由一道競(jìng)賽題看直角坐標(biāo)與自然坐標(biāo)的選取技巧

李洪全 李 燕

(1. 成都樹(shù)德中學(xué)，四川 成都 610000； 2. 雅安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 雅安 625000)

圖1

例題.一質(zhì)量為m的物體放在斜面上，斜面的傾角為α，如圖1所示，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ恰好滿足μ=tanα，今使物體獲得一水平速度v0而滑動(dòng)．

1 解法1：建立直角坐標(biāo)系求解

圖2

物體所受力有重力G，彈力N以及摩擦力f．重力分解為沿平行于斜面與垂直于斜面的分量G1和G2，G1=mgsinα，G2=mgcosα．垂直于斜面方向物體平衡，有G2+N=0，即N=mgcosα．

f=μN(yùn)=μmgcosα=mgtanαcosα=mgsinα.

在Oxy坐標(biāo)系中，列動(dòng)力學(xué)微分方程如下.

x方向：

(1)

y方向：

(2)

(3)

(4)

因?yàn)関x=vcosφ，vy=vsinφ，故由(3)、(4)式得

-gsinαcosφ·dt=d(vcosφ).

(5)

gsinα(1-sinφ)·dt=d(vsinφ).

(6)

(5)式除以(6)式得

(7)

由(7)式得

vcos2φdφ+sinφcosφdv=

vsinφ(1-sinφ)dφ+cosφ(sinφ-1)dv.

2 解法2： 建立自然坐標(biāo)系求解

自然坐標(biāo)系表示法：在已知的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡上，選定任意一點(diǎn)為原點(diǎn)O，用由原點(diǎn)至質(zhì)點(diǎn)位置的弧長(zhǎng)作為質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，一般取沿曲線切線且指向自然坐標(biāo)增加的方向?yàn)榍邢騿挝皇噶喀?；另取沿曲線法線且指向曲線的凹側(cè)為法向單位矢量n，如圖3所示．把這種順著已知的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡建立的坐標(biāo)系稱為自然坐標(biāo)系．

圖3

(8)

法向方向：

(9)

(9)式中ρ表示曲線在該點(diǎn)的曲率半徑．

(10)

由式(8)-(10)得

(11)

由(11)式寫出積分

(12)

積分可得

(13)

點(diǎn)評(píng)：解法2中使用自然坐標(biāo)，在法向和切向兩個(gè)參考方向列動(dòng)力學(xué)微分方程，但求解時(shí)需要細(xì)致寫出曲率半徑的微元表達(dá)式，要注意幾何關(guān)系，相比解法1運(yùn)算量有所下降．

圖5

3 解法3：自然坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系聯(lián)合使用求解

y方向：

gsinα(sinφ-1)dt=dv，

gsinα(1-sinφ)dt=dvy.

d(v+vy)=0.

(14)

對(duì)式(14)積分得v+vy=v0，因?yàn)関y=vsinφ，故有v+vsinφ=v0.

點(diǎn)評(píng)：解法3，直角坐標(biāo)和自然坐標(biāo)聯(lián)合使用，在切向與沿斜面向下這兩個(gè)方向列動(dòng)力學(xué)微分方程，相比解法1和解法2，運(yùn)算量減小，解答過(guò)程最為簡(jiǎn)便．