

為便于理解，借助“彩帶任務(wù)”情境（圖2）具體說(shuō)明基于迭代—均分操作的分?jǐn)?shù)圖式的每個(gè)階段的情境—活動(dòng)—結(jié)果，并用圖示的方式展示頭腦中的認(rèn)知操作過(guò)程，并分析每個(gè)圖式階段與日常分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的關(guān)系．

3.1 單位/均分分?jǐn)?shù)圖式

兒童先預(yù)期（估計(jì)）一個(gè)長(zhǎng)度，然后通過(guò)迭代這個(gè)長(zhǎng)度次，得到一個(gè)與原來(lái)的整體相等的整體，以此構(gòu)建單位分?jǐn)?shù)和整體的乘法關(guān)系，并把這一份作為連續(xù)的、可以通過(guò)迭代產(chǎn)生整體的單位，具體情境見(jiàn)圖2，解釋可參考“均分薯?xiàng)l游戲”．

3.2 迭代分?jǐn)?shù)圖式

迭代分?jǐn)?shù)圖式（Iterative Fraction Scheme）是指對(duì)單位分?jǐn)?shù)或非單位分?jǐn)?shù)（真分?jǐn)?shù)）的迭代可以超過(guò)整體的限制．

活動(dòng)解讀：（情境參考圖4）在單位分?jǐn)?shù)圖式的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠理解每個(gè)小朋友分到一個(gè)完整彩帶的1/7，那么只需要將1/7重復(fù)8次得到8/7根彩帶，也是1根完整的彩帶再加上1/7根彩帶．

在實(shí)際教學(xué)中，有一些學(xué)生會(huì)說(shuō)結(jié)果應(yīng)該是8/8．他們給出的原因是一共有8段彩帶．這樣的理由暗示了學(xué)生并沒(méi)有建立迭代分?jǐn)?shù)圖式，也就是不能將單位分?jǐn)?shù)作為一個(gè)迭代單位，而這個(gè)單位分?jǐn)?shù)其實(shí)在迭代過(guò)程中是不變的．本質(zhì)上，他們忽略了單位分?jǐn)?shù)與整體之間的倍數(shù)關(guān)系．

圖2 “單位/均分分?jǐn)?shù)圖式”情境圖

撒冷認(rèn)為迭代分?jǐn)?shù)圖式不是對(duì)單位分?jǐn)?shù)圖式以及部分分?jǐn)?shù)圖式的簡(jiǎn)單擴(kuò)展，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)換學(xué)生分?jǐn)?shù)的概念．也就是要把單位分?jǐn)?shù)作為整體中的部分的觀念轉(zhuǎn)換到把單位分?jǐn)?shù)作為和整體具有倍數(shù)關(guān)系的一個(gè)量[23]．因此，學(xué)生在部分分?jǐn)?shù)圖式階段，可能還有整體大于部分的觀念．而在迭代分?jǐn)?shù)圖式中，學(xué)生能夠超越整體的限制，把單位分?jǐn)?shù)和真分?jǐn)?shù)都看成是一個(gè)可以迭代的量，構(gòu)建了所有的非單位分?jǐn)?shù)（包括真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù)）和單位分?jǐn)?shù)之間的倍數(shù)關(guān)系．這種關(guān)系建立之后，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)與整數(shù)的乘法，同分母分?jǐn)?shù)的加減法將會(huì)有概念性的理解．

圖3 “部分分?jǐn)?shù)圖式”情境圖

圖4 “迭代分?jǐn)?shù)圖式”情境圖

3.3 可逆分?jǐn)?shù)圖式

可逆分?jǐn)?shù)圖式（Reversible Fraction Scheme），是指從任何未被均分的非單位分?jǐn)?shù)（可能是真分?jǐn)?shù)，也可能是假分?jǐn)?shù)）中產(chǎn)生整體，先通過(guò)均分操作得到一個(gè)單位分?jǐn)?shù)，然后通過(guò)迭代單位分?jǐn)?shù)得到整體[24]．

活動(dòng)解讀：（情境等參考圖5）因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)具有了部分分?jǐn)?shù)圖式和迭代分?jǐn)?shù)圖式，因此，在這個(gè)階段就是要利用非單位分?jǐn)?shù)與單位分?jǐn)?shù)之間的倍數(shù)關(guān)系對(duì)非單位分?jǐn)?shù)進(jìn)行逆向操作，也就是分裂操作[25]（能夠同時(shí)預(yù)期一個(gè)分?jǐn)?shù)的均分和迭代的雙向關(guān)系，也就是既能理解一個(gè)量是由整體均分成份得到，也理解這個(gè)量迭代次可以產(chǎn)生整體，因此整體是這個(gè)量的倍），獲得單位分?jǐn)?shù)，然后再將單位分?jǐn)?shù)迭代，得到整體，見(jiàn)圖5活動(dòng)部分．具體操作過(guò)程是首先將已知的3/7分裂后，獲得1/7，然后將1/7迭代7次得到7/7，也就是完整的彩帶．

沒(méi)有構(gòu)建可逆分?jǐn)?shù)圖式的學(xué)生往往只注意到分母表示單位分?jǐn)?shù)和整體之間的均分關(guān)系，而忽略了非單位分?jǐn)?shù)與單位分?jǐn)?shù)的倍數(shù)關(guān)系．因此，對(duì)于任何分?jǐn)?shù)，一上來(lái)就直接分成份．而發(fā)展了迭代分?jǐn)?shù)圖式的學(xué)生較好的建立了非單位分?jǐn)?shù)和單位分?jǐn)?shù)的關(guān)系．在實(shí)際教學(xué)中，教師常常忽視概念的逆向理解，認(rèn)為學(xué)生能夠正向理解一個(gè)概念，就能夠反向應(yīng)用這個(gè)概念．實(shí)際上，這是兩個(gè)不同的操作（一個(gè)正向，一個(gè)逆向），都需要幫助學(xué)生建立．而在上述例子中，第一步的分裂操作不但需要學(xué)生充分理解迭代分?jǐn)?shù)圖式，能夠解釋/為個(gè)1/，同時(shí)，也能夠建立對(duì)迭代分?jǐn)?shù)圖式的逆向理解，也就是將/平均分成份可以得到單位分?jǐn)?shù)1/．可逆分?jǐn)?shù)圖式為解釋分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)問(wèn)題中的求單位1的問(wèn)題（比如一個(gè)數(shù)的3/5是3，求這個(gè)數(shù)；一件商品漲價(jià)20%后是90元，請(qǐng)問(wèn)該商品原價(jià)是多少元）提供了重要認(rèn)知基礎(chǔ)．

3.4 遞歸均分圖式

遞歸均分圖式（Recursive Partitioning Fraction Scheme），通過(guò)均分一個(gè)單位分?jǐn)?shù)（1/的1/），將會(huì)生成一個(gè)新的單位分?jǐn)?shù)[1/(×)]，也就是單位的單位（Unit-of-Unit）[26]．

活動(dòng)解讀：（情境等參考圖6）觀察學(xué)生遞歸均分操作，也就是把1/5份再進(jìn)行7等分，再取出等分后的一份（也就是1/5的1/7，1/5×1/7），迭代該部分7次后得到1/5，而整體中有5個(gè)1/5．因此，能夠預(yù)期迭代該部分35次等于整體．

相比于前面介紹的幾種分?jǐn)?shù)圖式，遞歸均分圖式對(duì)學(xué)生在概念認(rèn)知上的要求更高．學(xué)生需要能夠注意到不同單位分?jǐn)?shù)和對(duì)應(yīng)的整體之間的變換．比如1/5對(duì)應(yīng)的整體是整根彩帶，而1/7對(duì)應(yīng)的整體是1/5根彩帶，最后1/35對(duì)應(yīng)的整體又變回整根彩帶．這整個(gè)變換的過(guò)程需要借助學(xué)生對(duì)乘法推理的理解，也就是整體是由5個(gè)1/5組成，每一個(gè)1/5是由7個(gè)1/7組成，那么整體就是“35（5×7）”個(gè)“1/5的1/7”．遞歸均分圖式是分?jǐn)?shù)通分、化簡(jiǎn)，以及異分母分?jǐn)?shù)運(yùn)算，和小數(shù)理解的基礎(chǔ)．

圖5 “可逆分?jǐn)?shù)圖式”情境圖

圖6 “遞歸均分圖式”情境圖

3.5 單位分?jǐn)?shù)組合圖式

單位分?jǐn)?shù)組合圖式（Unit Fraction Composition Scheme）是對(duì)遞歸均分圖式的擴(kuò)展，指通過(guò)協(xié)調(diào)遞歸分?jǐn)?shù)圖式和可逆分?jǐn)?shù)圖式解決單位分?jǐn)?shù)和非單位分?jǐn)?shù)相乘的問(wèn)題．

活動(dòng)解讀：（情境等參考圖7）首先，利用可逆分?jǐn)?shù)圖式，學(xué)生能夠?qū)⒄娣謹(jǐn)?shù)3/7逆向分解為3個(gè)1/7．然后，利用已經(jīng)掌握的遞歸均分圖式，學(xué)生能夠計(jì)算1/5的1/7是1/35．最后，利用迭代分?jǐn)?shù)圖式，1/35的3倍是3/35．

從學(xué)生的活動(dòng)來(lái)看，單位分?jǐn)?shù)組合圖式需要學(xué)生將非單位分?jǐn)?shù)再次進(jìn)行均分的同時(shí)還要兼顧迭代的數(shù)量，而遞歸均分圖式（單位分?jǐn)?shù)的單位分?jǐn)?shù)）只需要將單位分?jǐn)?shù)進(jìn)行均分和取出，而不需要迭代．因此，單位分?jǐn)?shù)組合圖式對(duì)學(xué)生的操作水平要求更高，而且該圖式階段能夠促進(jìn)幫助學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的理解．

3.6 分配均分圖式

分配均分圖式（Distributive Partitioning Fraction Scheme），通過(guò)將給定數(shù)量的整體進(jìn)行均分得到單位分?jǐn)?shù)，重新組合后，得到一個(gè)非單位分?jǐn)?shù)，也就是將個(gè)物體平均分份，或者說(shuō)將每個(gè)1/分配（將一個(gè)單位的數(shù)分給另外一個(gè)單位）到中．該圖式是最高級(jí)均分活動(dòng)——分配均分（把每一個(gè)單位按照分配的數(shù)量進(jìn)行等分，取出等分后的單位分?jǐn)?shù)部分，然后把所有的單位分?jǐn)?shù)部分相加[26]）．

活動(dòng)解讀：（情境等參考圖8）觀察學(xué)生的分配均分操作．將每個(gè)彩帶4等分，然后將第一根彩帶中的1/4分給一個(gè)小朋友，對(duì)第二根第三根彩帶也如此操作，最后，每一個(gè)小朋友都得到了3個(gè)1/4根彩帶，也就是3/4根彩帶．

分配均分圖式可以被用于解釋整數(shù)或者分?jǐn)?shù)被整數(shù)等分除的運(yùn)算法則．例如解決3/4÷5，通常的操作是將除法變成乘法，也就是3/4×1/5，而學(xué)生很難理解為什么要顛倒相乘，而上述對(duì)分配均分圖式的演繹解釋了為什么除以5可以變成乘以1/5．所以，分配均分圖式賦予了分配意義下的分?jǐn)?shù)除法以合理解釋?zhuān)?/p>

圖7 “單位分?jǐn)?shù)組合圖式”情境圖

3.7 任意分?jǐn)?shù)組合圖式

任意分?jǐn)?shù)組合圖式（any Fraction Composition Scheme）是對(duì)前面分?jǐn)?shù)圖式的進(jìn)一步順應(yīng)，可以解決任意分?jǐn)?shù)乘除法的問(wèn)題．在這個(gè)圖式中，學(xué)生會(huì)靈活地使用迭代、分裂、遞歸均分、分配均分等操作來(lái)解決問(wèn)題．

活動(dòng)解讀：（情境等參考圖9）無(wú)論是上述哪種做法，都是建立在單位分?jǐn)?shù)組合圖式的基礎(chǔ)上，也就是需要先遞歸均分，然后再迭代，如圖9．可以先將自己的彩帶（2/5）進(jìn)行遞歸均分（2/5的1/7），得到2/35，然后將2/35迭代3次，即得到所求部分，也就是整體的6/35．

通過(guò)對(duì)基于“迭代—均分”操作的分?jǐn)?shù)圖式理論的每個(gè)階段的闡釋可知，小學(xué)生的分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展是循序漸進(jìn)的，新的圖式階段是對(duì)舊的圖式階段的擴(kuò)展及重組[19]．一方面，新的圖式可以被看作是對(duì)舊圖式的超越，能夠解決舊圖式?jīng)]有解決的問(wèn)題，或者更好地解決舊圖式已經(jīng)解決的問(wèn)題；另一方面，舊圖式的操作出現(xiàn)在新圖式中，卻是為不同的目的而服務(wù)．

圖8 “分配均分圖式”情境圖

圖9 “任意分?jǐn)?shù)組合圖式”情境圖

4 研究結(jié)論

基于“迭代—均分”操作的分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階模型是基于斯特芬、撒冷等學(xué)者質(zhì)的建構(gòu)主義教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究成果總結(jié)和概括的．通過(guò)對(duì)該理論的認(rèn)知基礎(chǔ)以及進(jìn)階階段的綜述和分析，可以得出以下結(jié)論．

4.1 度量是分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)意義

正如奧利弗所說(shuō)，基倫（Kieren）提出的分?jǐn)?shù)的部分—整體意義[27]是度量意義的一種特例，分?jǐn)?shù)的度量意義不只是從整體中取出部分，而是指對(duì)單位分?jǐn)?shù)的迭代[28]．撒冷認(rèn)為先學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)“部分—整體”意義妨礙了學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)本質(zhì)意義的理解[17]．因此，分?jǐn)?shù)的度量意義應(yīng)該被看作是對(duì)分?jǐn)?shù)的部分—整體意義的超越．分?jǐn)?shù)的本質(zhì)不是整體的一部分，而是一種乘法關(guān)系（單位分?jǐn)?shù)和整體，單位分?jǐn)?shù)和非單位分?jǐn)?shù)），而這正是分?jǐn)?shù)度量意義的本質(zhì)，也就是強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)是一個(gè)具有度量意義的、可以計(jì)數(shù)的數(shù)．而分?jǐn)?shù)的度量意義給分?jǐn)?shù)的概念和運(yùn)算的理解都提供了一個(gè)統(tǒng)一的概念框架．張皖等的研究表明：60%的六年級(jí)學(xué)生能較好地掌握度量意義，“部分—整體”意義不一定是教學(xué)的必須途徑，而度量意義掌握好的學(xué)生對(duì)其它意義的掌握水平也較高[29]．這也在某個(gè)程度上證明了從度量意義出發(fā)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)會(huì)促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)其它意義的理解．

4.2 學(xué)生的分?jǐn)?shù)圖式是對(duì)其整數(shù)計(jì)數(shù)圖式的順應(yīng)

雖然分?jǐn)?shù)圖式的產(chǎn)生解決了整數(shù)計(jì)數(shù)圖式?jīng)]有解決的問(wèn)題，但是分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展并沒(méi)有脫離整數(shù)計(jì)數(shù)圖式的發(fā)展，分?jǐn)?shù)圖式可以被認(rèn)為是對(duì)整數(shù)計(jì)數(shù)圖式的重組，即整數(shù)計(jì)數(shù)圖式中的操作方式出現(xiàn)在一個(gè)新的情境中[6]．整數(shù)計(jì)數(shù)圖式中的“復(fù)合單位”以及乘法推理中“雙軌協(xié)同計(jì)數(shù)”（double counting）[30]的概念對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)起著至關(guān)重要的作用．只不過(guò)在整數(shù)情境中，復(fù)合單位是大于1的整數(shù)，雙軌計(jì)數(shù)中的兩個(gè)序列一個(gè)是以“1”為單位的數(shù)，一個(gè)是復(fù)合單位，比如1（3）、2（6）、3（9）……而在分?jǐn)?shù)情境中，協(xié)同的一個(gè)以“1”為單位的數(shù)，一個(gè)是復(fù)合分?jǐn)?shù)，比如1（2/5）、2（4/5）、3（6/5）．因此，整數(shù)的學(xué)習(xí)并不會(huì)妨礙分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，而是在分?jǐn)?shù)情境里，激發(fā)了學(xué)生的整數(shù)計(jì)數(shù)圖式．甚至可以說(shuō)，學(xué)生整數(shù)計(jì)數(shù)圖式的發(fā)展，特別是雙軌計(jì)數(shù)圖式的發(fā)展對(duì)其分?jǐn)?shù)思維的發(fā)展起到了促進(jìn)的作用．

4.3 迭代和均分操作能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)度量意義的理解

首先，迭代操作不但能夠構(gòu)建單位分?jǐn)?shù)與整體之間的倍數(shù)關(guān)系，還能使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解超越“部分—整體”關(guān)系的限制．迭代操作在不同分?jǐn)?shù)圖式階段都有所體現(xiàn)，但是最基礎(chǔ)的基于迭代的分?jǐn)?shù)圖式分別是單位分?jǐn)?shù)圖式、部分分?jǐn)?shù)圖式和迭代分?jǐn)?shù)圖式．學(xué)生通過(guò)迭代部分產(chǎn)生與整體相等的新的整體，體會(huì)單位分?jǐn)?shù)和整體之間的倍數(shù)關(guān)系以及迭代次數(shù)與迭代部分大小之間的逆關(guān)系，從而構(gòu)建單位分?jǐn)?shù)圖式．然后，通過(guò)迭代單位分?jǐn)?shù)構(gòu)建真分?jǐn)?shù)圖式，盡管該階段學(xué)生能夠理解單位分?jǐn)?shù)與真分?jǐn)?shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，但是還有整體大于部分的觀念．當(dāng)學(xué)生迭代單位分?jǐn)?shù)或非單位分?jǐn)?shù)能夠超越整體的限制時(shí)，學(xué)生不僅能突破整體大于部分的思維定式，還能將部分看作是可迭代的量，從而深刻理解分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，即分?jǐn)?shù)的度量意義，也就是分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，可以計(jì)數(shù)和度量．

其次，均分操作是為小學(xué)生分?jǐn)?shù)圖式的深度發(fā)展而服務(wù)的．具體而言，均分操作包括平均均分（equi-partitioning）、遞歸均分、分配均分[18]．首先，平均均分操作是最基礎(chǔ)的均分操作，需要協(xié)調(diào)兩個(gè)水平的單位，即單位分?jǐn)?shù)和迭代單位分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的整體．其次是遞歸均分操作，需要協(xié)調(diào)3個(gè)水平的單位，即整體、單位分?jǐn)?shù)、均分單位分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的新的單位分?jǐn)?shù)．而分配均分操作是最高級(jí)的均分操作，在均分的同時(shí)還需要考慮分配的數(shù)量，因此也需要協(xié)調(diào)兩個(gè)三水平的單位．隨著分?jǐn)?shù)圖式水平的提升，學(xué)生在頭腦中的操作也越來(lái)越復(fù)雜，而基于迭代—均分操作的活動(dòng)教學(xué)能夠幫助學(xué)生構(gòu)建越來(lái)越成熟和穩(wěn)定的分?jǐn)?shù)圖式，為學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供認(rèn)知基礎(chǔ)．

5 建議

分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階理論對(duì)中國(guó)小學(xué)生分?jǐn)?shù)概念發(fā)展的研究、教材編寫(xiě)和教師的教學(xué)具有重要的理論價(jià)值和實(shí)踐指導(dǎo)意義．

5.1 小學(xué)生分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展軌跡有待進(jìn)一步探索和檢驗(yàn)

基于“迭代和均分”操作的分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階理論為中國(guó)中小學(xué)學(xué)生分?jǐn)?shù)發(fā)展提供了兩個(gè)新的研究方向．第一，分?jǐn)?shù)圖式理論主要是基于西方兒童的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)過(guò)程構(gòu)建的，中國(guó)兒童的分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)有無(wú)特別的路徑，也需要通過(guò)自下而上的建構(gòu)主義教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究來(lái)發(fā)展和構(gòu)建．另外，分?jǐn)?shù)除法的運(yùn)算也是中國(guó)小學(xué)教材中很重要的一部分，然而上述8個(gè)分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階涉及到分?jǐn)?shù)除法的內(nèi)容較少，尤其沒(méi)有包括“包含除”意義的分?jǐn)?shù)圖式（比如3/7是1/3的幾倍），盡管此類(lèi)內(nèi)容也可以通過(guò)迭代操作來(lái)解釋?zhuān)鞘欠穹蠈W(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，是否從屬于哪個(gè)具體的分?jǐn)?shù)圖式階段或者屬于新的未知的圖式階段，還需要進(jìn)一步探究和檢驗(yàn)．

第二，諾頓（Norton）將他們?cè)诿绹?guó)經(jīng)過(guò)信效度檢驗(yàn)的小學(xué)分?jǐn)?shù)概念進(jìn)階（前4個(gè)階段）測(cè)驗(yàn)翻譯后在中國(guó)進(jìn)行了一個(gè)班級(jí)的測(cè)試，量化結(jié)果證實(shí)了中國(guó)學(xué)生的分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階與美國(guó)學(xué)生類(lèi)似（單位分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展要優(yōu)先于部分分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展，部分分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展要優(yōu)先于可逆分?jǐn)?shù)圖式和迭代分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展，而可逆分?jǐn)?shù)圖式和迭代分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展順序沒(méi)有顯著差異），只是中國(guó)學(xué)生整體上比美國(guó)學(xué)生的概念發(fā)展提前了一個(gè)年級(jí)[31]．田然對(duì)諾頓等人的測(cè)試工具進(jìn)行了修訂，對(duì)中國(guó)東北地區(qū)近七百名四年級(jí)和六年級(jí)小學(xué)生開(kāi)展了測(cè)試．結(jié)果顯示，該地區(qū)小學(xué)生的分?jǐn)?shù)圖式的發(fā)展順序?yàn)閱挝环謹(jǐn)?shù)圖式、部分分?jǐn)?shù)圖式、迭代分?jǐn)?shù)圖式和可逆分?jǐn)?shù)圖式[32]．上述研究成果部分地證實(shí)了該分?jǐn)?shù)圖式理論的前4個(gè)階段的合理性，然而后4個(gè)圖式階段的有效性還有待大量的本土化研究來(lái)檢驗(yàn)和修訂．

5.2 分?jǐn)?shù)圖式理論可以作為教材編寫(xiě)和教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展的重要依據(jù)

新一輪的課程改革強(qiáng)調(diào)關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，基于“迭代和均分”操作的分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階模型則為新的中小學(xué)數(shù)學(xué)課程教材改革提供了理論基礎(chǔ)．斯特芬和奧利弗指出學(xué)校教學(xué)通常是傳遞“他人（包括研究者、教師等）的數(shù)學(xué)知識(shí)”，而非幫助學(xué)生建構(gòu)“學(xué)生自己的數(shù)學(xué)概念”[18]．圖式進(jìn)階模型是通過(guò)長(zhǎng)期地觀察和實(shí)驗(yàn)歸納出的學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展軌跡，也就是“學(xué)生的數(shù)學(xué)”．利用“學(xué)生的數(shù)學(xué)”編纂數(shù)學(xué)教材才能更好的幫助學(xué)生建立分?jǐn)?shù)的概念．比如，在現(xiàn)在的教材中，同分母和異分母分?jǐn)?shù)的加減法均安排在分?jǐn)?shù)的乘除法之前學(xué)習(xí)[33]．而在以迭代和均分操作為基礎(chǔ)的分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階模型中，同分母加減法，分?jǐn)?shù)與整數(shù)相乘的運(yùn)算都屬于迭代分?jǐn)?shù)圖式．異分母分?jǐn)?shù)加減法，與分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)則是基于遞歸均分的，在認(rèn)知水平上遠(yuǎn)高于迭代分?jǐn)?shù)圖式．因此，基于這樣的認(rèn)知發(fā)展順序，教材應(yīng)該調(diào)整相應(yīng)的分?jǐn)?shù)運(yùn)算的順序以順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程．

此外，基于迭代和均分操作的分?jǐn)?shù)圖式對(duì)教師專(zhuān)業(yè)發(fā)展也十分重要．當(dāng)教師建立了基于迭代和均分操作的分?jǐn)?shù)概念，他們就有了一個(gè)了解學(xué)生的工具，也就是通過(guò)觀察學(xué)生的操作來(lái)分析學(xué)生的分?jǐn)?shù)概念發(fā)展水平，而不僅僅依賴(lài)學(xué)生是否正確地進(jìn)行了分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算．教學(xué)的目的也不僅僅是讓學(xué)生能正確使用一系列運(yùn)算法則，而是能夠啟發(fā)學(xué)生來(lái)探究和理解這些運(yùn)算背后的原理，從而真正培養(yǎng)他們的運(yùn)算能力和推理能力．而基于該理論開(kāi)展的分?jǐn)?shù)教學(xué)的可行性及其效果，正在被研究所證實(shí)[34-39]．

致謝：非常感謝科羅拉多大學(xué)的Amber Garden、Bingqian Wei、Cody Harrington、Nicola Hodkowski、Ron Tzur允許我們使用和翻譯他們畫(huà)的非常簡(jiǎn)潔和漂亮的分?jǐn)?shù)圖式的認(rèn)知操作圖形！

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The Cognitive Root and Trajectory of Measuring the Meaning of Fraction: The Conceptual Progression of Fractional Schemes

DING Rui1, WEI Bing-qian2, Ron Tzur2, TIAN Ran3, SUN Wen-juan1

(1. Faculty of Education, Northeast Normal University, Jilin Changchun 130024, China; 2. School of Education and Human Development, University of Colorado, Denver 80031, USA; 3. Hongshanjun Primary School, Neimenggu Chifeng 024000, China)

Through longitudinal and constructivism-based qualitative teaching experiments, Steffe, Tzur, and other researchers explored western children’s learning trajectories of measurement of fractions and proposed the Conceptual Progression of Fractional Schemes, which is the cognitive root of children’s development in the meaning of fraction. The theory of “reflection on the activity-effect relationship” proposed by Tzur could explain the construct and transformation of schemes, and iterating and partitioning are two types of cognitive operations underlying the construction of fractional schemes. The Conceptual Progression Model of Fraction Schemes includes 8 levels; the first 4 levels are based on iterating and the last 4 schemes on partitioning. We argue that a fraction is not “part of whole” but rather a multiplicative relation with a meaning of measurement. Students’ fractional reasoning is a reorganization of their whole number reasoning; the operation of iterating and partitioning could improve students’ understanding of fractions as multiplicative relations.

fraction; fractional schemes; iterating operation; partitioning operations; measurement

G426

A

1004–9894（2021）03–0064–09

丁銳，衛(wèi)冰倩，Ron Tzur，等．分?jǐn)?shù)度量意義發(fā)展的認(rèn)知根基及軌跡：分?jǐn)?shù)圖式進(jìn)階理論[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2021，30（3）：64-72．

2021–02–07

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究規(guī)劃基金2019年度一般項(xiàng)目——小學(xué)生數(shù)學(xué)核心概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的構(gòu)建與診斷（19YJA880007）；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)項(xiàng)目——小學(xué)生有理數(shù)概念學(xué)習(xí)進(jìn)階的構(gòu)建與檢驗(yàn)（2412018JC014）

丁銳（1978—），女，遼寧本溪人，副教授，博士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)教育、教師教育研究．

[責(zé)任編校：周學(xué)智、陳漢君]