平動(dòng)非慣性質(zhì)心參考系動(dòng)力學(xué)規(guī)律的應(yīng)用

劉傳躍

(鄒平市第一中學(xué),山東 濱州 256200)

1 平動(dòng)非慣性質(zhì)心參考系的動(dòng)力學(xué)規(guī)律

如圖1所示,建立固連于地面的靜止慣性參考系S,以質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的質(zhì)心為原點(diǎn)建立質(zhì)心參考系S′.當(dāng)質(zhì)心參考系S′具有平動(dòng)加速度aC時(shí),則該系稱為平動(dòng)非慣性質(zhì)心參考系.

圖1 平心非慣性質(zhì)心參考系

下面討論在平動(dòng)非慣性質(zhì)心參考系中的動(dòng)力

學(xué)規(guī)律.

1.1 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)方程

對(duì)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn),設(shè)其質(zhì)量為mi,則該質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心參考系中的動(dòng)力學(xué)方程為

(1)

1.2 平動(dòng)慣性力對(duì)質(zhì)心的力矩和作用點(diǎn)

第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的平動(dòng)慣性力為fi=-miaC,其中aC為系統(tǒng)質(zhì)心的加速度.由此可知,每個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的平動(dòng)慣性力的大小與其質(zhì)量成正比,方向均與質(zhì)心參考系的加速度aC反向.在質(zhì)心參考系中各質(zhì)點(diǎn)所受平動(dòng)慣性力對(duì)以質(zhì)心為參考點(diǎn)的力矩矢量和為

MC′=∑(ri′×fi)=-∑(miri′)×aC=0,

即有

MC′=0.

(2)

該式說(shuō)明,在平動(dòng)非慣性質(zhì)心參考系中各質(zhì)點(diǎn)受到平動(dòng)慣性力的合力矩為0.平動(dòng)慣性力的合力f=-∑miaC不為0,其作用點(diǎn)為質(zhì)心,但并不意味著各質(zhì)點(diǎn)受到的慣性力矩不做功.

1.3 質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能定理

在慣性參考系中對(duì)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)考慮柯尼希定理,由動(dòng)能定理,得

∑Fi外·dri+∑Fi內(nèi)·dri=

(3)

dri=drC+dri′,

(4)

式中dri′為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)心參考系中的位移,將(4)式代入(3)式,得

∑Fi外·drC+∑Fi內(nèi)·drC+∑Fi外·dri′+

∑Fi內(nèi)·dri′=

(5)

利用該式消去(5)式左側(cè)第一項(xiàng)和右側(cè)第一項(xiàng).若系統(tǒng)內(nèi)任意一對(duì)內(nèi)力作用點(diǎn)的相對(duì)位移為0,則會(huì)使該對(duì)內(nèi)力所做總功為0.因(5)式中左側(cè)第二項(xiàng)為系統(tǒng)內(nèi)力對(duì)質(zhì)心做功的代數(shù)和,故在任意參考系中該值為零.則(5)式最終為

∑Fi外·dri′+∑Fi內(nèi)·dri′=

即有

∑Ai外′+∑Ai內(nèi)′=∑ΔEk′.

該式說(shuō)明,在質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)總動(dòng)能的增量,等于所有外力對(duì)各質(zhì)點(diǎn)所做的功與所有內(nèi)力對(duì)各質(zhì)點(diǎn)所做的功之和.這就是質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的動(dòng)能定理.該式與慣性系中的系統(tǒng)的動(dòng)能定理在形式上保持一致.

1.4 質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的角動(dòng)量定理

在慣性參考系中,系統(tǒng)相對(duì)于固定參考點(diǎn)O的角動(dòng)量為

(6)

第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的關(guān)系有

(7)

將(7)式代入(6)式,得

(8)

將(8)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo),得

mrC×aC.

(9)

系統(tǒng)中各質(zhì)點(diǎn)受到的外力相對(duì)參考點(diǎn)O的力矩

∑Mi外=∑ri×Fi外=∑ri′×Fi外+

∑rC×Fi外=∑ri′×Fi外+mrC×aC.

(10)

由慣性參考系中的系統(tǒng)角動(dòng)量定理

(11)

聯(lián)立(9)-(11)式,得

即有

(12)

該式表明,質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量的變化率,等于所有外力對(duì)質(zhì)心的合力矩.這就是質(zhì)心參考系中質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理.盡管質(zhì)心參考系不一定是慣性系,此式在形式上卻與慣性系中的角動(dòng)量定理形式一樣.

2 平動(dòng)非慣性質(zhì)心參考系的應(yīng)用

圖2 初始狀態(tài)

圖3 第1次相碰前瞬間

以上兩式涉及4個(gè)未知量,故求解需要尋找其他關(guān)系.又輕繩對(duì)兩小球做功W和沖量I在靜止參考系中不易求出,可考慮在平動(dòng)非慣性質(zhì)心參考系中討論問(wèn)題.

圖4 過(guò)程中的某個(gè)狀態(tài)

解答:以系統(tǒng)質(zhì)心C為原點(diǎn)建立平動(dòng)非慣性質(zhì)心參考系,如圖4所示.設(shè)在過(guò)程中的某個(gè)狀態(tài),輕繩與豎直方向夾角為φ,在質(zhì)心參考系中質(zhì)心始終處于兩小球連線中點(diǎn),由于質(zhì)心參考系為零動(dòng)量參考系,故圖4中兩小球的速度等大反向.

以輕繩中點(diǎn)O′為研究對(duì)象,因其質(zhì)量為0故所受合力為0,有2Tsinφ=F,小球到質(zhì)心距離h=Lcosφ,取微分有dh=-Lsinφdφ,輕繩對(duì)兩小球的元功dW=2Tcosφdh,聯(lián)立以上各式得dW=-FLcosφdφ,對(duì)整個(gè)過(guò)程積分有

得輕繩對(duì)兩個(gè)小球做的總功為W=FLsinφ.

在質(zhì)心參考系中,對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理,得

(1)

則有

(2)

圖5 小球繞輕繩中點(diǎn)O′轉(zhuǎn)動(dòng)

第1次相碰時(shí)φ=π/2,則有

(3)

如圖5所示,小球繞輕繩中點(diǎn)O′逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),設(shè)夾角為φ時(shí)小球速度為v′,在質(zhì)心參考系中由速度合成定理,得

v′sinφ=v⊥，

(4)

在dt時(shí)間內(nèi)小球繞輕繩中點(diǎn)O′轉(zhuǎn)過(guò)角度dφ,則有

v′dt=Ldφ，

(5)

聯(lián)立(2)、(4)、(5)式,得

對(duì)整個(gè)過(guò)程積分,得

(6)

在靜止參考系中,對(duì)系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)量定理,則有

Ft=2mv∥.

(7)

聯(lián)立(6)、(7)式,得

(8)

點(diǎn)評(píng):解題的關(guān)鍵是在平動(dòng)非慣性質(zhì)心參考系中的討論,一方面解決了輕繩對(duì)小球拉力做功的問(wèn)題,另一方面將小球和輕繩中點(diǎn)O′之間的部分視為剛體,構(gòu)建小球繞中點(diǎn)O′的轉(zhuǎn)動(dòng)模型,得出繞行過(guò)程的微分方程,通過(guò)積分得到整個(gè)過(guò)程的時(shí)間,為應(yīng)用動(dòng)量定理提供了條件.

圖6 初始狀態(tài)

例2.如圖6所示,在光滑水平面上放置質(zhì)量分別為m1=2m、m2=m的小球A和B,以及直徑為L(zhǎng)、質(zhì)量為m3=3m的平放著的勻質(zhì)圓盤(pán),兩個(gè)小球和圓盤(pán)邊緣部位用長(zhǎng)為2L的兩根平行輕桿固連在一起,組成一個(gè)剛體系統(tǒng).開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)靜止,在圓盤(pán)中心O′處施加一個(gè)與輕桿平行的水平恒力F,不計(jì)一切摩擦.

(1) 說(shuō)明此剛體系統(tǒng)將會(huì)發(fā)生擺動(dòng),并求擺動(dòng)的最大夾角φ0；

(2) 若考慮φ0較小的情況,試求剛體系統(tǒng)的擺動(dòng)周期T0.

分析:題目描述的是質(zhì)量分布不均勻的剛體系統(tǒng),外力F的作用線并不通過(guò)系統(tǒng)質(zhì)心,若選擇在靜止參考系中完全分析剛體的運(yùn)動(dòng)較為困難,不過(guò)考慮到剛體系統(tǒng)的質(zhì)心在水平恒力作用下做勻變速直線運(yùn)動(dòng),選擇非慣性質(zhì)心參考系討論該問(wèn)題不失為一種思路.

解答: (1) 以A和B兩球連線中點(diǎn)為原點(diǎn),x軸正方向通過(guò)圓盤(pán)中心水平向右,建立坐標(biāo)系.設(shè)剛體系統(tǒng)質(zhì)心C的位置如圖7所示.由質(zhì)心定義,得系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為

圖7 質(zhì)心位置

(1)

(2)

在靜止參考系中,對(duì)剛體系統(tǒng)應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理,得

(3)

即系統(tǒng)質(zhì)心C沿著水平向右的方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng),且始終位于CM直線上.

圖8 圓盤(pán)中心O′繞質(zhì)心C擺動(dòng)

以質(zhì)心C為坐標(biāo)原點(diǎn),x′坐標(biāo)軸與x坐標(biāo)軸平行,建立隨系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的非慣性質(zhì)心參考系.設(shè)O′C與x′軸的夾角為φ0,以順時(shí)針為夾角正方向.如圖8所示.

在質(zhì)心參考系中,外力F作用于圓盤(pán)中心O′,相對(duì)質(zhì)心C產(chǎn)生力矩,對(duì)剛體系統(tǒng)應(yīng)用角動(dòng)量定理可知,初始時(shí)F的力矩為逆時(shí)針,使系統(tǒng)繞質(zhì)心C逆時(shí)針加速轉(zhuǎn)動(dòng),夾角φ0減小,角速度逆時(shí)針增加,當(dāng)夾角φ0減為0時(shí),由于角速度不為0圓盤(pán)中心將越過(guò)x′坐標(biāo)軸,之后F的力矩變?yōu)轫槙r(shí)針,使系統(tǒng)逆時(shí)針減速轉(zhuǎn)動(dòng)直至角速度為0.對(duì)剛體系統(tǒng)應(yīng)用動(dòng)能定理,可知在該過(guò)程中外力F先做正功后做負(fù)功,其值等大異號(hào),故此時(shí)O′C與x′軸的夾角大小仍為φ0.與以上過(guò)程類似,之后系統(tǒng)順時(shí)針先加速轉(zhuǎn)動(dòng)再減速轉(zhuǎn)動(dòng),直至角速度為0回到圖8狀態(tài).之后再重復(fù)上述過(guò)程.

綜上所述,系統(tǒng)將發(fā)生擺動(dòng),擺動(dòng)的最大夾角為

(2) 在質(zhì)心參考系中,設(shè)擺動(dòng)過(guò)程中任意夾角φ,對(duì)剛體系統(tǒng)應(yīng)用角動(dòng)量定理,得

(4)

式中IC為剛體對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

如圖7所示,質(zhì)心C到上方輕桿、下方輕桿和直線OO′的距離為

(5)

由幾何關(guān)系,得質(zhì)心C到小球A、B和圓盤(pán)中心O′的距離為

(6)

由轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定義和平行軸定理,聯(lián)立(6)式,得

(7)

考慮到最大夾角φ0為小角度,故剛體系統(tǒng)的擺動(dòng)可視為繞質(zhì)心C的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),聯(lián)立(4)、(7)式,得簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程

(8)

式中圓頻率

擺動(dòng)周期

點(diǎn)評(píng):靜止參考系中剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng),在非慣性質(zhì)心參考系中看來(lái)卻如此簡(jiǎn)單,正是質(zhì)心參考系中質(zhì)心靜止不動(dòng)這一獨(dú)特性質(zhì)的反映.在應(yīng)用角動(dòng)量定理、動(dòng)能定理等動(dòng)力學(xué)規(guī)律時(shí)不需要考慮慣性力的影響也源于此.