基于最小弱剛性的編隊(duì)通信拓?fù)渖伤惴?/h1>

2021-07-08 02:16:26楊秀霞

兵器裝備工程學(xué)報(bào)訂閱 2021年6期 收藏

關(guān)鍵詞：三維空間隊(duì)形編隊(duì)

楊秀霞，嚴(yán) 瑄，張 毅

(海軍航空大學(xué)， 山東 煙臺(tái) 264001)

由于多智能體系統(tǒng)的廣泛應(yīng)用，對(duì)多智能體系統(tǒng)編隊(duì)隊(duì)形控制的研究越來越多。在編隊(duì)隊(duì)形控制的問題中，編隊(duì)隊(duì)形往往是通過對(duì)智能體位置的特定約束來實(shí)現(xiàn)的。這些約束取決于描述智能體之間交互關(guān)系和智能體感知能力的通信拓?fù)鋄1-3]。

近年來，基于相對(duì)位移信息的分布式編隊(duì)策略以其在減輕計(jì)算量和提高可靠性方面的優(yōu)勢(shì)得到了廣泛的應(yīng)用[4-6]。文獻(xiàn)[7-9]研究了基于距離的編隊(duì)控制問題，該方法通過智能體間的距離來確定所需的編隊(duì)隊(duì)形，并且只需要每個(gè)智能體在其局部坐標(biāo)系下感知局部相對(duì)位移。文獻(xiàn)[10-12]中通過將隊(duì)形圖嵌入到指定的空間中，采用由一個(gè)特定鏈接拓?fù)浜退许旤c(diǎn)的坐標(biāo)組成的框架來描述期望的隊(duì)形。上述文獻(xiàn)為了解決隊(duì)形問題，都需考慮形成怎樣通信拓?fù)鋪泶_定隊(duì)形框架，最終要求目標(biāo)隊(duì)形是剛性的。隊(duì)形圖剛性需要知道大量的距離約束(邊)，然而，在實(shí)際應(yīng)用中，這種要求并不容易得到滿足。文獻(xiàn)[13]中提出了弱剛性，將圖中某些距離約束替換成角度約束，從而簡(jiǎn)化了編隊(duì)的通信拓?fù)?。文獻(xiàn)[14]中給出了弱剛性相關(guān)定義，并證明了它的通用性。最小弱剛性編隊(duì)是編隊(duì)通信拓?fù)渥詈?jiǎn)單的一種編隊(duì)，但它們都沒有研究最小弱剛性編隊(duì)的生成算法。

拓?fù)淇刂剖窃诒ＷC網(wǎng)絡(luò)連通性和覆蓋性的前提下，充分考慮無線傳感器網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn)，根據(jù)不同應(yīng)用場(chǎng)景，通過節(jié)點(diǎn)發(fā)射功率調(diào)節(jié)和鄰居節(jié)點(diǎn)選擇，形成優(yōu)化的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，以保證完成預(yù)定任務(wù)。與拓?fù)淇刂茀^(qū)別在于，本研究設(shè)計(jì)編隊(duì)通信拓?fù)淠康氖亲畲蟪潭葴p少維持編隊(duì)隊(duì)形所需的信息交互量，并保證對(duì)應(yīng)的框架能進(jìn)行剛性變換。把相對(duì)位移的成對(duì)內(nèi)積看作是形成所需隊(duì)形的約束條件，從而引入了廣義剛性的概念，即弱剛性。這種信息在基于距離的編隊(duì)控制中沒有得到有效利用。以相對(duì)位移內(nèi)積為約束條件，利用隊(duì)形圖中的夾角來確定所需的隊(duì)形?；谏鲜龇椒?，分別導(dǎo)出了二維和三維空間中框架最小弱剛性的充分條件。利用這些條件，可以很容易得到最小弱剛性編隊(duì)的生成算法。

1 剛性理論

有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊的無向圖可以表示為G(V，E)，其中V={1，2，…,n}和E?V×V分別表示頂點(diǎn)集合和邊的集合。本文考慮的圖均是無向圖，即邊(i，j) 和邊(j，i)是一樣的。在d維空間中，通過分配每個(gè)頂點(diǎn)一個(gè)坐標(biāo)pi∈Rd，i∈V，圖G(V，E)可以用來描述多智能體編隊(duì)。剛性理論研究圖G(多智能體編隊(duì))是否能進(jìn)行剛性變換(平移、旋轉(zhuǎn)、反射)。下面給出一些有關(guān)剛性理論的定義[15]。

(1)

式中：eij=pi-pj，||eij||表示頂點(diǎn)i和頂點(diǎn)j之間的歐式距離。

當(dāng)gG(p)=gG(q)即||pi-pj||=||qi-qj||，?(i，j)∈E時(shí)，框架(G，p)和框架(G，q)是等價(jià)的。當(dāng)||pi-pj||=||qi-qj||，?i，j∈V時(shí)，框架(G，p)和框架(G，q)是全等的。當(dāng)存在p的鄰域Up，對(duì)?q∈Up，如果框架(G，p)等價(jià)于框架(G，q)能得到框架(G，p)全等于框架(G，q)，則稱框架(G，p)是剛性的(任意頂點(diǎn)之間有恒定的距離)。當(dāng)從圖G刪除任意一條邊，剛性框架(G，p)失去剛性，則框架(G，p)是最小剛性的。

(vi-vj)Teij=0， (i，j)∈E

(2)

2 最小弱剛性編隊(duì)的產(chǎn)生

2.1 弱剛性理論

圖1 2種不同類型的框架示意圖

(3)

關(guān)于弱剛性的定義如下[14]：

(4)

2.2 二維空間最小弱剛性編隊(duì)

與剛性理論對(duì)比易知，修改的剛度函數(shù)rG(p)必定存在對(duì)應(yīng)的剛度函數(shù)gG(p)。所以可以把判斷框架是否是弱剛性的轉(zhuǎn)換成判斷框架是否是剛性的，由此可以得到定理2.1。

由定理2.1知所有的弱剛性框架都可以找到與之對(duì)應(yīng)的剛性框架，由此可以得到定理2.2。

定理2.2框架(Gw，p)是無窮小弱剛性的，則框架(Gw，p) 是弱剛性的。

定理2.3框架(Gw，p)是最小弱剛性的，則框架是連通的。

證明：假設(shè)框架(Gw，p)是最小弱剛性的，且框架不是連接的。由定義2.1知框架(Gw，p)是弱剛性的，則與框架(Gw，p)相對(duì)應(yīng)的框架(G，p)是剛性的，并且框架(G，p) 也是不連通的。這與剛性理論中剛性框架是連通的相矛盾。所以假設(shè)不成立，定理2.3成立。

由于二維空間中生成樹是連通圖中邊最少的，只要找到一種生成樹保證它是弱剛性的，這種生成樹就是最小弱剛性的。具體如定理2.4。

定理2.4在二維空間中，頂點(diǎn)數(shù)n≥3的圖是生成樹并且對(duì)?i∈Vtr，當(dāng)|Ni|≥2時(shí)，存在2個(gè)頂點(diǎn)j，k∈Ni使得eij和eik不共線，則框架(Tr，p)是最小弱剛性的。

令集合H?V是由在圖Tr中頂點(diǎn)的鄰居數(shù)大于等于2的頂點(diǎn)組成，即?i∈H，|Ni|≥2。在連通圖Tr中有公式(5)成立：

(5)

又由于圖Tr是生成樹，所以n=|V|=|Etr|+1=m+1，上式可以寫成：

(6)

(7)

2.3 三維空間中最小弱剛性

3 編隊(duì)生成算法

3.1 二維空間中編隊(duì)生成算法

由定理2.4知在二維空間中生成滿足要求的生成樹就得到了最小弱剛性編隊(duì)，具體算法如下：

步驟3：當(dāng)|Vtr|

3.2 三維空間中編隊(duì)生成算法

由定理2.5知在三維空間中將最小剛性編隊(duì)中的邊進(jìn)行替換就能得到最小弱剛性編隊(duì)，具體算法如下：

步驟2：設(shè)G*=(V，E*)，其中，E*=Φ。根據(jù)輸入邊E的建立剛度矩陣Mc，令i=1，初始化M，作為Mc的首行。

步驟3：若i>|E|，則轉(zhuǎn)入步驟7，否則計(jì)算M的秩。

步驟4：若M的秩為3n-6，則轉(zhuǎn)入步驟8，否則把Mc的下一行添加到M形成新的矩陣M′。

步驟5：若M′是行滿秩，則令M=M′，記錄此對(duì)應(yīng)的邊到E*。

步驟6：令i=i+1，然后轉(zhuǎn)入步驟3。

步驟7：G中不存在最小剛性圖，輸出G=null，直接返回。

步驟8：令E=E*，則G是最小剛性圖。

步驟9：將中E刪除用點(diǎn)積元素表示的邊，得到最小弱剛性邊集Ew。

步驟10：令E=Ew，則G是最小弱剛性圖。

4 仿真驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提算法的有效性，下面給出實(shí)例仿真。在二維和三維空間中考慮16個(gè)智能體，假設(shè)每個(gè)智能體上的傳感器相同，通信范圍為r=30。每個(gè)智能體只能與通信范圍內(nèi)的智能體(鄰居)進(jìn)行通信。所有智能體隨機(jī)分布在空間中。仿真結(jié)果如表1和圖2～圖7所示：圖2表示二維空間中智能體與所有鄰居建立通信時(shí)的剛性編隊(duì)；圖3表示由文獻(xiàn)[16]得到的最優(yōu)剛性編隊(duì)(最小剛性編隊(duì))；圖4表示本文所提算法生成的最小弱剛性編隊(duì)；圖5表示三維空間中智能體與所有鄰居建立通信時(shí)的剛性編隊(duì)；圖6表示由文獻(xiàn)[17]得到的最小剛性編隊(duì)；圖7表示本文所提算法生成的最小弱剛性編隊(duì)。由表1可知最小弱剛性編隊(duì)能很大程度的減少編隊(duì)中邊的數(shù)量，只有最小剛性編隊(duì)的一半左右。所以本文提出的算法能極大地簡(jiǎn)化編隊(duì)的通信拓?fù)洹?/p>

表1 編隊(duì)中邊的數(shù)量

圖2 剛性編隊(duì)示意圖

圖3 由文獻(xiàn)[16]得到的最優(yōu)剛性編隊(duì)示意圖

圖4 最小弱剛性編隊(duì)示意圖

圖5 剛性編隊(duì)示意圖

圖6 由文獻(xiàn)[17]得到的最小剛性編隊(duì)示意圖

圖7 最小弱剛性編隊(duì)示意圖

5 結(jié)論

本文采用了一種弱剛性理論，與剛性理論相比，該理論允許通過更少的邊來確定任意維空間中的框架。通過約束框架內(nèi)相對(duì)位移的兩兩內(nèi)積來確定框架，這實(shí)際上利用了剛性理論中未使用的角信息。給出了最小弱剛性框架的判定條件，并導(dǎo)出了生成最小弱剛性框架的2個(gè)充分條件。根據(jù)這2個(gè)充分條件給出了在二維和三維空間中生成最小弱剛性編隊(duì)的算法。所得編隊(duì)在保持剛性的基礎(chǔ)上能最大程度減少保持剛性所需要的距離約束的數(shù)量。

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