基于幾何視角的線性代數(shù)教學(xué)改革與實踐

李泓霖

(重慶師范大學(xué)物理與電子工程學(xué)院 重慶 401331)

線性代數(shù)與高等數(shù)學(xué)最大的區(qū)別在于，線性代數(shù)突顯操作性和實用性。是一類表征數(shù)據(jù)的基本工具，可對數(shù)據(jù)進(jìn)行特定的變換，以便研究人員清晰直觀地把握數(shù)據(jù)的關(guān)鍵特征和不同維度的信息。隨著大數(shù)據(jù)、人工智能、深度學(xué)習(xí)的日益發(fā)展，線性代數(shù)的重要性愈加明顯，其是深入探索這類高階知識強有力的工具，因此，線性代數(shù)的核心地位不言而喻。然而，需要說明的是，相當(dāng)一部分同學(xué)在完成線性代數(shù)課堂的學(xué)習(xí)后，并沒有深刻的體會和深入的理解，留下的知識大多是具體的一些計算方法和技巧，如行列式的計算、逆矩陣的定義、矩陣秩的求法等。宏觀地看，這是整個線性代數(shù)課程體系的共通問題：課堂講授偏重定義定理和運算技巧，缺乏對學(xué)科內(nèi)涵及內(nèi)在邏輯脈絡(luò)的深刻理解，更不能進(jìn)一步挖掘線性代數(shù)與當(dāng)下各前沿技術(shù)的交叉問題[1]。大部分同學(xué)雖然考試成績優(yōu)秀，但一遇到具體問題則心有余而力不足。

明確了不足之處，我們當(dāng)下的任務(wù)則是針對傳統(tǒng)授課的薄弱環(huán)節(jié)進(jìn)行集中突破，合理設(shè)計一條明確、有針對性的學(xué)習(xí)路徑。首要工作是圍繞行列式、矩陣、線性方程組、線性空間這些線性代數(shù)的主要問題，環(huán)環(huán)相扣地展開線性代數(shù)核心知識教學(xué)，幫助學(xué)生深刻理解如何用矩陣表示數(shù)據(jù)、處理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，最后串聯(lián)起整個學(xué)科的主干內(nèi)容，從而達(dá)到授課目標(biāo)。針對上述線性代數(shù)課程的特點，我們從多方面進(jìn)行了初步探索，發(fā)現(xiàn)從幾何視角解釋相關(guān)知識點可使學(xué)生又好又快地理解線性代數(shù)的重要概念，并達(dá)到預(yù)期的教學(xué)目的。

一、線性代數(shù)教學(xué)現(xiàn)狀

（一）教學(xué)模式落后

如何高質(zhì)高效地完成線性代數(shù)課程的講授這一問題一直困擾著廣大教師。目前普遍采取的方式還是傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式，即遵循定義/定理—性質(zhì)—例題—作業(yè)的順序?qū)嵤┙虒W(xué)任務(wù)，以考試成績衡量教學(xué)效果已成定勢。為了保證知識體系的嚴(yán)謹(jǐn)性，授課過程中不得不加入大量的推導(dǎo)和證明，學(xué)生參與度低、內(nèi)容抽象難懂。我院的線性代數(shù)課程安排在大一上學(xué)期，和高等數(shù)學(xué)同時進(jìn)行。此時學(xué)生不僅要適應(yīng)高數(shù)的教學(xué)節(jié)奏，還要逐漸培養(yǎng)適合線性代數(shù)的學(xué)習(xí)策略。這些使大一學(xué)生容易產(chǎn)生畏學(xué)厭學(xué)情緒，影響學(xué)習(xí)效果[2]。對于我院電子專業(yè)本科生而言，基于應(yīng)用型人才的培育目標(biāo)，應(yīng)適當(dāng)省略晦澀難懂的理論推導(dǎo)，以掌握線性代數(shù)基本方法為要求、以解決問題為關(guān)鍵、以科學(xué)高效地使用相關(guān)知識為目標(biāo)。

（二）理論與實際應(yīng)用聯(lián)系不強

目前，大多數(shù)高等院校使用同濟(jì)版的《線性代數(shù)》（第六版）?？傮w來看，該教材理論性較強，側(cè)重于知識本身，與實際應(yīng)用聯(lián)系較少，對工科類學(xué)生難度偏大，學(xué)生不能感性地理解線性代數(shù)的真正應(yīng)用價值。這種情況普遍存在于我院電子專業(yè)學(xué)生的必修課中，比如概率論與數(shù)理統(tǒng)計、半導(dǎo)體物理、傳感器與傳感器原理等[3]。教學(xué)中很多時候不可避免地脫離實際情景去講述重點難點，這樣教學(xué)模式就顯得單一，內(nèi)容難免枯燥難懂。只是照本宣科，忽視理論之上的實際應(yīng)用，為了應(yīng)付考試而被動接受，無法激發(fā)學(xué)生的主觀能動性。

（三）課程設(shè)置不合理，知識體系抽象難懂

隨著近年來兄弟院校人才培養(yǎng)方案的不斷更新與調(diào)整，調(diào)研發(fā)現(xiàn)各大高校的線性代數(shù)教學(xué)安排普遍為32學(xué)時，考慮到實際情況，我們學(xué)院增加到了48學(xué)時，但實際教學(xué)過程中仍感到學(xué)時略顯不足。為了盡可能高質(zhì)高效地完成教學(xué)目標(biāo)，僅完成知識點本身的講解和分析后剩余的課時就已捉襟見肘。因此，教學(xué)中關(guān)于線性代數(shù)的很多重要思維模式、認(rèn)知方法的講授就突顯不足，這對學(xué)生創(chuàng)新思想的發(fā)展、創(chuàng)新能力的培育及應(yīng)用技能的掌握十分不利[4]。此外，目前流行的線性代數(shù)教材第1章均從逆序數(shù)引出行列式的定義，這種方式的知識編排常讓大一新生感到困惑和迷茫。而后又有大量課時被分配在行列式的性質(zhì)和計算方面，實際情況是高階行列式的計算是無須手工完成的。橫向?qū)Ρ葋砜矗鱾ァ·雷的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》一書中將線性方程組放在第一位，而后是矩陣、行列式等。這種知識的編排方式可以使學(xué)生自然而然地理解和接受矩陣這個新概念。

二、教學(xué)改革實踐與改進(jìn)措施

（一）改進(jìn)教學(xué)模式，整合優(yōu)質(zhì)教育資源

受新冠疫情影響，2020年以來，全國高等院校迅速開啟了線上教學(xué)模式。教師和學(xué)生應(yīng)充分利用公開課、MOOC、學(xué)習(xí)通等優(yōu)質(zhì)資源完成對課堂教學(xué)的補充和完善。這些豐富的教學(xué)資源拓展了學(xué)生學(xué)習(xí)的途徑與方法，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行必要的指導(dǎo)和推薦，選取優(yōu)質(zhì)的線性代數(shù)教學(xué)課程進(jìn)行共享學(xué)習(xí)。值得注意的是，這個環(huán)節(jié)需要加強學(xué)生對線性代數(shù)知識的理解并為后續(xù)綜合應(yīng)用打好基礎(chǔ)。從程序本身講，線性代數(shù)中的絕大部分知識點都可用MATLAB來進(jìn)行實踐，我們需要做的是適當(dāng)合理地引導(dǎo)學(xué)生，使其熟練掌握這些可以由程序完成的具體操作。通過前期協(xié)調(diào)，我們將MATLAB也安排在了大一上學(xué)期，這樣兩門課程的互聯(lián)互通可以快速提高學(xué)生運用知識的能力。線性代數(shù)的教學(xué)重點不應(yīng)僅放在學(xué)生的手動計算能力上，對知識的深入理解和融會貫通是另一個重要的學(xué)科素養(yǎng)。

（二）提高線性代數(shù)功能屬性，明確其重要性

如果不能及時明確線性代數(shù)與相關(guān)專業(yè)的密切聯(lián)系，學(xué)生將無法直接體會其在培養(yǎng)計劃里的重要地位，會影響學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)的積極性。對于我院電子專業(yè)工科學(xué)生來講，如果只注重抽象的理論知識，學(xué)生就會覺得線性代數(shù)與生產(chǎn)應(yīng)用的聯(lián)系不大，從而失去探索欲。在教學(xué)過程中，理論教學(xué)必須與實際應(yīng)用相結(jié)合，用新視角、新方法、新模式激發(fā)學(xué)生的好奇心，提升學(xué)生的主觀能動性[5]。這就要求教師需認(rèn)真思考如何將線性代數(shù)的理論知識恰當(dāng)?shù)嘏c相關(guān)專業(yè)問題結(jié)合，使學(xué)生真正認(rèn)識到線性代數(shù)確實對專業(yè)學(xué)習(xí)有至關(guān)重要的作用。為達(dá)到上述目標(biāo)，需調(diào)整傳統(tǒng)單一的授課模式，順應(yīng)高校教學(xué)發(fā)展，將專業(yè)軟件、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析等融入日常教學(xué)，充分利用好工科專業(yè)的實訓(xùn)環(huán)境與硬件資源，培養(yǎng)學(xué)生實際操作分析能力。我院近年來不斷加強線性代數(shù)與python、MATLAB、科學(xué)計算等課程的整合聯(lián)結(jié)，讓學(xué)生真實體會到了線性代數(shù)的價值與魅力。

（三）增加自主實踐環(huán)節(jié)

線性代數(shù)涉及的計算普遍較為復(fù)雜，一些計算量大的題目會增加學(xué)生的厭學(xué)情緒。如果將線性代數(shù)知識點與軟件結(jié)合起來，則可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。根據(jù)實際教學(xué)經(jīng)驗，可加入課程實踐考查環(huán)節(jié)，占總成績的10%。課程實踐采用課后作業(yè)形式自由發(fā)揮，遴選具有一定抽象性與發(fā)散性的知識點，結(jié)合實際背景，讓學(xué)生充分討論、分析，查閱文獻(xiàn)等相關(guān)資料，并以電子文檔形式給出解決方案。結(jié)合MATLAB等軟件進(jìn)行線性代數(shù)的學(xué)習(xí)。這類軟件以矩陣為存儲單位，簡單易學(xué)、容易理解。例如，MATLAB中det(A)為計算行列式的命令，inv(A)為求逆矩陣的命令。從教學(xué)效果看，這類自主實踐環(huán)節(jié)受到了學(xué)生的好評，課后反饋良好。

三、基于幾何視角實踐教學(xué)探索

在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中，許多知識點有明顯的幾何意義，如果利用幾何知識加以闡述，學(xué)生接受起來將容易得多。例如，二階行列式就是以行向量為邊的平行四邊形的面積，而三階行列式則可看成三個行向量組成的平行六面體的體積。諸如此類的應(yīng)用案例還有很多可供借鑒。要對線性代數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué)改革，理論聯(lián)系實際則成了不可或缺的環(huán)節(jié)。最好的方式是讓學(xué)生自己動手，依托所學(xué)知識進(jìn)行相關(guān)的具體研究與操作。

以第二章矩陣及其運算章節(jié)為例，矩陣與數(shù)的乘法是將數(shù)乘矩陣A中的每一個元素。我們在解釋矩陣與數(shù)的乘法這一知識點時，讓學(xué)生做出一個矩陣圖形，然后對其進(jìn)行數(shù)乘操作，可以非常直觀地理解為什么需要將數(shù)乘以矩陣A中的每一個元素。圖1為學(xué)生實際作出的矩陣圖形，從中可看出圖像的不同面高低極值等特征。如果對其進(jìn)行數(shù)乘運算，則圖形整體將發(fā)生變化，這能使學(xué)生直觀地看出為什么矩陣的數(shù)乘運算要對矩陣中的每一個元素進(jìn)行操作，明白其中的關(guān)聯(lián)[6]。同時可加深學(xué)生對作圖細(xì)節(jié)等技能的理解和掌握，為后續(xù)深入學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。根據(jù)我們的觀察分析，加入這種從幾何視角切入實踐的環(huán)節(jié)能明顯提高學(xué)生的主動性和積極性，激發(fā)他們的創(chuàng)新思維和鉆研精神，改善線性代數(shù)的教學(xué)效果，讓學(xué)生更深入地理解線性代數(shù)的關(guān)鍵知識點。

圖1 利用MATLAB從幾何視角觀察矩陣圖形（學(xué)生作業(yè)）

四、結(jié)束語

線性代數(shù)是建立在計算機、信息學(xué)、圖形學(xué)等多種學(xué)科交叉基礎(chǔ)上形成和發(fā)展起來的以應(yīng)用為主的學(xué)科。本文簡要分析了線性代數(shù)的教學(xué)現(xiàn)狀，從學(xué)生角度進(jìn)行了教學(xué)改革的初探，取得了一定的效果。線性代數(shù)是一門緊跟時代發(fā)展的課程，各種知識技能的合理交叉綜合使用能達(dá)到事半功倍的效果。只有堅持思考和不斷探索，持續(xù)關(guān)注教育新理念，才能為社會培養(yǎng)出更多優(yōu)秀的人才。