應急物流保障約束下的選址與資源配置研究

陳 亮

（黃山學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院，安徽 黃山245041）

1 前言

我國是一個自然災害高頻發(fā)生的國家，歷次的地震、洪水、臺風等自然災害給我國的經濟建設和人民的財產安全帶來了嚴重影響。而我國每年花費在應對這些災害所造成的物流成本特別高。應急物流建設的成敗直接關系到人民生命財產安全，關系到社會的長治久安。從戰(zhàn)略層角度說，它與國家、政府、人民群眾的利益密不可分；從戰(zhàn)術層的角度來說，它又關系著百姓的安居樂業(yè)。所以應該結合戰(zhàn)略層和戰(zhàn)術層考慮，層層搞好應急物流建設，保障國家穩(wěn)定發(fā)展，人民生活安康[1]。

本文結合自然災害和救災物流的特點，定量化地研究了正常條件下救災資源儲備庫的選址和物資配置，模型加入了一個懲罰系數(shù)，因此模型含有一定的魯棒性[2]。通過對模型進行擴展，對約束條件提出更加嚴格的保障，建立了一個具有服務質量保障約束的儲備庫選址和資源配置的模型，并對參數(shù)進行靈敏度分析，并結合實例做出研究，解釋了加入的約束條件對模型的影響，對考慮實際問題做出了一些啟示[3]。

通過對選址與配置模型作簡要的研究，可事先在不確定環(huán)境的情形下做出最佳決策，在相應的節(jié)點存放一定數(shù)目的物資來應對各種不同的可能發(fā)生的自然災害。目標則是一種權衡，在儲存費用和懲罰費用之間做出決策，而有些災害發(fā)生概率較低，破壞程度高，一旦發(fā)生可能事先存放的物資均遭到毀壞，不僅浪費了資源，增加了額外的儲存費用，也可能由于物資的毀壞而帶來未滿足需求，增加了懲罰費用，若將所有情景下所有物資需求均考慮到，最大程度上的減少懲罰費用，問題將變成只有過分儲存費用而沒有懲罰，這無疑增加了問題難度也缺乏實際意義。因此最小化成本模型舍棄一些發(fā)生概率低同時破壞程度極高的自然災害，考慮那些可控性高的情景模型，即做出的努力就可降低模型的成本[4]。本文提出了一個帶有服務質量保障約束的資源選址與配置模型，在不確定性的環(huán)境下服務質量保障約束是從物資的數(shù)量和運送的距離兩個方面考慮的，首先提供一個可信度水平α，即一些情景的發(fā)生概率和，在可信度水平下情景需求均得到滿足，在道路網絡中提供充足的物資，保障了物資的數(shù)量；然后限制每種物資在整個救災過程中運送總距離，這比數(shù)量保障在災害的應急響應上更加嚴格[5]。

2 帶有服務質量保障約束的選址與資源配置模型

2.1 問題描述

在本模型中，我們加入情景模型。對不同情景進行定義區(qū)分，設置可靠集合，每個情景都可能被選入到可靠集合內，可靠集合內部的情景需求必須得到滿足，且物資運送距離也有一定的限制，可靠集合之外的情景運送距離不受限制，且物資需求未滿足時要接受懲罰。同時庫存的容量的道路的流量是受到一定限制，物資的獲取主要通過事先儲備庫的調配，暫不考慮其他途徑。因為不同情景下的需求不同，不能確定所有需求均得到滿足，為此增加未滿足需求的懲罰函數(shù)，在一定程度上提高了模型的魯棒性[6]。

2.2 數(shù)學模型

考慮庫存因素未涉及具體車輛路線，結合參數(shù)α和Dk（單位物資運送距離）的設置以及倉庫類型對最優(yōu)解的影響，考慮了事先存放物資的完好性和道路的毀壞性，在不同情景下需求情況和道路狀況是不同的，通過離散化情景對不確定性構建[7]。

集合：

A為弧的集合，?(i,j)∈A；

S為情景集合，s∈S；

N為所有節(jié)點的集合，I為所有需求點集合，即所有候選節(jié)點，i∈I；

K為物資種類集合，k∈K，L為倉庫集合，l∈L。

參數(shù)：

Fil為在需求點i建庫存l的固定費用，不同類型的固定費用不同；

bk為單位物資k的容量；

Ml為庫存l的最大容量；

qk為單位物資k的儲存費用；

hk單位物資k未使用的額外儲存費用；

Dk單位物資k的運送距離上限；

pk為單位物資k的懲罰費用，一般比物資的購買價格和儲存費用高出多倍；

dij為從i到j的距離；

為情景s下災后道路i到j容量上限；

Ps為情景s發(fā)生的概率，；

u為一個無窮大數(shù)

決策變量：

yil為0-1變量，表示是否在需求點i建立類型為l的庫存；

為情景s下i點存放物資k的未使用量；

為情景s下的i點物資k未滿足量，由于倉庫事先存放的不足；

γs為0-1變量，表示情景s是否被選入到可靠集合中。

數(shù)學模型：

模型是一個兩階段的隨機混合整數(shù)規(guī)劃問題，yil和rk i為第一階段變量，在未知任何具體的災難情景前做出的；、γs第二階段變量，都依賴于情景變化的，也稱資源變量。通常在問題規(guī)模不是很大的情況下，可以將模型進行擴展變形轉化為確定性等價列的方法進行求解，簡化問題的難度[8]。

式（4.1）表示兩階段總費用的最小和，其中有第一階段事先選址時所有需求點的建立、所有類型倉庫固定費用和物資的儲存費用，該階段發(fā)生在災害前，與情境無關，第二階段的費用為所有節(jié)點之間物資的運輸費用、資源未使用部分的額外存儲費用以及需求點所需物資未得到滿足的懲罰費用，該階段發(fā)生在災害后，決策變量與情景有關。式（4.2）是流量平衡約束，在所有情景下每個節(jié)點的每種物資進入量都應等于進出量，是災難發(fā)生后可以使用未遭到破壞的物資數(shù)量，其中和分別為未使用量和未滿足量，二者不能同時存在。式（4.3）為庫存容量限制約束，即事先在所有節(jié)點存放的物資的容量總和必定不能超過該點設置倉庫的容量。式（4.4）為倉庫類型的約束，即在某點設置倉庫時只能選擇一種倉庫類型。式（4.5）限制了每種物資從出發(fā)點到受災點的運送距離，可靠集合內的情景下的運送均要受到限制，u是一個相當大的數(shù)，因此可靠集合外的情景不做運輸距離的要求。式（4.6）為道路流量上限約束，考慮到災害可能會對道路的通行能力造成影響，每條道路上的所有物資的運輸流量都應受到限制。式（4.7）定義了可靠集合，集合內的所有情景發(fā)生概率和不得小于α。式（4.8）確保了可靠集合內的所有情景下的物資需求均得到滿足。式（4.9）、（4.10）為第一階段決策變量的取值約束。式（4.11）、（4.12）、（4.13）為第二階段決策變量取值約束。式（4.5）、（4.7）、（4.8）約束為服務質量保障約束，從物資的數(shù)量和距離兩個方面保障了服務的質量，提高了模型的服務能力與水平，也便于在設置不同參數(shù)條件下更好地對模型進行分析，更具有理論特色和實際意義[9，10]。

3 模型求解和算例分析

3.1 算例描述

為了簡化問題的規(guī)模和更好地分析服務質量保障約束對選址與配置最優(yōu)解特征的影響，考慮5個節(jié)點6段道路連接的網絡，具體的節(jié)點位置如圖1所示，圖上的數(shù)字代表距離，也被用于運輸費用，道路上的運輸費用在表1中說明，假設沒有道路連接遭到毀壞，運輸網絡仍然是緊密連接的，所以道路的通行是沒有流量限制，為了簡化假設物資在每段道路上的運輸費用是一樣的，同時只考慮一種可以事先儲備充分的物資，表2給出了3種情景下需求點的位置和需求量。每種倉庫的固定費用和容量大小由表3提供，同時考慮3種不同情景下的救援工作，每種情景發(fā)生的概率是已知的，而且概率和為1。每種情景都有可能對網絡道路的流量和事先存放的物資有一定的影響，進而產生大量需求。費用單位為元，容量單位和需求量單位為噸。

圖1 簡單網絡結構情況

表1 道路運輸費用情況()

表1 道路運輸費用情況()

FROM/TO 1 2 3 4 5 1 9999 9999 1 1.4 9999 2 9999 9999 9999 1.4 1 3 1 9999 9999 1 9999 4 1.4 1.4 1 9999 1 5 9999 1 9999 1 9999

表2 情景下物資需求量()

表2 情景下物資需求量()

Probability Node1demand Node2demand s=1 0.45 50 0 s=2 0.45 0 50 s=3 0.1 100 100

表3 倉庫固定建設費用和容量大小

3種情景下的情況：第一種情景發(fā)生概率為0.45，p()1=0.45，節(jié)點1有需求，而且事先存放在1的物資有一半遭到毀壞；第二種情景p()2=0.45，與情景1下相同的情況發(fā)生在情景2下的節(jié)點2；第三種情景下事先存放在1和2的物資得到毀壞，節(jié)點1和2對物資都有較多的需求，p()3=0.1。因此我們盡量選址建在更安全的地方如節(jié)點3、節(jié)點4或者節(jié)點5，可以分析出小型庫存即可滿足情景1和情2的需求量，但是一旦情景3發(fā)生就沒有一種倉庫可以滿足，只能建立多個倉庫了。假設物資的單位購買價格是5，單位容量為1，物資未得到滿足的單位懲罰費用是購買價格的10倍，而物資存儲過量的單位儲存費用為購買價格的1/2，我們盡量使得物資得到滿足，目標函數(shù)是在物資的儲存費用、運輸費用和懲罰費用中的權衡，總和最小。

3.2 模型求解

該實例第一階段共有15個變量，第二階段有48個變量，通過線性規(guī)劃求解器可以進行求解，方法是將救災中的不確定性通過情景的構建轉為確定性問題求解，需求是通過實例數(shù)據和應急系統(tǒng)預測得到，并對道路和網絡狀況做出假設，真實的數(shù)據具有一定的參考意義，也便于我們后續(xù)分析。

當沒有服務質量保障約束時即沒有約束條件（5）、（7）、（8）時，問題的最優(yōu)解是在節(jié)點4建立一個容量為100的小倉庫，并且存滿物資。從最優(yōu)結果上看，選址似乎變得很敏感，節(jié)點4位于網絡的最中間，也在節(jié)點1和節(jié)點2之間，到兩點的距離和是最近的，不確定節(jié)點1和節(jié)點2是否有需求，所以選在保守的節(jié)點4儲備物資。目標函數(shù)依然是對各個部分費用的折衷權衡，包括建廠的固定費用，物資儲存費用，物資運輸費用以及可能發(fā)生的懲罰和過度儲存成本，在節(jié)點4建立小庫存滿足了情景1和情景2下物資需求，但當情景3發(fā)生時，節(jié)點1和2均需求100單位物資，超過了事先在節(jié)點4小庫存的容量，所以不得不考慮在該情景下是選擇不滿足需求帶來的懲罰還是盡量滿足需求帶來的額外費用。考慮到情景3的發(fā)生概率只有0.1，而在該情景下未達到物資滿足所接受的懲罰費用要低于選擇更大容量的倉庫的固定費用和儲存成本，所以我們將舍棄對情景3的需求研究，接受懲罰。目標費用最優(yōu)值是1339.5，而在節(jié)點4選擇大庫存費用為1409。選擇大庫存導致額外支付的固定成本和儲存費用要大于懲罰。

盡管小倉庫的容量只有100，但將物資存滿達到容量上限是值得的，即使在情景1和情景2的概率和為0.9的情況下會有物資的未使用而過多承擔儲存費用，這些費用也小于在情景3的發(fā)生概率為0.1的情況下帶來的物資懲罰費用，這種做法是可行的。

具體情景下物資調運情況：用[]±來代表物資的需求和供應情況，“+”表示需求，“—”表示供應。

S=1時，

節(jié)點1：v1[-50]+r1[0]+x41[50]=[0]

節(jié)點2：v2[0]+r2[0]=[0]

節(jié)點3：v3[0]+r3[0]=[0]

節(jié)點4：v4[0]+r4[100]+x41[-50]=[50]

節(jié)點5：v5[0]+r5[0]=[0]

情景1下所有節(jié)點的所有物資均得到滿足，同時由于存儲數(shù)量大于需求量，產生了未使用的物資的儲存費用，運輸費用為50×1.4=70，物資存儲費用為50×2.5=125，第二階段總費用為0.45×(70+125)=87.75。

S=2時,

節(jié)點1：v1[0]+r1[0]=[0]

節(jié)點2：v2[-50]+r2[0]+x42[50]=[0]

節(jié)點3：v3[0]+r3[0]=[0]

節(jié)點4：v4[0]+r4[100]+x42[-50]=[50]

節(jié)點5：v5[0]+r5[0]=[0]

情景2下和情景1大致相同，只是需求點從1變到了2，有50單位物資未使用，運輸費用為50×1.4=70，未使用物資存儲費用為50×2.5=125，第二階段總費用為0.45×(70+125)=87.75。

S=3時,

節(jié)點1：v1[-100]+r1[0]+x41[50]=[-50]

節(jié)點2：v2[-100]+r2[0]+x42[50]=[-50]

節(jié)點3：v3[0]+r3[0]=[0]

節(jié)點4：v4[0]+r4[100]+x42[-50]+x41[-50]=[0]

節(jié)點5：v5[0]+r5[0]=[0]

情景3下存在為滿足需求，1和2的需求大于4點存放物資的數(shù)量，且事先存放在1和2的物資全部被毀壞，需要接受懲罰，懲罰費用為100×50=5000，運輸費用為100×1.4=140，第二階段總費用為0.1×( )140+5000=514，所以在4節(jié)點存放100單位物資的最優(yōu)決策目標值為650+87.75+87.75+514=1339.5。

最優(yōu)解在節(jié)點4建立小庫存存放100單位物資是可以滿足情景1和情景2下物資的需求，但無法滿足情景3下節(jié)點1和節(jié)點2的需求，所以本模型的可信度水平為情景1和情景2的發(fā)生概率和，即為0.9,該模型能夠在此概率上滿足需求保障服務數(shù)量來達到最優(yōu)；單位物資運送距離由網絡圖中顯示，最大距離不超過1.4，即為單位物資平均運送距離上限。

3.3 靈敏度分析

根據上個實例的結果分析，服務質量保障的兩個參數(shù)α=0.9，Dk=1.4，我們把這二者加入到模型中作考慮，當α≤0.9，Dk>1.4時，對模型的最優(yōu)解沒有影響，但若對服務質量保障提出更高的要求，要求物資的數(shù)量更為充足以防懲罰的出現(xiàn)，或者對物資運送距離提出更短的限制，那么在節(jié)點4建立小庫存且存放100單位物資的最優(yōu)解將不再適應了。當α>0.9時，則要求滿足所有情景下的物資需求，本實例中情景3的發(fā)生概率為0.1，若低于0.1，還存在其他情景，那么當α>0.9時就不用考慮所有情景。若必須改變傳統(tǒng)的解，可以選擇建立大庫存或者在更多的節(jié)點存放物資來保障物資充分供應，如果建立兩個存儲中心的話，節(jié)點3和節(jié)點5不失為很好的選擇，最優(yōu)解將變?yōu)樵谶@兩個節(jié)點建立容量為100的小庫存，總容量滿足所有情景下的物資需求，即使在最壞的情景3下也能滿足需求，此情況下的最優(yōu)目標值為1420，相比原來沒有加入服務質量保障約束時提高了6%，可以將提高的6%看成更高要求的服務質量的邊際價格。

如果對單位物資運送距離提出更高的約束，Dk<1.4時，傳統(tǒng)的解也同樣不再符合，為了保障運輸距離更近不得不增加存儲中心的數(shù)量，最優(yōu)解也由在節(jié)點4建立庫存變?yōu)榉謩e在節(jié)點3和節(jié)點5都建立庫存，兩個存儲中心運送到各個潛在的需求點的距離就變得更近了。

當然α和Dk的變化不一定會帶來相同的最優(yōu)解的變化。在模型中儲存?zhèn)}庫的類型分為多種，可從庫存容量出發(fā)，將大型庫存容量由150變?yōu)?00。α的提高可能要求增加物資儲備，但儲備量受到庫存容量的限制，或者增加儲備倉庫的數(shù)量，而Dk的降低一般要求增加存儲倉庫的數(shù)目來保障距離約束了，庫存容量的大小影響著這兩個參數(shù)變化帶來的不同結果，通過求解可以看到：（1）當沒有加入服務質量保障約束時，大倉庫容量的變化沒有對解的情況產生影響，因為即使選擇新的倉庫在節(jié)點4建立大庫存，其潛在降低的懲罰費用沒有超過可能帶來的儲存費用，權衡后的解依然不變；（2）當服務質量保障約束加入到模型中，α>0.9時最優(yōu)解則變?yōu)樵诠?jié)點4建立容量為200的庫存并填滿庫存，為滿足所有情景下的需求，特別是最壞情景3下的200單位物資，而大庫存正好符合。Dk<1.4時最優(yōu)解不受影響，仍然是在節(jié)點3和節(jié)點5建立兩個小庫存，因為大倉庫的容量提高對運輸距離沒有影響，即使要換成新的倉庫仍然要在至少兩個點建立存儲倉庫才能保障運送距離，不僅費用會大幅度提高，也沒有使運送距離有所保障。

將α和Dk兩個參數(shù)的變化對解的結構的影響總結在表4和表5中。

表4 大庫存容量150的最優(yōu)解結構的變化情況

表5 大庫存容量200的最優(yōu)解結構的變化情況

4 結論與展望

模型中的目標函數(shù)是一種對各部分費用的折衷權衡。最優(yōu)解也是在α和Dk的確定下的權衡結果。隨著α的提高，模型就要卷入更多的情景考慮，把更多的情景納入到可靠集合中，保障更大概率的救災需求，這無疑將增加難度，要求事先存放更多數(shù)量的物資，相應的可行措施為選擇庫存容量大的倉庫存滿物資，或者選擇更多的節(jié)點存放物資，這依賴于α和Dk的具體數(shù)值。

當單位物資最大運送距離的約束變緊時，則要求在可靠集合內的運輸距離變得更近，只能采取提高存儲中心的數(shù)目這一措施來保障。把α和Dk結合起來，當服務質量保障約束變得更嚴格時，α變大，Dk變小，這就可能導致選擇更多的存儲中心、存放更多的物資、更近的運送距離在可靠集合內的情景中?？梢詫⒍叻珠_研究，固定一個參數(shù)來研究另一個的變化給解結構帶來的影響，當然也可將二者結合起來，目標函數(shù)的最優(yōu)值通常就是將二者結合來優(yōu)化分析。

本文主要在學者研究的基礎上對救災物資儲備庫選址與資源配置模型做出延展，提出了服務質量保障約束的概念，并把它加入到模型中，使得模型從救災物資的數(shù)量和物資運送距離兩個方面都有了保障，對救災服務質量有了更為嚴格的要求。通過一些實例求解分析，得出α和Dk兩個參數(shù)的變化對最優(yōu)解結構的影響，以及庫存的變化對模型的影響，通過設置可靠集合更加清楚模型能夠解決的實際救災問題，以及增加的服務質量保障約束的邊際價格，對實際研究救災物流有很大的幫助。同時最優(yōu)解的變化也對應急救援決策者在救災工作中提供了理論參考，具有較大的實踐意義。