等殘留高度法中的步長精度優(yōu)化研究

閔 莉，徐冬冬，賈宏博

(沈陽建筑大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110168)

五軸數(shù)控加工相對于三軸數(shù)控加工多了兩個旋轉(zhuǎn)軸，這意味著刀具有了更多的自由度，在工件加工中能很大地提升加工精度和加工效率，但隨著刀具自由度的增加，數(shù)控編程的難度也隨之大大增加。刀具軌跡規(guī)劃作為數(shù)控編程的核心環(huán)節(jié)，目前常用的規(guī)劃方法有等參數(shù)線法[1-2]、截面法[3-5]、等殘留高度法[6-9]。等參數(shù)線法是讓曲面的一個參數(shù)保持不變，另一個參數(shù)等距離增加產(chǎn)生的曲線作為軌跡線的方法，參數(shù)增加的距離通常選擇待加工曲面上的最小行距，等參數(shù)線法的優(yōu)點是計算十分簡便，實用性非常高，在實際加工中得到普遍應(yīng)用，缺點是行距選擇過于保守，會增加軌跡線的長度，降低加工效率。截面法與等參數(shù)線法類似，不同之處在于截面法是用距離相等的一組平面去截待加工曲面，得到的交線就是刀具軌跡線。而等殘留高度法是由K.SURESH等提出的，主要思想是讓對應(yīng)刀觸點之間的殘留高度等于設(shè)定值，以此求得加工行距，加工中能提高加工效率、適于曲率變化較大的曲面，是當(dāng)今運用最廣泛的刀具規(guī)劃方法。

在用等殘留高度法對刀具運行軌跡規(guī)劃時，由于相鄰軌跡線對應(yīng)刀觸點之間具有依賴性，容易出現(xiàn)拐點、突變點或造成過切、欠切，針對這些問題，眾多科研人員進(jìn)行了相關(guān)研究：趙世田[10]提出一種通過計算殘余高度線，進(jìn)一步增大行距的算法，有效減小了刀具軌跡的總長度；張瑩等[11]通過建立機床模型，計算出了刀具的最大走刀步長；王太勇等[12]在傳統(tǒng)等殘留高度法基礎(chǔ)之上提出了一種高精度刀軌誤差補償算法，該算法能提高相鄰刀具軌跡上刀位點參數(shù)值的計算精度；S.G.LEE等[13]用等殘留高度法規(guī)劃出了軌跡線，并提出了行距計算方法；A.CAN等[14]充分考慮了曲面的幾何特征，對曲率不同的區(qū)域選擇不同的刀具半徑，以減小走刀走長度和避免過切。此外，很多依據(jù)其他不同原理的刀具軌跡規(guī)劃方法也被提出，C.J.CHIOU[15]等由零件幾何形狀和刀具幾何形狀相結(jié)合，構(gòu)造出加工能量場，進(jìn)一步找到最大加工帶寬方向，并作為走刀方向，生成刀具路徑，與等參數(shù)線法與等截面法相比能顯著提高加工效率和工件的表面光潔度；S.DING等[16-17]在截面法的基礎(chǔ)上，提出一種自適應(yīng)算法，在不同的加工區(qū)域選擇合適的截面間距。

在上述研究基礎(chǔ)上，筆者針對等殘留高度法中走刀步長在偏置軌跡線上不受約束的問題進(jìn)行研究，由等殘留高等法計算規(guī)則設(shè)計出偏置軌跡線上走刀步長的計算方法，并提出步長誤差變化率這一概念，用以直觀地觀察步長的變化情況，最后根據(jù)步長誤差變化率的變化規(guī)律，設(shè)計出步長累積誤差的消除方法；經(jīng)試驗驗證，該方法消除了等殘留高度法偏置過程中產(chǎn)生的累積誤差，有效地保證了加工精度。

1 曲面構(gòu)造理論

非均勻有理B樣條(NURBS)[18-19]是由B樣條、有理B樣條逐漸優(yōu)化發(fā)展而來，能精確地表示空間中的點、線和曲面，并具有較強的靈活性和功能性，在曲面建模中得到廣泛應(yīng)用。設(shè)構(gòu)造的曲面為S(u,v)，如式(1)所示：

(1)

式中：di,j為控制頂點；wi,j為權(quán)因子；Ni,j(u)為沿u方向的第i個j次規(guī)范B樣條基函數(shù)；Nj,i(v)為沿v方向的第j個i次規(guī)范B樣條基函數(shù)。

(2)

式中：Ⅰ、Ⅱ分別是曲面的第一、第二基本量函數(shù)。

(3)

(4)

式中：E、F、G、L、M、N等參數(shù)可由式(3)、(4)中的函數(shù)關(guān)系來表示。

在NURBS曲面中，通常用定義k1、k2為X方向和Y方向的主曲率。其中，k1為最小主曲率，k2為最大主曲率。平均曲率H和高斯曲率K可以用k1、k2來表示：

(5)

(6)

平均曲率和高斯曲率主要用來判斷曲面的凹凸。

2 刀觸點之間相關(guān)參數(shù)的計算

2.1 刀具走刀步長的計算

圖1為曲面S(u,v)的截面示意圖。其中，P0、P1為兩個相鄰的刀觸點，ε為允許的弓高誤差。

圖1 走刀步長示意圖Fig.1 Schematic diagram of cutting step length

由此可算出走刀步長：

(7)

式中：Rn為刀具在P0處的法曲率半徑，可由下式計算得到：

(8)

式中：ρ為P0處沿走刀方向的法曲率。

2.2 加工行距的計算

計算加工行距時，首先判斷曲面的凹凸性，然后分別在平面、凹面和凸面上計算行距。當(dāng)曲面為雙曲面時，根據(jù)刀具走刀方向上的曲率來判斷曲面凹凸性。

設(shè)球頭刀刀頭半徑為r、加工后殘留高度為h、刀觸點短程線方向曲率半徑為Rn，據(jù)下圖所示的幾何關(guān)系,可算出加工行距L。

圖2 加工行距的確定Fig.2 Determination of path interval

當(dāng)加工曲面為平面時：

(9)

當(dāng)加工曲面為凹面時：

(10)

當(dāng)加工曲面為凸面時：

(11)

3 步長誤差的形成與消除

3.1 步長誤差的形成

圖3 曲面上的刀具軌跡Fig.3 Tool-path on surface

(12)

由式(12)[6]可知，等殘留高等法在偏置過程中走刀步長的主要受行距大小、加工曲面起伏、短程線方向等因素影響。

(13)

實際加工時，為保證工件的表面質(zhì)量，在規(guī)劃軌跡線過程中對軌跡線的光順度有要求[20]，在保證刀具軌跡光順的前提下，根據(jù)短程線定義[21]可得θ≈0o，所以：

g′≈

(14)

由式(13)、(14)可知g′≥g，并且只有β=0、Li=Li+1時，g′=g。

由此可知，等殘留高度法規(guī)劃出的軌跡線，走刀步長會在上一條刀軌增加的基礎(chǔ)上繼續(xù)增加，形成累積誤差。

3.2 步長誤差的消除

為減小或消除步長誤差，需對傳統(tǒng)等殘留高度法加以改進(jìn)。設(shè)刀軌上刀觸點間實際走刀步長為g2,理論走刀步長為g1,步長的誤差變化率用α表示，α的計算方法如式(15)所示:

(15)

其中，g1可由式(7)計算得到。

設(shè)定閾值ψ，當(dāng)相鄰兩個刀觸點同時滿足α>ψ時，移動刀觸點的位置，可以減小走刀步長。

為提高效率，從初始刀觸點開始，每隔若干點提取一個采樣點，并計算該采樣點的α值，直到該軌跡最后一個刀觸點。其中，兩相鄰采樣點間刀觸點的數(shù)量可根據(jù)曲面實際曲率適當(dāng)調(diào)整。

設(shè)Pi、Pj為軌跡線上相鄰的兩個采樣點，且α值同時滿足α>ψ，為消除兩個采樣點間步長的誤差，現(xiàn)使用加權(quán)平均法均勻減小采樣點間的走刀步長。計算方法如下：

(16)

圖4為一段刀具軌跡線，P0、P1、P2、P3、P4、P5為相鄰的刀觸點，P0、P5為刀軌上兩個相鄰的采樣點。

圖4 原始刀具軌跡Fig.4 Original tool-path

圖5 改進(jìn)后的刀具軌跡Fig.5 Improved tool-path

3.3 步長累積誤差消除算法

步長累積誤差消除算法中，閾值參數(shù)的大小依據(jù)工件加工精度要求來選擇，采樣點依據(jù)相鄰刀觸點間步長誤差變化率的大小來選擇。

Step1：選取待加工曲面邊長較長的一個邊作為初始的軌跡線，按要求的加工精度，選擇步長規(guī)劃算法對初始軌跡線進(jìn)行離散，得到一系列刀觸點。

Step2：因初始軌跡線上刀觸點是由步長規(guī)劃算法確定的，肯定滿足加工精度，可直接進(jìn)行偏置，規(guī)劃下一條刀具軌跡。

Step3：在第二條軌跡線上，把第一個刀觸點設(shè)為采樣點，隔若干點再選一個采樣點，并計算采樣點間的α值。

Step4：當(dāng)相鄰兩個采樣點誤差變化率都比閾值大，則執(zhí)行步長累積誤差消除算法，若兩采樣點不同時大于閾值，則在后續(xù)軌跡線段上繼續(xù)選取采樣點，直至覆蓋最后一個刀觸點。

Step5：繼續(xù)偏置下一條軌跡線，直至軌跡線覆蓋整個曲面。

算法的具體流程如圖6所示。

圖6 算法流程圖Fig.6 Algorithm flowchart

4 實驗驗證

取圖7所示的曲面做仿真實驗，選取的刀具類型為球頭刀，刀頭半徑為5 mm，殘留弓高ε=0.02 mm，等殘留高度h=0.5 mm，閾值參數(shù)ψ設(shè)定為0.05。

圖7 加工曲面Fig.7 Machining surface

傳統(tǒng)的等殘留高度法生成的軌跡線如圖8所示。在圖8所示的軌跡線基礎(chǔ)上，用步長累積誤差消除算法進(jìn)行優(yōu)化，為對比優(yōu)化后的效果，取優(yōu)化前后的刀具軌跡在XOY平面投影圖，取圖區(qū)域為X×Y=70 mm×100 mm，軌跡線如圖9所示。

圖8 傳統(tǒng)刀具軌跡Fig.8 Traditional tool path

通過對比可以發(fā)現(xiàn)，圖9(b)比圖9(a)的刀觸點由左至右逐漸增加，這是因為隨著不斷的偏置，步長誤差不斷累積增加，有相鄰采樣點步長誤差變化率超過了設(shè)定的閾值參數(shù)，通過執(zhí)行步長誤差累積消除根據(jù)筆者所提算法設(shè)置，此時會根據(jù)式(16)移動相應(yīng)刀觸點，并對空缺位置補充刀觸點，以縮短走刀步長，由此控制了偏置中步長累積增加。

圖9 刀軌細(xì)節(jié)圖Fig.9 Details of tool path

為進(jìn)一步驗證實際優(yōu)化效果，分別選取圖9(a)、(b)中的后三條完整軌跡線α值對比，如圖10所示。

圖10 優(yōu)化前后α值的變化Fig.10 The change of α before and after optimization

把圖10(a)和表1中的數(shù)據(jù)對照分析，可以清楚地看出第10、第11條傳統(tǒng)軌跡線的步長誤差變化率都在前一條軌跡線的基礎(chǔ)上繼續(xù)增加，最大已接近0.3，走刀步長嚴(yán)重失控。

對圖10(b)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后軌跡線的α值多分布在-0.05～0.05；再結(jié)合表1中優(yōu)化前后的|α|值數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化后三條刀具軌跡的|α|值之和比傳統(tǒng)的刀具軌跡分別降低了91.3%、90.84%、89.97%，這說明步長累積誤差的消除取得了良好效果。

表1 每條軌跡|α|值之和Table 1 Summation of|α|for each tool-path

5 結(jié) 論

(1)在用傳統(tǒng)等殘留高度法對曲率變化較小的曲面進(jìn)行刀具軌跡規(guī)劃時，走刀步長誤差變化率會在相鄰軌跡線間不斷積累。

(2)通過執(zhí)行步長累積誤差消除算法，把步長誤差變化率約束在一個區(qū)間內(nèi)，從而控制了走刀步長。

(3)按照筆者所提方法調(diào)整軌跡線上刀觸點的數(shù)量和位置，消除了相鄰軌跡線間刀觸點一一對應(yīng)的關(guān)系，減小了軌跡線間的依賴性。

(4)經(jīng)過執(zhí)行走刀步長累積誤差消除算法，刀觸點還是分布在原來的刀具軌跡上，優(yōu)化后刀具軌跡方向、總長度基本沒有改變，進(jìn)一步保證了在提高加工精度的同時加工效率與之前保持一致。