基于節(jié)點構形度均衡化的單層網(wǎng)殼結構優(yōu)化設計研究

朱南海，李杰明

(1.江西理工大學土木與測繪工程學院，贛州 341000；2.江西省環(huán)境巖土與工程災害控制重點實驗室，贛州 341000)

大跨度空間網(wǎng)殼結構近年來被廣泛應用，其失效后往往造成嚴重的后果。穩(wěn)定性是單層網(wǎng)殼結構設計中需要考慮的一個重要內(nèi)容[1]，而節(jié)點構形度與單層網(wǎng)殼結構的穩(wěn)定性有著密切聯(lián)系。節(jié)點構形度是反映結構構件間連接能力的重要參數(shù)，節(jié)點連接能力差異越明顯表明結構存在薄弱區(qū)域，其整體性能也越差[2]。因此，研究節(jié)點構形度對提升結構的力學性能具有重要意義。

目前許多學者從多角度對結構的節(jié)點構形度進行了相應研究。Blockley等[3?4]基于構形度概念提出了結構拓撲構形易損性理論，通過研究結構幾何拓撲關系，將整體結構劃分成不同層次的結構簇，形成構件層級拓撲模型，通過解簇過程，分析結構可能出現(xiàn)的失效路徑，并識別各種失效路徑下結構構件連接中的薄弱部位。在此基礎上Agarwal等[5?6]提出了結構圓的概念，將結構拓撲構形易損性理論擴展到三維空間桁架體系和三維空間剛架體系，并考慮了結構在動力作用下的失效模式。England等[7]基于結構拓撲構形易損性理論，考慮外部荷載作用下結構可能出現(xiàn)的失效模式，并驗證了結構拓撲構形易損性理論識別結構薄弱易損部位的準確性。近幾年結構易損性理論也吸引了國內(nèi)許多學者的注意。葉繼紅等[8?12]以構形易損性理論分析單層球面網(wǎng)殼結構在地震作用下的失效機理，并通過實驗驗證其準確性。文獻[13? 14]基于結構簇、節(jié)點構形度與網(wǎng)殼倒塌破壞模式的聯(lián)系提出了地震作用下的結構倒塌模式優(yōu)化策略。文獻[2]基于節(jié)點構形度提出了以節(jié)點構形度的對數(shù)標準差作為評價單層球面網(wǎng)殼結構整體剛度均勻性指標。文獻[15? 16]提出了考慮了荷載條件，幾何非線性及約束的節(jié)點構形度計算方法。文獻[17]提出了結構節(jié)點構形度差異系數(shù)的概念，研究了網(wǎng)殼結構的極限承載力與節(jié)點構形度差異系數(shù)之間的關系。

本文基于結構拓撲構形易損性理論中的節(jié)點構形度概念建立了結構節(jié)點構形度差異性評價系數(shù)，以其作為反映網(wǎng)殼結構節(jié)點連接能力差異性的指標，在此基礎上將降低節(jié)點構形度差異系數(shù)作為優(yōu)化目標，考慮結構位移、構件長細比、強度及穩(wěn)定性等約束條件，通過粒子群算法優(yōu)化結構構件的截面尺寸，實現(xiàn)結構節(jié)點連接性能均衡分布，改善結構延性，提高結構極限承載力和整體性能。

1 節(jié)點構形度

結構節(jié)點構形度是構形易損性理論中的重要內(nèi)容之一，其可以反映結構構件間的連接能力，而結構構件連接能力的大小與節(jié)點構形度值有關[17]。節(jié)點k的連接性能可用K kk矩陣形式來表示。結構集成所有單元剛度矩陣可得到整體剛度矩陣K nn，其可寫成n×n階分塊矩陣，即：

式中：K kk為整體剛度矩陣中跟節(jié)點k有關的剛度子矩陣；n為結構節(jié)點個數(shù)。

節(jié)點的構形度可用下式表示為：

式中：Qj為節(jié)點j的構形度；nd為結構節(jié)點的自由度數(shù)。節(jié)點構形度反映了此節(jié)點的連接性能，節(jié)點構形度越大，表明此節(jié)點連接能力越強，抵抗荷載的能力越高，節(jié)點性能越好，構件間的連接性能越緊密；反之，節(jié)點構形度越小，表明其性能越差，結構在此節(jié)點抵抗荷載的能力越弱。

2 節(jié)點構形度差異系數(shù)

節(jié)點構形度是結構構件間連接性能的重要參數(shù)指標[2]。本文將結構節(jié)點構形度差異系數(shù)定義為節(jié)點構形度方差與其平均值的比值，即：

式中：nc為結構非約束節(jié)點的個數(shù)；Q為結構節(jié)點構形度的平均值。式(3)中分子表示整個結構節(jié)點構形度的離散程度，分母衡量結構內(nèi)部構件之間的平均連接性能。Sq越小表明結構節(jié)點連接性能分布越均衡，結構穩(wěn)定性越好。

3 網(wǎng)殼結構節(jié)點構形度的均衡優(yōu)化與實現(xiàn)

3.1 節(jié)點構形度差異系數(shù)的最小化

3.1.1優(yōu)化目標的確定

為實現(xiàn)結構剛度的均衡分布，減小結構節(jié)點連接性能的差異性，以圓鋼管截面的尺寸(外徑D和壁厚t)為優(yōu)化變量，將目標函數(shù)定義為：

式中，節(jié)點構形度差異系數(shù)Sq為構件i的外徑Di和壁厚ti的函數(shù)。

3.1.2約束條件

1)構件的長細比約束

根據(jù)《空間網(wǎng)格結構技術規(guī)程規(guī)定》(JGJ 7?2010)[18]規(guī)定，網(wǎng)殼結構構件的長細比約束可表示為：

式中：l0i為構件i的計算長度；αi為構件i的截面回轉(zhuǎn)半徑，λi為構件i的長細比；[λ]為構件的容許長細比，對受壓構件(軸壓構件、壓彎構件)[λ]取150，對受拉構件(軸拉構件、拉彎構件)[λ]取250。

2)結構最大位移約束

根據(jù)《空間網(wǎng)格結構技術規(guī)程規(guī)定》(JGJ 7?2010)[18]規(guī)定，網(wǎng)殼結構最大位移約束可表示為：

式中：δmax/(m)為結構最大豎向位移限值；L為結構短向跨度。

3)結構材料用量約束

為使結構經(jīng)濟合理，需控制其材料用量，結構材料用量約束可表示為：

式中：Veit為第it優(yōu)化步結構的總用鋼量；Ve0為結構允許最大用鋼量。

4)構件強度約束

根據(jù)《鋼結構設計標準》(GB 50017?2017)[19]結構構件強度約束可表示為：式中：Ni/(N)為構件i截面處的軸心壓力設計值；Mxi/(N·mm)、Myi/(N·mm)分別為同一截面處繞x軸和y軸的彎矩設計值；Ai/(mm2)為構件i的凈截面面積；γm為圓形構件的截面塑性發(fā)展系數(shù)，因所有截面庫中圓管截面板件寬厚比均符合S3級要求，γm=1.15；Wi/(mm3)為構件i的凈截面模量；f為鋼材的強度設計值。

5)構件穩(wěn)定性約束

根據(jù)《鋼結構設計標準》(GB 50017?2017)[19]壓彎構件穩(wěn)定性約束可表示為：

3.2 基于粒子群算法的節(jié)點構形度差異系數(shù)最小化的實現(xiàn)

粒子群優(yōu)化算法(PSO)是通過模擬鳥群覓食行為的一種進化計算技術，由Kennedy和Eberhart首次提出[20]，其基本思想是通過群體中個體之間的協(xié)作和信息共享來尋找最優(yōu)解。近來，PSO在各種工程優(yōu)化設計中廣泛應用，如結構形狀優(yōu)化[21]，結構拓撲優(yōu)化[22]和結構設計優(yōu)化[23?24]等。本文以構件截面尺寸為優(yōu)化參數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對節(jié)點構形度差異系數(shù)進行優(yōu)化，實現(xiàn)結構節(jié)點連接性能均衡分布，其步驟如下：

步驟1.算法初始參數(shù)設置和優(yōu)化問題初始化。

設置粒子空間搜索維數(shù)為P，粒子種群規(guī)模為m，搜索速度界限為Vmax、Vmin，學習因子為c1、c2，慣性系數(shù)為w。根據(jù)文獻[25]，選取ns種常用的鋼管，將選取的構件從1～ns編號(本文選取了196種常用鋼管，其外徑的取值范圍為89.0mm～406.0 mm，壁厚的取值范圍為2.5 mm～20.0 mm)。步驟2.粒子初始選取的構件編號及搜索速度初始化。

式中：w為慣性權重；c1、c2為學習因子；r1、r2為在(0,1)范圍內(nèi)產(chǎn)生的隨機數(shù)[26]。

基于粒子s在第it步選取的構件編號及it+1步的搜索速度，更新粒子在it+1步選取的構件編號。

步驟5.終止條件。

當粒子搜尋到最大迭代數(shù)目時，PSO算法終止，否則，重復步驟3和步驟4。

采用粒子群優(yōu)化算法，將結構構件截面尺寸作為優(yōu)化變量，以式(3)所示的節(jié)點構形度差異系數(shù)Sq最小化為目標函數(shù)，實現(xiàn)結構節(jié)點連接性能均衡分布，其優(yōu)化流程如圖1所示。

圖1 結構節(jié)點構形度優(yōu)化流程圖Fig.1 The flow chart of the optimization of nodal well-formedness

4 算例分析

4.1 40 m跨度K6N6單層球面網(wǎng)殼

如圖2所示的K6型單層球面網(wǎng)殼結構，跨度為40.0 m，矢高為8.0 m，周邊設置固定支座，節(jié)點為剛性連接，主肋及環(huán)向桿件截面尺寸為114.0 mm×4.0 mm，斜桿截面尺寸為 108.0 mm×3.5 mm，結構桿件均采用Q235鋼管，彈性模量為210.0 GPa，密度為7.85×103kg/m3，泊松比為0.3，桿件屈服強度為235.0MPa，各桿件的應力和結構位移均滿足設計要求。

圖2 一K6N6型單層球面網(wǎng)殼結構Fig.2 A K6N6 single-layer reticulated shell

作用于該網(wǎng)殼的荷載包括：球殼自重為0.4 kN/m2，球節(jié)點自重為 0.2 kN/m2，屋面板自重為0.6 kN/m2，設備管道自重為 0.4 kN/m2；活荷載為0.5 kN/m2。在計算結構內(nèi)力時，將網(wǎng)殼結構上的均布荷載設計值以等效集中荷載的形式作用于節(jié)點上，等效節(jié)點力為20.0 kN。

根據(jù)結構桿件的空間位置，從內(nèi)到外以及從徑向桿件到斜向桿件再到環(huán)向桿件的順序?qū)⒔Y構桿件劃分為11組，每組桿件采取相同的截面尺寸，桿件分組如表1和圖3所示。

圖3 K6N6型單層球面網(wǎng)殼的桿件分組(1/6模型)Fig.3 Member group of the K6N6 single-layer reticulated shell (1/6 model)

表1 K6N6型單層球面網(wǎng)殼的桿件分組Table 1 Member group of the K6N6 single-layer reticulated shell

將各組桿件截面尺寸作為優(yōu)化參數(shù)，以結構節(jié)點構形度差異系數(shù)最小化為目標函數(shù)，采用粒子群優(yōu)化算法對結構桿件的截面尺寸進行優(yōu)化，圖4為目標函數(shù)值的變化過程曲線。由此可知，優(yōu)化過程中結構節(jié)點構形度差異系數(shù)不斷減小，最后趨于平穩(wěn)，原結構節(jié)點構形度差異系數(shù)數(shù)值較大，節(jié)點連接能力差異較大，優(yōu)化后結構節(jié)點構形度差異系數(shù)數(shù)值明顯減小，其數(shù)值從0.358降到0.273。在控制結構材料用量不高于原結構的條件下，優(yōu)化后各組桿件的截面尺寸如表2所示。此時結構桿件的最大長細比為106.0，按桿件強度驗算其最大應力為170.58N/mm2，按結構穩(wěn)定性驗算其最大應力為208.69N/mm2，均滿足設計約束條件。

圖4 優(yōu)化中K6N6型單層網(wǎng)殼的節(jié)點構形度差異系數(shù)曲線Fig.4 The differencecurve of nodal well-formednessin the optimization of the K6N6 single-layer reticulated shell

表2 K6N6型單層網(wǎng)殼結構優(yōu)化后的桿件尺寸Table 2 The member cross-sectional dimensions in each group of the K6N6 single-layer reticulated shell after optimization

對該網(wǎng)殼結構進行靜力極限承載力分析，其初始幾何缺陷最大計算值按《空間網(wǎng)格結構技術規(guī)程規(guī)定》(JGJ 7?2010)[18]要求的L/300進行施加，由此可得結構荷載-位移曲線如圖5所示。由圖5可知，優(yōu)化后結構極限承載力由30.386 kN增加到33.035 kN，高于等效節(jié)點荷載20.0 kN，有效提升了結構的安全性。同理對結構施加三向El-Centro地震波，逐級提高地震加速度峰值，得到地震加速度峰值-節(jié)點最大位移曲線(圖6)及地震加速度峰值-桿件屈服比例曲線(圖7)，由圖6及圖7可知，優(yōu)化前結構在地震加速度峰值達到550 gal時，結構節(jié)點最大位移為0.094 m，桿件屈服比例為0.451，而地震加速度峰值達到600 gal時結構節(jié)點最大位移增大到0.507 m，結構發(fā)生動力失穩(wěn)破壞；優(yōu)化后隨著加速度峰值的提高結構位移逐漸增大，結構發(fā)生倒塌破壞時地震加速度峰值提升到655 gal，對應的結構位移和桿件屈服比例分別為0.486 m、0.693，破壞模式為強度破壞。分析結果表明，通過優(yōu)化節(jié)點構形度差異系數(shù)，調(diào)整結構桿件截面尺寸，可實現(xiàn)網(wǎng)殼結構節(jié)點連接性能分布趨于均衡，其延性和極限承載力有較大提升，地震作用下結構破壞模式有所改善。

圖5 K6N6型單層球面網(wǎng)殼結構荷載-位移曲線Fig.5 Maximum displacement-load of the K6N6 single-layer reticulated shell

圖6 K6N6型網(wǎng)殼結構地震加速度峰值-位移曲線Fig.6 Maximum displacement-acceleration amplitude of the K6N6 single-layer reticulated shell

圖7 K6N6型網(wǎng)殼結構地震加速度峰值-桿件屈服比例Fig.7 Yield element ratio-acceleration amplitude of the K6N6 single-layer reticulated shell

4.2 15 m跨度單層柱面網(wǎng)殼

如圖8所示的單層柱面網(wǎng)殼結構，跨度為15.0 m，長度20.0 m，矢高為3.0 m，縱向設置固定支座，結構桿件材料采用Q345鋼材，桿件截面尺寸為114.0 mm×4.5 mm，彈性模量為210.0 GPa，密度為 7.85×103kg/m3，泊松比為0.3。桿件屈服強度為345.0MPa，等效節(jié)點力為10.5 kN，各桿件的應力和結構位移均滿足設計要求，結構桿件分組如表3和圖9所示。

圖8 一單層柱面網(wǎng)殼結構Fig.8 A cylindrical reticulated shell structure model

圖9 單層柱面網(wǎng)殼的桿件分組(1/4模型)Fig.9 Member group of the cylindrical net shell (1/4 model)

表3單層柱面網(wǎng)殼的桿件分組Table 3 Member group of thecylindrical net shell

同理采用粒子群優(yōu)化算法對結構桿件的截面尺寸進行優(yōu)化，圖10為目標函數(shù)值的變化過程曲線。由圖10可知，原結構的節(jié)點構形度差異系數(shù)數(shù)值較大，說明各節(jié)點間的連接能力差異較大，優(yōu)化后節(jié)點構形度差異系數(shù)明顯減小，其值從0.658降至0.536。在控制結構材料用量不高于原結構的條件下，優(yōu)化后各組桿件的截面尺寸如表4所示。此時結構桿件的最大長細比為86.5，按桿件強度驗算其最大應力為286.14N/mm2，按結構穩(wěn)定性驗算其最大應力為307.01N/mm2，均滿足設計約束條件。

圖10 優(yōu)化中柱面網(wǎng)殼的節(jié)點構形度差異系數(shù)曲線Fig.10 The difference curve of nodal well-formedness in the optimization of the cylindrical net shell

表4 優(yōu)化后單層柱面網(wǎng)殼各桿件的截面尺寸Table 4 The member cross-sectional dimensionsin each group of thecylindrical net shell after optimization

同理對該網(wǎng)殼結構進行極限承載力分析得到結構的荷載-位移曲線(圖11)。由此可知，優(yōu)化后結構的極限承載力由20.68 kN增加到27.40 kN，遠大于等效節(jié)點荷載標準值10.5 kN，其安全性能得到有效提升。同理對結構施加三向El-Centro地震波，得到的地震加速度峰值-節(jié)點最大位移曲線及地震加速度峰值-桿件屈服比例曲線如圖12、圖13所示，可知，原結構隨著地震加速度峰值不斷提高，其剛度不斷弱化，地震加速度峰值為550 gal時結構位移為0.260 m，地震加速度峰值再增加50 gal時，其位移突增，結構發(fā)生強度破壞；而優(yōu)化后，地震加速度峰值達到700 gal時，結構發(fā)生倒塌破壞，此時結構位移為0.438 m，屈服桿件比例為0.500，其抗震能力有明顯提升。同樣說明通過優(yōu)化結構桿件的截面尺寸，降低結構節(jié)點構形度差異系數(shù)數(shù)值，可有效地提升結構的穩(wěn)定性，結構極限承載力及抗震性能得到有效改善。

圖11 柱面網(wǎng)殼結構的荷載-位移曲線Fig.11 Maximum displacement-load of the cylindrical net shell

圖12 柱面網(wǎng)殼結構的地震加速度峰值-位移曲線Fig.12 Maximum displacement-acceleration amplitude of thecylindrical net shell

圖13 柱面網(wǎng)殼結構的地震加速度峰值-桿件屈服比例Fig.13 Yield element ratio-acceleration amplitude of thecylindrical net shell

5 結論

本文基于結構構形易損性理論中的節(jié)點構形度概念提出了節(jié)點構形度差異系數(shù)，用于評價網(wǎng)殼結構節(jié)點的連接能力，在此基礎上，為合理利用材料，以降低節(jié)點構形度差異系數(shù)為優(yōu)化目標，通過粒子群算法優(yōu)化結構桿件截面尺寸，實現(xiàn)結構整體剛度分布的均衡性，以提高結構的極限承載力和整體性能。主要結論如下：

(1)基于節(jié)點構形度概念建立的節(jié)點構形度差異系數(shù)可以準確評價結構剛度分布的均衡性，結構節(jié)點構形度差異系數(shù)值越大，結構剛度越不均衡，對其極限承載力和抗震性能影響較大。

(2)以降低結構節(jié)點構形度差異系數(shù)為目標函數(shù)，通過優(yōu)化各桿件的截面尺寸，可實現(xiàn)結構剛度的均衡分布。結構極限承載力明顯提升，地震作用下其破壞模式顯著改善，結構整體剛度弱化過程有所延長。