基于LSSVM與GA的混凝土抗凍性多目標(biāo)配合比優(yōu)化研究

吳賢國，劉 茜，王 雷，陳 彬

(華中科技大學(xué)土木工程與力學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430074)

混凝土作為土木工程行業(yè)中應(yīng)用最為廣泛的材料，其耐久性能的研究一直是工程領(lǐng)域的熱點問題?？箖鲂阅苁腔炷聊途眯缘闹匾笜?biāo)之一，對于混凝土結(jié)構(gòu)的使用壽命具有重要影響，而混凝土的抗凍性又與混凝土的配合比設(shè)計緊密相關(guān)，因此對混凝土的抗凍性能及其配合比優(yōu)化進行研究具有重要的工程意義。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對混凝土的抗凍性及配合比優(yōu)化進行了廣泛研究。張凱等[1-2]針對多年凍土地區(qū)，通過試驗研究了不同引氣劑摻量下混凝土抗壓強度和抗凍性能的變化,并建立了相關(guān)的預(yù)測模型。李偉民等[3]基于凍融循環(huán)試驗，探究了凍融循環(huán)作用對于混凝土抗凍性能的影響。楊璐等[4]利用灰色理論對混凝土的抗凍性壽命進行了預(yù)測，并驗證了其可行性。郭寅川等[5]針對高寒鹽凍環(huán)境，對橋面板混凝土的抗鹽凍性能進行了深入研究。A.Nowak-Michta[6]采用改性聚羧酸鹽作為高效減水劑，研究其對混凝土抗凍融耐久性的影響。楊綠峰等[7]基于強度指標(biāo)和抗氯鹽耐久性指標(biāo)，結(jié)合理論分析和正交試驗進行了混凝土配合比的優(yōu)化設(shè)計?；袈盏萚8]在正交試驗的基礎(chǔ)上，對地鐵盾構(gòu)管片混凝土的配合比設(shè)計進行了優(yōu)化。袁明等[9]通過試驗分析，對超高性能混凝土的配合比進行了優(yōu)化研究。上述研究大多采用的是傳統(tǒng)的試驗方法或理論分析，不僅限制條件較多、耗時長、成本高，而且試驗過程中存在較多的不確定性因素，所獲得的最優(yōu)配合比與實際情況相比存在較大誤差。

近年來，隨著機器學(xué)習(xí)算法的發(fā)展和應(yīng)用，其在目標(biāo)優(yōu)化問題中已經(jīng)得到了較好的嘗試[10-11]，但目前在混凝土配合比優(yōu)化中的應(yīng)用卻很少。基于此，筆者將最小二乘支持向量機(LSSVM)算法和遺傳算法(GA)相結(jié)合，提出一種基于LSSVM-GA模型的混凝土配合比多目標(biāo)優(yōu)化方法。首先基于原材料及配合比建立LSSVM混凝土抗凍性預(yù)測模型，然后將LSSVM回歸函數(shù)作為混凝土抗凍性目標(biāo)函數(shù)，以保證混凝土抗凍性和實現(xiàn)經(jīng)濟成本最低為優(yōu)化目標(biāo)，引入GA算法構(gòu)建混凝土配合比多目標(biāo)優(yōu)化模型，根據(jù)得到的Pareto前沿解集確定了同時滿足混凝土抗凍性和經(jīng)濟成本最低的最優(yōu)混凝土配合比參數(shù)組合。

1 方法及原理

1.1 最小二乘支持向量機理論

支持向量機(SVM)是一種能很好地解決非線性問題，且適用于小樣本研究的機器學(xué)習(xí)算法[12]。最小二乘支持向量機(LSSVM)則是對SVM算法的一種改進，采用平方和誤差代替原本的損失函數(shù)，并將SVM算法中不等式約束轉(zhuǎn)化等式約束，從而降低了算法的計算量[13]。假設(shè)訓(xùn)練樣本集為(xi,yi)，xi∈Rn，yi∈{-1,+1}，i=1,2,…,N。其中xi表示樣本的輸入，表示樣本的輸出，N代表訓(xùn)練樣本的總數(shù)。針對非線性問題，LSSVM回歸模型的結(jié)果可由以下優(yōu)化問題得：

(1)

式中：φ(·)表示非線性映射;ω表示權(quán)重;ξi表示誤差變量;b表示偏差量;c>0表示懲罰系數(shù)。

將式(1)轉(zhuǎn)化為Lagrange函數(shù)：

(2)

式中：ai>0(i=1,2,…,N)為Lagrange乘子。

對式(2)進行優(yōu)化，令L對ω，b，ai，ξi的偏導(dǎo)數(shù)等于0，由此可得：

(3)

其中，Z=(φ(x1)y1,φ(x2)y2,…,φ(xN)yN),Y=(y1,y2,…,yN)，ml=[1,1,…,1]。

通過以上推導(dǎo)求解，可得LSSVM的非線性回歸模型為

(4)

式中：K(x,xi)表示核函數(shù)，用來代替高維空間上的內(nèi)積運算；xi表示核函數(shù)的中心；x表示訓(xùn)練樣本的輸入值。

1.2 遺傳算法

遺傳算法(GA)是一種源于進化和遺傳學(xué)的機器學(xué)習(xí)方法，與生物學(xué)中的進化理論相似[14]。首先隨機產(chǎn)生一代初始種群，通過一組算法評估以確定個體的“適應(yīng)度”，根據(jù)每個個體評估的適應(yīng)度值大小進行排名。按照優(yōu)勝劣汰的原則，高適應(yīng)度的個體即是越符合目標(biāo)要求，通過保留高適應(yīng)度的個體，刪除低適應(yīng)度的個體，再利用生殖模擬(遺傳算子)來產(chǎn)生下一代，這個過程像自然進化一樣，種群的平均適應(yīng)度通過進化逐漸提高，算法最終得到一個解決方案。

遺傳算法的核心要素包括編碼、種群初始化、適應(yīng)度函數(shù)和遺傳算子[15]。其中，遺傳算子包括選擇、交叉和變異算子三種，其設(shè)計的好壞將直接決定整個算法性能的優(yōu)劣，而適應(yīng)度函數(shù)則是遺傳算法進行學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，根據(jù)實際問題主要分為兩種類型。

類型1：求最大最小值。

(5)

式中:ffit(x)為適應(yīng)度函數(shù)；f(x)為目標(biāo)函數(shù)。

類型2：求大于或者小于某定值。

當(dāng)要求目標(biāo)函數(shù)f(x)大于C時：

(6)

當(dāng)要求目標(biāo)函數(shù)f(x)小于C時：

(7)

2 LSSVM-GA混凝土耐久性配合比優(yōu)化模型

為了快速有效地對混凝土配合比進行優(yōu)化，在保證混凝土性能的同時減小經(jīng)濟成本，筆者提出一種將LSSVM算法和GA算法相結(jié)合的多目標(biāo)優(yōu)化方法(見圖1)。該方法主要分為兩個步驟：①基于LSSVM的混凝土抗凍性預(yù)測；②基于GA的多目標(biāo)優(yōu)化?；贚SSVM-GA模型進行混凝土配合比的多目標(biāo)優(yōu)化，可以實現(xiàn)更加智能和準(zhǔn)確的混凝土配合比優(yōu)化設(shè)計。

圖1 基于LSSVM-GA算法的混凝土配合比參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化模型Fig.1 Multi-objective optimization model of concrete mix ratio parameters based on LSSVM-GA algorithm

2.1 基于LSSVM的混凝土早期抗凍性預(yù)測模型

2.1.1 樣本收集及預(yù)處理

筆者在相關(guān)文獻(xiàn)分析及大量工程經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，選擇7個與混凝土抗凍性緊密相關(guān)的配合比參數(shù)作為預(yù)測模型的輸入指標(biāo)，分別為水膠比、水泥用量、粉煤灰、細(xì)集料、粗集料、減水劑和硅灰，并將相對動彈性模量作為輸出指標(biāo)，從而建立混凝土抗凍性預(yù)測指標(biāo)體系。在此基礎(chǔ)上，收集相關(guān)數(shù)據(jù)整理后形成原始數(shù)據(jù)樣本集。

在模型建立之前，為了消除不同特征指標(biāo)的數(shù)據(jù)因為量綱不同所帶來的影響，有必要對初始數(shù)據(jù)進行歸一化預(yù)處理，以統(tǒng)一變量維度，降低模型的訓(xùn)練難度，防止模型精度下降或者網(wǎng)絡(luò)無法收斂。歸一化的方式有很多，如將數(shù)據(jù)歸一化到[0,1]或[-1,+1]，筆者選擇把樣本輸入數(shù)據(jù)歸一化到區(qū)間[0,1]。

2.1.2 模型參數(shù)優(yōu)選

(1)核函數(shù)的選擇

核函數(shù)是將一組非線性關(guān)系的數(shù)據(jù)映射到高維特征空間中的關(guān)鍵，它對支持向量機的效能有著很大的影響，因此有必要對核函數(shù)進行合理地選擇。徑向基核函數(shù)(RBF)是目前支持向量機模型中最常用的核函數(shù)，具有很好的抗干擾能力以及局部性，且適用于非線性問題，因此筆者選擇LSSVM預(yù)測模型的核函數(shù)為RBF核函數(shù)，其表達(dá)式如下：

(8)

式中：xi表示輸入變量；x表示輸出變量；δ表示函數(shù)的寬度參數(shù)。

(2)參數(shù)優(yōu)選

為了防止LSSVM模型出現(xiàn)欠學(xué)習(xí)問題，同時保證模型良好的泛化能力，筆者選擇選擇網(wǎng)格搜索法對RBF核函數(shù)的懲罰系數(shù)C及核函數(shù)參數(shù)g進行參數(shù)全局搜索，以得到全局最優(yōu)解，并在網(wǎng)格搜索法的基礎(chǔ)上，結(jié)合K折交叉驗證方法，對所有可能的參數(shù)進行驗證，找出精度最高的模型所對應(yīng)的參數(shù)，從而確定最終的優(yōu)選參數(shù)。

2.1.3 預(yù)測結(jié)果評價

為了對預(yù)測模型的預(yù)測性能進行有效評價，采用常用的兩個評價指標(biāo)對模型預(yù)測的準(zhǔn)確性進行描述，即均方根誤差RMSE和決定系數(shù)R2。RMSE衡量了預(yù)測值與實際值之間的偏差，而R2用于評估預(yù)測值與實際值之間的擬合程度。兩個評價指標(biāo)的計算公式如下：

(9)

(10)

2.2 基于GA的多目標(biāo)優(yōu)化

2.2.1 建立目標(biāo)函數(shù)

(1)混凝土抗凍性目標(biāo)函數(shù)

引入2.1節(jié)訓(xùn)練好的LSSVM回歸預(yù)測算法替代具體的數(shù)學(xué)函數(shù)作為多目標(biāo)遺傳算法中的目標(biāo)函數(shù)，可以很好地解決輸入變量與輸出之間存在高度非線性關(guān)系，無法給出具體函數(shù)表達(dá)式的問題。由式(4)可知，基于LSSVM的混凝土早期抗凍性回歸函數(shù)為

lssvm(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=

(11)

(2)經(jīng)濟成本目標(biāo)函數(shù)

在實際工程中，除了保證混凝土的抗凍性能，降低經(jīng)濟成本也是一項需要考慮的重要目標(biāo)。混凝土配合比的經(jīng)濟成本目標(biāo)函數(shù)為

(12)

式中：pi表示配合比參數(shù)的單價；xi表示混凝土配合比參數(shù)指標(biāo)。

2.2.2 建立約束范圍

為了使配合比優(yōu)化結(jié)果更加合理可行，需要根據(jù)工程實際情況，對目標(biāo)函數(shù)的各個決策變量取值范圍進行限制，形成變量的約束條件，其表達(dá)形式如下：

bil≤xi≤biu.

(13)

式中：xi代表第i個設(shè)計參數(shù)；bil和biu分別表示第i個設(shè)計參數(shù)值的下限和上限。

2.2.3 GA算法實現(xiàn)過程

筆者應(yīng)用GA算法實現(xiàn)混凝土配合比參數(shù)的多目標(biāo)優(yōu)化，以確定同時滿足混凝土抗凍性和經(jīng)濟成本最低的最優(yōu)配合比參數(shù)Pareto最優(yōu)解集。GA算法的具體優(yōu)化步驟如下[16]。

Step 1 種群初始化。根據(jù)優(yōu)化問題的實際情況確定初始種群規(guī)模有N個個體，即對種群進行初始化操作，形成初始種群。

Step 2 個體適應(yīng)度評價。根據(jù)GA算法目標(biāo)函數(shù)對初始種群中每個個體的適應(yīng)度值進行求解，從而對個體的適應(yīng)度進行評價。

Step 3 設(shè)置迭代次數(shù)。令當(dāng)前迭代次數(shù)為1，同時將種群的最大迭代次數(shù)設(shè)為200，從而確定種群的進化代數(shù)。

Step 4 個體選擇。設(shè)計合適的選擇算子對每一代種群進行個體選擇，選中的個體作為交叉變換的父代種群。

Step 5 交叉算子和變異算子進化群體?；诮徊娓怕屎妥儺惛怕蕦Ω复N群進行交叉、變異操作，使種群進化得到新的子代種群。

Step 6 令迭代次數(shù)加1，循環(huán)進行step3至step5的迭代操作，直到達(dá)到最大迭代次數(shù)，算法結(jié)束，獲得Pareto最優(yōu)解集。

3 案例分析

3.1 工程背景

吉林省某高速公路項目位于高寒高堿環(huán)境中，對混凝土抗凍性要求較高。筆者以C50混凝土為研究對象，從該項目七個標(biāo)段中獲取正交試驗和工程試驗所需的混凝土配合比參數(shù)及抗凍性能數(shù)據(jù)，其中相對動彈性模量為經(jīng)過300次凍融循環(huán)后的相對動彈性模量。

3.2 基于LSSVM的混凝土早期抗凍性預(yù)測

3.2.1 樣本收集及預(yù)處理

根據(jù)2.1節(jié)中建立的混凝土抗凍性指標(biāo)體系，可以確定LSSVM抗凍性預(yù)測模型的輸出指標(biāo)為相對動彈性模量，輸入指標(biāo)為水膠比、水泥用量、粉煤灰、細(xì)集料、粗集料、減水劑和硅灰用量。通過公路項目實際工程，共收集100組C50混凝土的樣本數(shù)據(jù)，具體數(shù)據(jù)見表1。對全部樣本進行歸一化預(yù)處理，然后隨機抽取其中80組樣本構(gòu)成訓(xùn)練集用來訓(xùn)練模型，為了檢驗?zāi)Ｐ偷姆夯阅?，將剩下?0組樣本作為測試集來驗證模型效果。

表1 C50混凝土抗凍樣本數(shù)據(jù)Table 1 Antifreeze sample data of C50 concrete

3.2.2 模型參數(shù)優(yōu)選

根據(jù)2.1節(jié)所述，采用網(wǎng)格搜索法和5折交叉驗證法對LSSVM回歸模型的懲罰系數(shù)C以及核函數(shù)參數(shù)g進行參數(shù)優(yōu)選，從而確定建立LSSVM混凝土抗凍性預(yù)測模型的最優(yōu)參數(shù)，相對動彈性模量預(yù)測參數(shù)優(yōu)化結(jié)果3D視圖如圖2所示。由圖2可知，當(dāng)懲罰系數(shù)C為84.448 5，核函數(shù)參數(shù)g為0.035 897時，5折交叉驗證后的均方誤差值最小，此時均方根誤差CVmse=0.004 655 8。

圖2 基于LSSVM的抗凍性預(yù)測模型參數(shù)優(yōu)化3D視圖Fig.2 Optimized 3D view of frost resistance prediction model parameters based on LSSVM

3.2.3 預(yù)測結(jié)果分析

根據(jù)參數(shù)優(yōu)選結(jié)果建立LSSVM混凝土抗凍性預(yù)測模型，利用該模型分別對訓(xùn)練集和測試集進行回歸擬合，訓(xùn)練集回歸擬合結(jié)果如圖3所示，測試集回歸預(yù)測結(jié)果如圖4所示。

圖3 相對動彈性模量訓(xùn)練集預(yù)測結(jié)果Fig.3 Prediction results of the training set of relative dynamic modulus of elasticity

圖4 相對動彈性模量測試集預(yù)測結(jié)果Fig.4 Prediction results of the test set of relative dynamic modulus of elasticity

由圖3可以看出，混凝土抗凍性預(yù)測模型訓(xùn)練集的均方根誤差為0.010 18，擬合優(yōu)度為0.938 98，模型擬合結(jié)果很好，說明該模型對輸入與輸出之間的決策規(guī)律進行了充分的學(xué)習(xí)，從而對訓(xùn)練樣本進行預(yù)測，其預(yù)測值與實際值之間誤差非常小。同時由圖4可以看出，混凝土抗凍性預(yù)測模型測試集的均方根誤差為0.002 516 3，擬合優(yōu)度為0.976 46，說明LSSVM預(yù)測模型測試集的預(yù)測值與實際值十分貼近。因此所建立的混凝土抗凍性LSSVM預(yù)測模型預(yù)測效果良好且泛化能力優(yōu)秀。

3.3 基于GA的混凝土配合比多目標(biāo)優(yōu)化

3.3.1 建立目標(biāo)函數(shù)

(1)混凝土抗凍性目標(biāo)函數(shù)

通過相對動彈性模量對混凝土抗凍性能進行衡量，將LSSVM回歸函數(shù)作為混凝土抗凍性目標(biāo)函數(shù)，設(shè)定300次凍融循環(huán)后的相對動彈性模量在95%以上，根據(jù)式(11)可得混凝土抗凍性目標(biāo)函數(shù)為

minf1(lssvm(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7))>95%.

(14)

式中：x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7分別表示水膠比、水泥用量、粉煤灰用量、細(xì)集料用量、粗集料用量、減水劑用量和硅灰用量。

(2)經(jīng)濟成本目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)工程實際情況確定混凝土各配合比參數(shù)的市場單價分別為水泥單價0.442元/kg，水單價0.002元/kg，砂單價0.136元/kg，石單價0.102元/kg，粉煤灰單價0.369元/kg，減水劑單價4.75元/kg，硅灰單價1.3元/kg。根據(jù)式(12)可以得到混凝土配合比的經(jīng)濟成本目標(biāo)函數(shù)為

minf2=0.442x2+0.002x1(x2+x3+x7)+

0.369x3+0.136x4+0.102x5+4.75x6+1.3x7.

(15)

3.3.2 建立約束范圍

在高強性能混凝土進行配制時，需要對原材料做出合理的選擇，筆者選擇P·O52.5水泥，密實的石灰?guī)r碎石等作為混凝土的粗骨料，加入適量粉煤灰、減水劑和硅灰，以增強混凝土和易性，同時在一定程度上提高混凝土的強度和抗凍性能。根據(jù)相關(guān)規(guī)范以及工程實際要求確定合理的配合比參數(shù)取值范圍，其中水膠比為0.28～0.4，水泥用量330～450 kg/m3，粉煤灰用量56～98 kg/m3，砂用量620～860 kg/m3，石用量1 030～1 150 kg/m3，新型高效減水劑用量為0.7～1.9 kg/m3，硅灰用量為18～28 kg/m3，同時混凝土強度也要達(dá)到一定要求。作為配合比優(yōu)化的約束條件，根據(jù)式(13)確定配合比參數(shù)的具體約束條件如下：

(16)

3.3.3 GA多目標(biāo)優(yōu)化

文中通過隨機遍歷抽樣進行選擇，使用單點交叉算子進行交叉操作，且交叉概率設(shè)置為0.7；通過設(shè)定某一概率隨機選擇變異的特征信息進行變異操作，設(shè)定變異概率為0.01；初始種群大小設(shè)置為40；最大遺傳代數(shù)設(shè)為60[17]。根據(jù)初始種群生成遺傳算子的選擇，基于上述建立的目標(biāo)函數(shù)和約束范圍，通過GA多目標(biāo)遺傳算法進行配合比全局尋優(yōu)，更新迭代60次后得到最優(yōu)配比組合如圖5所示，運行GA算法得到的40組最優(yōu)配比組合結(jié)果見表2。

表2 帕累托最優(yōu)解對應(yīng)的配合比參數(shù)及優(yōu)化結(jié)果Table 2 The matching parameters and optimization results of pareto optimal solution

由圖5可以看出，隨著相對動彈性模量的升高，混凝土的經(jīng)濟成本也在增加，其中相對動彈性模量在93%～98%取值，混凝土經(jīng)濟成本則在415～445元取值。而優(yōu)化目標(biāo)要求300次凍融循環(huán)后的相對動彈性模量在95%以上，因此根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)同時考慮成本因素，從表3中可以看出，當(dāng)相對動彈性模量達(dá)到目標(biāo)抗凍性要求時，混凝土最低的經(jīng)濟成本為426.925元，此時單位體積混凝土水膠質(zhì)量比為0.32，水泥用量為382.018 kg/m3，粉煤灰用量為67.615 kg/m3，細(xì)集料用量為656.018 kg/m3，粗集料用量為1103.52 kg/m3，減水劑用量為1.56 kg/m3，硅灰用量為18.0 kg/m3。在工程中，根據(jù)優(yōu)化得到的配合比進行混凝土配制，可以在保證混凝土抗?jié)B性要求的同時實現(xiàn)經(jīng)濟成本最低。采用筆者提出的智能方法，可以針對不同工程的實際需求，快速高效地進行混凝土配合比優(yōu)化調(diào)整，極大地提高了混凝土配合比設(shè)計的靈活性和效率。

圖5 GA多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果Fig.5 GA multi-objective optimization results

4 結(jié) 論

(1)筆者建立了一種基于LSSVM-GA的多目標(biāo)優(yōu)化模型，該模型不僅可以實現(xiàn)對混凝土抗凍性的高精度預(yù)測，還可以將得到的LSSVM抗凍性預(yù)測回歸函數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)，結(jié)合工程要求進行混凝土抗凍性及經(jīng)濟成本的多目標(biāo)優(yōu)化，快速得到最優(yōu)配合比組合，大大縮短試驗工作量和周期。

(2)筆者選取水膠比、水泥強度等8個因素作為輸入變量構(gòu)建基于LSSVM的混凝土抗凍性預(yù)測模型，預(yù)測結(jié)果的均方根誤差RMSE為0.0025163，決定系數(shù)為0.97646，表明采用LSSVM算法對混凝土抗凍性進行預(yù)測的精度很高，驗證了LSSVM模型在混凝土抗凍性預(yù)測中的可行性以及有效性。

(3)根據(jù)規(guī)范和工程實際情況及要求，針對混凝土抗凍性進行配合比優(yōu)化，當(dāng)相對動彈性模量和經(jīng)濟成本分別為95.0455%和426.925元時，得到混凝土抗凍性優(yōu)良的配合比組成，該模型目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果與工程實際相符，所提出的方法是一種智能、精確、高效的配合比優(yōu)化方法，對工程生產(chǎn)具有較好的指導(dǎo)作用。