用改進(jìn)的落體法測(cè)量重力加速度

林彥嘉，林 鵬

(1.西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，重慶 400715，2.西北核技術(shù)研究所，陜西 西安 710024)

在經(jīng)典物理學(xué)中，重力加速度是一個(gè)重要的物理學(xué)常數(shù)。地球上不同的緯度、海拔高度以及不同的地質(zhì)條件，都對(duì)重力加速度的值有影響。在大地測(cè)量學(xué)中，重力加速度數(shù)據(jù)可以用來確定大地水準(zhǔn)面，在制圖學(xué)中，可以用來計(jì)算高程。對(duì)重力加速度值的精確測(cè)量，在計(jì)量科學(xué)、天文學(xué)、資源勘探和慣性導(dǎo)航等領(lǐng)域都有非常重要的作用[1]。

測(cè)量重力加速度在物理學(xué)中是一個(gè)基本的實(shí)驗(yàn)。重力加速度的測(cè)量方法較多，主要有物理擺法[2，3]、自由落體法[4]、傾斜氣墊導(dǎo)軌法[5]和平衡法[6]等。還有其他新方法，比如劉艷峰利用CCD結(jié)合楊氏模量測(cè)量?jī)x給出了重力加速度測(cè)量方法[7]，張鵬娟提出了利用液體黏滯系數(shù)測(cè)定儀來設(shè)計(jì)測(cè)量當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣鹊姆椒╗8],李應(yīng)法利用弦振動(dòng)方法來測(cè)量重力加速度[9]。對(duì)應(yīng)這些傳統(tǒng)的方法，前人研制了相應(yīng)的重力加速度測(cè)量?jī)x。對(duì)于常用的自由落體法，為了克服電磁鐵剩磁對(duì)下落小球初速度的影響，往往采用兩組光電門，在兩次下落實(shí)驗(yàn)中改變光電門之間的距離，通過測(cè)定兩次實(shí)驗(yàn)中小球通過兩光電門的時(shí)間來求得重力加速度。也有在自由落體法中采用三組光電門[10]，以第一組光電門為時(shí)間和距離的起點(diǎn)，測(cè)量小球經(jīng)過第二組和第三組光電門的時(shí)間來求重力加速度。本文設(shè)計(jì)了一種改進(jìn)的自由落體法測(cè)量重力加速度測(cè)量裝置，該裝置只采用一組光電門，并將下落小球改為豎直下落的傳信桿。與傳統(tǒng)使用的自由落體法裝置相比，本文設(shè)計(jì)的裝置使用起來更加簡(jiǎn)便、快捷，并具有較高測(cè)量精度。

1 實(shí)驗(yàn)原理及方法

1.1 測(cè)量原理

常用的自由落體測(cè)重力加速度方法，采用的是二次測(cè)量法。如圖1所示，小球從位置“O”做初速度為0的落體運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過第一個(gè)光電門位置“A”時(shí)，初速度為v0，以此位置作為下落時(shí)間和距離起點(diǎn)。小球經(jīng)過時(shí)間t1，自由落體到第二個(gè)光電門“B”，下落距離為s1；將第二個(gè)光電門移動(dòng)到位置“C”,小球再次從位置“O”做初速度為0的落體運(yùn)動(dòng)，到達(dá)位置“C”的時(shí)間為t2，下落距離為s2。小球運(yùn)動(dòng)滿足如下方程。

圖1 自由落體法測(cè)量原理圖

(1)

(2)

由此可得重力加速度為

(3)

測(cè)量?jī)纱螌?shí)驗(yàn)中小球的下落時(shí)間，帶入(3)即可求得重力加速度。如果裝置有3個(gè)光電門，則小球一次下落可測(cè)得兩個(gè)時(shí)間，完成重力加速度的測(cè)量。小球的橫截面是圓形的，實(shí)驗(yàn)中小球的不同部位經(jīng)過光電門時(shí)，會(huì)造成測(cè)量時(shí)間偏差。二次測(cè)量法中，由于剩磁的影響，初速度v0可能會(huì)不同，給實(shí)驗(yàn)帶來較大誤差。

1.2 改進(jìn)方法

為簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)過程，將實(shí)驗(yàn)裝置進(jìn)行改進(jìn)。下落的小球改為豎直下落的傳信桿。為減少光電門的數(shù)量，只用一組光電門，而將桿下落的距離精確刻度在傳信桿上，即在桿的末端加工環(huán)形的缺口和凸臺(tái)，光電門位置偏離桿中心。當(dāng)桿豎直下落，缺口對(duì)著光電門時(shí)，光電門是通光狀態(tài)，當(dāng)桿的凸臺(tái)對(duì)著光電門時(shí)，是遮光狀態(tài)。如圖2所示，A是第一個(gè)缺口開始位置，B是第二個(gè)缺口開始位置，C是第三個(gè)缺口開始位置。AB之間的距離為s1，AC之間的距離為s2。傳信桿直徑為6 mm，末端凸臺(tái)部分直徑為9.6 mm。限位框的內(nèi)徑為6.1 mm，略大于桿的直徑。光電門中的發(fā)光管和光敏管的外徑皆為2 mm，兩管分別置于絕緣套中，定位在對(duì)應(yīng)的傳信桿末端兩側(cè)位置。兩絕緣套對(duì)應(yīng)端的端口直徑皆為0.3 mm，限制光束出射孔和光束入射孔的面積大小。光電門電路如圖3所示，直流電源電壓為9～12 V，電阻R1的阻值為1 kΩ，電阻R2的阻值為20 kΩ。光電門的信號(hào)由電阻R2輸出，通光時(shí)輸出直流電壓信號(hào)，遮光時(shí)電壓信號(hào)為0。

圖2 測(cè)量裝置示意圖

圖3 光電門電路

如圖4所示，整個(gè)重力加速度測(cè)量系統(tǒng)由直流電源、g測(cè)量裝置和數(shù)字示波器組成。當(dāng)傳信桿下落時(shí)，缺口經(jīng)過光電門時(shí)輸出相應(yīng)的直流方波電壓信號(hào)，信號(hào)由示波器記錄。在示波器上通過判讀第一個(gè)方波到第二個(gè)方波的時(shí)間間隔得到t1,判讀第一個(gè)方波到第三個(gè)方波的間隔得到時(shí)間t2。帶入公式(3)即求得重力加速度g。

圖4 測(cè)量系統(tǒng)組成

1.3 不確定度分析

實(shí)驗(yàn)誤差主要來源于下落距離(s1和s2)和時(shí)間間隔(t1和t2)測(cè)量的不準(zhǔn)確。重力加速度是一個(gè)間接測(cè)量物理量，根據(jù)不確定度傳遞規(guī)律，由公式(1)-(3)可得重力加速度g的測(cè)量相對(duì)不確定度η計(jì)算公式

(4)

式中，Δt和Δs分別為時(shí)間(t1和t2)和距離(s1和s2)的測(cè)量不確定度。Δs由精密機(jī)械加工控制，取最大值0.01 mm。Δt受空氣阻力和摩擦力影響，低速運(yùn)動(dòng)時(shí)空氣阻力可忽略，當(dāng)傳信桿與限位框架不接觸或充分潤(rùn)滑時(shí)，摩擦力影響也可忽略。綜合起來，Δt取0.02 ms，主要來源于示波器判讀誤差。

首先，固定s2的大小為24 mm，取重力加速度的理論值g=9.80 m·s-2,然后根據(jù)公式(4)來確定s1的取值。假定位置A離初始自由落體位置為3 mm，6 mm和9 mm，可得到不同的初始速度v01，v02和v03。三者中v01最小，v03最大。然后改變s1的值，計(jì)算不同初速度時(shí)重力加速度的相對(duì)不確定度η隨s1的變化關(guān)系。計(jì)算結(jié)果如圖5(1)所示，相對(duì)不確定度隨v0的增大而增大。在s2確定的情況下，s1為s2的五分之一到三分之一范圍內(nèi)時(shí)，相對(duì)不確定度最小。所以，在本設(shè)計(jì)中，取s1為6 mm。當(dāng)位置A離初始自由落體位置為3 mm時(shí)，理論設(shè)計(jì)的重力加速度的相對(duì)測(cè)量不確定度為0.49%。進(jìn)一步計(jì)算表明，s2的值對(duì)重力加速度的相對(duì)不確定度η也有影響，如圖5(2)所示，s2增大，η變小。

(1) v0不同

(2) s2 不同圖5 相對(duì)不確定度隨s1位置的變化

2 實(shí)驗(yàn)測(cè)量

開啟直流電源給光電門供電，直流電壓9～12 V；調(diào)整數(shù)字示波器采樣率到200 MSa/s，選擇示波器存儲(chǔ)深度為14 M，觸發(fā)位于測(cè)量時(shí)長(zhǎng)的50%處，設(shè)置示波器觸發(fā)方式為單次觸發(fā)且觸發(fā)電平為1 V；調(diào)整測(cè)量裝置為豎直狀態(tài)，將傳信桿提升到高位；數(shù)字示波器處于待觸發(fā)狀態(tài)，然后釋放傳信桿。當(dāng)?shù)谝粋€(gè)缺口經(jīng)過光電門時(shí)，系統(tǒng)觸發(fā)，輸出測(cè)量波形如圖 6所示。第一個(gè)方波對(duì)應(yīng)位置A，第二個(gè)對(duì)應(yīng)位置B，第三個(gè)對(duì)應(yīng)位置C,第四個(gè)是傳信桿反彈后位置C對(duì)應(yīng)的輸出。

(1)判讀t1

(2) 判讀t2圖6 實(shí)驗(yàn)測(cè)量時(shí)間判讀波形

將示波器的光標(biāo)打開，由第一和二個(gè)方波判讀時(shí)間t1，第一和第三個(gè)方波判讀時(shí)間t2。判讀時(shí)既可取方波的前沿，也可取后沿。前面計(jì)算表明，初速度對(duì)相對(duì)不確定度有影響，取前沿時(shí)初速度小于取后沿時(shí)的初速度，因此取前沿優(yōu)于取后沿。多次實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果例于表1中。

表1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

對(duì)表1中的重力加速度測(cè)量值及其不確定度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到重力加速度g的值為

g=9.77±0.04 m·s-2

重慶地區(qū)的重力加速度的公認(rèn)值為9.79 m·s-2，測(cè)量值比公認(rèn)值小0.2%，說明測(cè)量結(jié)果是可信的，本裝置的測(cè)量精度較高。

3 結(jié) 語(yǔ)

設(shè)計(jì)了一種應(yīng)用單光電門的自由落體重力加速度測(cè)量方法，對(duì)初速度v0和下落距離s1、s2等因素對(duì)重力加速度測(cè)量相對(duì)不確定度的影響進(jìn)行了計(jì)算分析，利用新設(shè)計(jì)方法對(duì)重力加速度進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測(cè)量，得出如下結(jié)論：

(1)s2固定條件下，初速度越大，g的相對(duì)不確定度也越大，因此，實(shí)驗(yàn)中光電門和初始下落位置要盡可能靠近；

(2)v0固定條件下，s2越大，g的相對(duì)不確定度越小，在實(shí)驗(yàn)裝置的有限空間內(nèi)，應(yīng)選擇s2盡量大一些；

(3)s2固定條件下，s1為s2的五分之一至三分之一范圍內(nèi)時(shí)，g的相對(duì)不確定度較??；

(4)本改進(jìn)方法設(shè)計(jì)的測(cè)量裝置，對(duì)g的測(cè)量相對(duì)不確定度可達(dá)0.5%，實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)值偏差為0.2%，這說明本方法是可行的，且具有較高測(cè)量精度。