一類多重循環(huán)群超可解性的判定

雒曉良

（太原師范學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 晉中030619）

本文采用標(biāo)準(zhǔn)的術(shù)語和符號(hào)，例如按照文獻(xiàn)［1，2］.

設(shè)A=〈a1〉⊕〈a2〉⊕…⊕〈an〉是秩為n（n≥2）的自由Abel群，A的自同構(gòu)群Aut（A）=GL （n，?）.對(duì)整數(shù)m，取α∈Aut（A）使得

取Λm（n）=A〈α〉，簡記為Λm，它顯然是一個(gè)二元生成的多重循環(huán)群.

定理1群Λm=A〈α〉是超可解群當(dāng)且僅當(dāng)m=±2且n=2.

證明 必要性.當(dāng)m=2且n=2時(shí)，α（a1）=-a2，α（a2）=a1+2a2，即α（a1+a2）=a1+a2，此時(shí)

構(gòu)成Λm的正規(guī)群列，并且因子群循環(huán)，從而Λm是超可解群.

當(dāng)m=-2且n=2時(shí)，α（a1）=-a2，α（a2）=a1-2a2，即α（a1-a2）=-（a1-a2），此時(shí)

構(gòu)成Λm的正規(guī)群列，并且因子群循環(huán)，從而Λm是超可解群.

充分性.若Λm是超可解群，則存在1≠N1Λm使得Λm在N1上的作用構(gòu)成N1的冪自同構(gòu).

若N1∩A=1，則［N1，A］=1，即N1在A上作用平凡.?1≠x∈N1，存在a∈A，i∈?使得x=aαi，由x在A上作用平凡知αi在A上作用平凡，注意到α是A的自同構(gòu)，從而αi=1即x=a∈A，矛盾，因此N1∩A≠1.

取1≠a∈N1∩A，有α在〈a〉上的作用構(gòu)成〈a〉上的冪自同構(gòu)，但a是無撓的，故α（）a=±a.設(shè)a=x1a1+x2a2+…+xnan，則

1.若α（a）=a，則x1=x2=…=xn且xn=mxn-x1，即（m-2 ）xn=0，由a≠0知m=2.

此時(shí)a=x1（a1+a2+…+an），故可取N1=〈a1+a2+…+an〉，有N1Λm.下面在Λm／N1中考慮.因?yàn)椤处痢礜1／N1?〈α〉，故將α在Λm／N1上的作用仍用α來表示，即Λm／N1=A／N1〈α〉.顯然有A／N1=〈a1〉⊕〈a2〉⊕…⊕〈an-1〉?〈a1〉⊕〈a2〉⊕…⊕〈an-1〉.若n＞2，則有

這個(gè)蜘蛛精……是人？青辰一邊聽著天葬師的話，一邊仔細(xì)打量。那唐飛霄矮小瘦弱，整個(gè)身子都裹在硬甲中，只有一顆碩大的光頭露在外面，看起來怪誕而不合比例。自己先入為主，竟將其當(dāng)做了蜘蛛精，著實(shí)鬧了個(gè)笑話。

因Λm／N1是超可解的，則存在1≠N2／N1Λm／N1使得Λm／N1在N2／N1上的作用構(gòu)成N2／N1的冪自同構(gòu).同樣討論可得N2／N1∩A／N1≠1.取有α在上的作用構(gòu)成上的冪自同構(gòu)，但是無撓的，故則

2.若α（a）=-a，則xi=-xi+1（1≤i≤n-1）且（m+1 ）xn=x1，需對(duì)n的奇偶性分別討論.

1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，mx1=0即m=0.此時(shí)a=x1（a1-a2+a3-a4+…+an），故可取N1=〈a1-a2+a3-a4+…+an〉，有N1Λm.下面在Λm／N1中考慮，將α在Λm／N1上的作用仍用α來表示，即Λm／N1=A／N1〈α〉.顯然有

2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（m+2 ）x1=0即m=-2.此時(shí)a=x1（a1-a2+a3-a4+…-an），故可取N1=〈a1-a2+a3-a4+…-an〉，有N1Λm.下面在Λm／N1中考慮.將α在Λm／N1上的作用仍用α來表示，即Λm／N1=A／N1〈α〉.顯然有若n＞2，

因Λm／N1是超可解的，則存在1≠N2／N1Λm／N1使得Λm／N1在N2／N1上的作用構(gòu)成N2／N1的冪自同構(gòu).同樣討論可得N2／N1∩A／N1≠1.取上的作用構(gòu)成上的冪自同構(gòu)，但b是無撓的，故則

進(jìn)一步計(jì)算可得，

1）當(dāng)m=2，n=2時(shí)，

即Z2（Λm）=Λm，從而Λm構(gòu)成冪零群.

2）當(dāng)m=-2，n=2時(shí)，A∩Z（Λm）=1，即此時(shí)Λm不是冪零群.