(7)
(8)
X=0.14exp(23*εy)
(9)
(10)
式中：HG為材料硬度幾何極限；Aeq為等效接觸面積；a為接觸半徑；
1.3 彈性卸載接觸模型
當(dāng)接觸力和侵入深度達(dá)到最大時(shí)，碰撞體之間開始有分離趨勢，進(jìn)入卸載階段。在卸載期間，接觸體的分離過程被假設(shè)為彈性行為，利用赫茲模型做近似求解，同時(shí)根據(jù)Jackson等關(guān)于殘余深度的有限元計(jì)算結(jié)果[14]，建立彈性卸載接觸模型，其表達(dá)式如下所示
(11)
(12)
(13)
式中：Rres和wres分別為碰撞結(jié)束后的殘余等效半徑和殘余深度。
1.4 恢復(fù)系數(shù)
目前關(guān)于恢復(fù)系數(shù)的定義主要是基于牛頓運(yùn)動(dòng)學(xué)恢復(fù)系數(shù)、Poisson定義的動(dòng)力學(xué)恢復(fù)系數(shù)和Stronge定義的能量恢復(fù)系數(shù)[15]。根據(jù)文獻(xiàn)[10]可知，在考慮外力作用的沖擊過程時(shí)，Stronge能量恢復(fù)系數(shù)具有較好的計(jì)算結(jié)果，因此，本文采用Stronge定義的能量恢復(fù)系數(shù)
(14)
式中：W1和W2分別代表壓縮和恢復(fù)階段接觸力所做的功。
1.5 恒定外力的影響
考慮兩碰撞體分別在同一方向恒定外力Fi和Fj作用下的法向?qū)π呐鲎?，其中兩碰撞體的質(zhì)量分別為mi和mj，則外力作用下的等效外力為
Fe=mea
(15)
me=m1m2/(m1+m2)
(16)
a=F1/m1-F2/m2
(17)
式中：me為兩碰撞體的等效質(zhì)量；a恒定外力作用下的相對加速度。
由式(15)可知，在恒定外力的作用下可能發(fā)生三種碰撞情況，即a>0，a=0和a<0，分別代表著加強(qiáng)碰撞、不影響碰撞和減弱碰撞，本文研究是關(guān)于a≥0的情況下恒定外力對恢復(fù)系數(shù)的影響。
(18)
式(18)用來考慮等效恒定外力的影響因子，在a≥0的情況下，其ε的取值范圍0≤ε<1。
傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型認(rèn)為恒定外力相對于碰撞過程中的接觸力較小，因此通常忽略恒定外力的影響。根據(jù)圖1中接觸力和侵入深度關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)，曲線的包圍面積代表能量耗散的大小，而碰撞過程中的能量耗散用恢復(fù)系數(shù)表示，故在較小的初始速度下恒定外力對碰撞過程中的恢復(fù)系數(shù)影響較大，而當(dāng)初始速度較大時(shí)，恒定外力的影響逐漸減小，可以忽略外力影響，這與傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型理論相同。因此，本文的研究應(yīng)用主要集中在低速重載的碰撞過程。
圖1 恒定外力對接觸力的影響
1.6 彈性壓縮階段
對于彈性碰撞過程，發(fā)生在開始接觸到侵入深度達(dá)到臨界侵入深度時(shí)，在該碰撞過程中由于能量損失主要是通過應(yīng)力波的形式傳播并且相對較小，故在一般計(jì)算過程中認(rèn)為彈性碰撞沒有能量損失。同時(shí)由式(4)可知，臨界侵入深度只與屈服強(qiáng)度、彈性模量和碰撞體半徑有關(guān)，因此，在碰撞過程中，恒定外力的作用并不影響材料的臨界侵入深度，故本文在后面的研究中通過臨界侵入深度判斷碰撞發(fā)生的階段。在彈性壓縮階段，外力作用下的彈性變形過程中的能量守恒公式如下所示
(19)
式中：V為碰撞過程中某一時(shí)刻的速度；V1為初始接觸速度；w為某一時(shí)刻對應(yīng)的侵入深度。
結(jié)合式(1)和式(19)可得
(20)
積分后得
(21)
通過計(jì)算可得彈性碰撞過程中的速度公式
(22)
隨著彈性壓縮階段的結(jié)束，材料開始有塑性變形發(fā)生，此時(shí)碰撞體的侵入深度大于臨界侵入深度，進(jìn)入彈塑性碰撞階段。為確定進(jìn)入彈塑性碰撞階段時(shí)的碰撞體速度，將w=wc代入式(22)中可得
(23)
該計(jì)算結(jié)果為在恒定外力和初始速度作用下，達(dá)到臨界侵入深度時(shí)的速度計(jì)算公式。為確定碰撞過程中碰撞開始進(jìn)入彈塑性碰撞階段時(shí)的臨界初始速度，即臨界速度為0時(shí)的碰撞初始速度
(24)
結(jié)合式(4)和式(24)可得
(25)
式中：Vy為臨界初始速度，當(dāng)V1Vy時(shí)則該碰撞進(jìn)入彈塑性碰撞階段。
1.7 彈塑性壓縮階段
在碰撞過程中，隨著侵入深度的增加，當(dāng)侵入深度大于臨界侵入深度時(shí)，碰撞進(jìn)入彈塑性階段。碰撞過程開始有塑性變形發(fā)生，并且隨著侵入深度的增加，其接觸力與侵入深度的關(guān)系不再符合赫茲接觸力模型，需要引入式(10)所示的接觸力隨侵入深度變化關(guān)系。
在碰撞過程中初始動(dòng)能及恒定外力所做的功均通過碰撞體接觸部分的變形轉(zhuǎn)化為碰撞體的應(yīng)變能，因此，在彈塑性碰撞階段，碰撞體的應(yīng)變能變化的計(jì)算公式為
(26)
結(jié)合式(23)和式(26)可得
(27)
當(dāng)碰撞達(dá)到最大侵入深度wm時(shí)，則此時(shí)V=0，初始速度與侵入深度的關(guān)系式為
(28)
1.8 彈性回彈階段
當(dāng)侵入深度達(dá)到最大侵入深度wmax時(shí)，此時(shí)碰撞體之間的相對速度為0 m/s，彈塑性碰撞階段結(jié)束，碰撞體之間開始分離，進(jìn)入恢復(fù)階段，目前大多數(shù)研究均假設(shè)在卸載階段接觸力和侵入深度之間的關(guān)系為彈性的，因此，采用赫茲接觸力模型作為恢復(fù)階段接觸力的計(jì)算。由于彈塑性碰撞過程中，有塑性變形發(fā)生，因此在碰撞結(jié)束后，接觸表面出現(xiàn)殘余深度wres，其計(jì)算公式見式(12)。將其代入赫茲模型回彈階段的計(jì)算公式，其計(jì)算公式為
(29)
在恒定外力作用下，碰撞體之間分離時(shí)的相對速度計(jì)算式為
(30)
根據(jù)式(30)可得
V2=
(31)
式中：V2為碰撞體碰撞后分離時(shí)的速度。
2 結(jié)果與分析
2.1 恒定外力對恢復(fù)系數(shù)的影響
以經(jīng)典單球碰撞模型為研究對象，如圖2所示。將一質(zhì)量為0.01 kg，半徑為0.006 75 m的小球以不同初始速度開始下落，其中小球和平板的彈性模量均為210 GPa，泊松比為0.27，材料屈服強(qiáng)度為450 MPa。根據(jù)上述計(jì)算公式求解在不同恒定外力作用下的恢復(fù)系數(shù)，其計(jì)算結(jié)果，如圖3所示。
圖2 單球碰撞模型
從圖3(a)中可以觀察到，在不同恒定外力作用下，恢復(fù)系數(shù)隨恒定外力的增加逐漸減小，主要是由于在恒定外力作用下，使得碰撞過程中塑性變形增加，從而導(dǎo)致能量耗散增加，恢復(fù)系數(shù)逐漸減小。從圖3(b)中可以觀察到，不同初始接觸速度下，恒定外力對于初始速度較小時(shí)的碰撞影響較大，這與圖1分析結(jié)果相同，由于較小初始速度時(shí)，隨著恒定外力的增加，初始速度所產(chǎn)生的接觸力幾乎可以忽略，故恒定外力對較低速度碰撞時(shí)的恢復(fù)系數(shù)的影響較大，這同Shen等在關(guān)于恒定外力作用下對碰撞的影響研究結(jié)果一致，其三維綜合圖如圖3(c)所示。
圖3 恢復(fù)系數(shù)受恒定外力和初始接觸速度影響圖
目前關(guān)于恢復(fù)系數(shù)模型的研究中，Jackson等通過實(shí)驗(yàn)對比了J-G模型、Thornton模型和Wu模型，認(rèn)為J-G模型在預(yù)測彈塑性碰撞階段恢復(fù)系數(shù)時(shí)相對較為準(zhǔn)確。為考慮恒定外力在連續(xù)碰撞過程中對侵入深度和侵入速度的影響，利用J-G模型與本文提出模型進(jìn)行對比，對比結(jié)果如圖4和圖5所示，其中采用Shen等提出的受恒定外力作用下的接觸力模型作為碰撞過程中接觸力的計(jì)算，恒定外力為1 000 N,初始速度為0.5 m/s。
圖4 連續(xù)碰撞過程中侵入深度圖
圖5 連續(xù)碰撞過程中侵入速度圖
通過對比可以發(fā)現(xiàn)，在不受外力作用時(shí)，兩模型在侵入速度和侵入深度上具有較好的一致性，這也驗(yàn)證了本文模型在不受外力作用時(shí)模型的有效性。當(dāng)受恒定外力作用時(shí)，由于J-G模型不考慮恒定外力的影響，而本文模型在恒定外力的作用下恢復(fù)系數(shù)減小，因此，在發(fā)生碰撞時(shí)，本文模型侵入深度與分離速度均下降，并且在連續(xù)碰撞過程中，隨著每次碰撞后計(jì)算結(jié)果的累積，使得兩模型結(jié)果相差逐漸增大。最終當(dāng)初始速度較低時(shí)，碰撞過程進(jìn)入彈性碰撞階段，兩模型達(dá)到穩(wěn)定，而本文模型由于考慮恒定外力的作用，因此，本文模型達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的初始速度相對較小。
2.2 對比目前的恢復(fù)系數(shù)模型
根據(jù)其連續(xù)碰撞過程可以發(fā)現(xiàn)，首次碰撞結(jié)果對其后碰撞影響較大，因此，進(jìn)一步對比研究在首次碰撞過程中，本文模型與目前恢復(fù)系數(shù)模型在碰撞過程中的侵入深度及速度變化。根據(jù)式(32)中受恒定外力作用時(shí)的等效動(dòng)力學(xué)方程，計(jì)算在碰撞過程中恒定外力的影響。由于Shen等受恒定外力的接觸力模型在不同恢復(fù)系數(shù)作用下，恢復(fù)系數(shù)具有較好的回歸性，因此，等效動(dòng)力學(xué)方程的阻尼因子采用Shen等的阻尼因子模型，恢復(fù)系數(shù)模型采用傳統(tǒng)J-G模型，其中碰撞體的材料參數(shù)半徑為0.02 m，質(zhì)量為0.26 kg，剛度1.4×108N/m1.5為，屈服強(qiáng)度為450 MPa，初始接觸速度V1為0.5 m/s。
(32)
求解動(dòng)力學(xué)方程式(32)，在不同的恒定外力影響因子下，如圖6所示，隨著恒定外力的增加，其侵入深度增加，材料塑性變形增加，導(dǎo)致碰撞后的分離速度減小，當(dāng)恒定外力足夠大時(shí)，其碰撞后不發(fā)生分離。而目前的恢復(fù)系數(shù)模型均忽略恒定外力的影響，以碰撞后的分離速度與初始速度之比定義恢復(fù)系數(shù)，在恒定外力足夠大時(shí)，傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型的預(yù)測結(jié)果是不準(zhǔn)確的，因而恢復(fù)系數(shù)模型須考慮恒定外力的影響。
圖6 不同恒定外力對碰撞過程的影響
目前，關(guān)于恢復(fù)系數(shù)模型的研究相對較多，均通過不同的接觸力和侵入深度關(guān)系，結(jié)合碰撞前后能量守恒定律推導(dǎo)獲得恢復(fù)系數(shù)模型，其中Thornton模型通過假設(shè)彈塑性階段接觸力與侵入深度關(guān)系，獲得恢復(fù)系數(shù)模型，Wu模型利用有限元軟件仿真研究碰撞前后分離速度，并通過擬合曲線獲得恢復(fù)系數(shù)模型，J-G模型通過仿真得到彈塑性階段接觸力和侵入深度關(guān)系，獲得恢復(fù)系數(shù)模型并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，但均未考慮恒定外力的影響。為對比恒定外力作用下，本文模型與目前已有模型在碰撞過程中的變化，取恒定外力影響因子分別為0.05、0.39、0.605和0.907，其恒定外力分別為10 N、100 N、200 N、800 N，計(jì)算結(jié)果如圖7、圖8所示。
圖7 不同模型時(shí)間與侵入深度的關(guān)系
圖8 不同模型時(shí)間與侵入速度的關(guān)系
如圖7所示，通過對比可以發(fā)現(xiàn)，在相同恒定外力及初始速度作用下，Wu模型侵入深度最大，主要是由于Wu模型在初始速度較低時(shí)，過高預(yù)測恢復(fù)系數(shù)，因而導(dǎo)致其碰撞過程中，每一時(shí)間步，能量耗散減少，侵入深度增加，而Thornton模型過低預(yù)測恢復(fù)系數(shù)[16]，使得能量耗散增加，侵入深度減小。J-G模型通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其恢復(fù)系數(shù)模型的有效性，與本文模型在受力較小時(shí)具有很好的一致性，但隨著恒定外力的增大，本文模型恢復(fù)系數(shù)逐漸減小，因而導(dǎo)致最大侵入深度低于J-G模型預(yù)測結(jié)果。并且在圖7(d)中當(dāng)恒定外力足夠大時(shí)，其碰撞后碰撞體不發(fā)生分離。
如圖8(d)所示，在恒定外力的作用下，當(dāng)碰撞體初始接觸時(shí)，由于接觸力小于恒定外力，碰撞體速度先增大，當(dāng)接觸力等于恒定外力時(shí)，碰撞體加速度為零，之后速度開始減小，在分離階段隨著接觸力減小，碰撞體速度增大，當(dāng)接觸力小于恒定外力時(shí)，恒定外力使得碰撞體速度減小，直至徹底分離。由于Wu模型預(yù)測恢復(fù)系數(shù)較大，因而碰撞后，Wu模型的分離速度最大，而Thornton模型、J-G模型及本文模型分離速度均為0 m/s，即碰撞后不發(fā)生分離，這表明考慮恒定外力通過碰撞前后的能量之比定義恢復(fù)系數(shù)是更加有效的。根據(jù)圖8可知，隨著恒定外力的增加，恒定外力對本文恢復(fù)系數(shù)模型的影響逐漸增大，而傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型不受恒定外力影響，故隨著恒定外力的增大，本文模型與J-G模型預(yù)測的侵入速度之間的差值逐漸增大。
根據(jù)圖8可以發(fā)現(xiàn)，在碰撞過程中，本文模型與J-G模型侵入速度曲線較為一致，進(jìn)一步對比兩模型預(yù)測的能量耗散之間的關(guān)系，結(jié)果如圖9所示，本文模型在初始速度較小時(shí)，恒定外力越大對應(yīng)的恢復(fù)系數(shù)越小，能量耗散越大，主要是由于恒定外力越大，侵入深度增大，彈塑性變形增大，能量耗散增多。而J-G模型不考慮恒定外力的影響，恢復(fù)系數(shù)結(jié)果不隨恒定外力改變，因而不符合實(shí)際情況。
圖9 J-G模型與本文模型結(jié)果對比
2.3 經(jīng)驗(yàn)公式
根據(jù)碰撞過程中的恢復(fù)系數(shù)計(jì)算公式，簡化式(6)獲得簡化后的彈塑性階段接觸力與侵入深度之間的關(guān)系如式(34)所示，根據(jù)Williams[17]的研究式(7)的可取理論值式(33)，該簡化過程是導(dǎo)致簡化恢復(fù)系數(shù)模型誤差的主要原因，如圖10所示，模型適用于1.9<(w*)m<800范圍內(nèi)的恢復(fù)系數(shù)預(yù)測，簡化后的恢復(fù)系數(shù)模型如式(35)所示，其誤差最大為8.6%，平均為3.2%，符合實(shí)際工程應(yīng)用，其中彈塑性碰撞階段的最大侵入深度可通過式(36)獲得。
圖10 簡化模型
(33)
(34)
Cr=
(35)
(36)
3 結(jié) 論
針對彈塑性碰撞體受恒定外力作用時(shí)初始速度對恢復(fù)系數(shù)的影響，本文建立了一種恒定外力作用下彈塑性碰撞階段恢復(fù)系數(shù)的預(yù)測模型,結(jié)果如下：
(1) 通過對比接觸力和侵入深度之間的關(guān)系，在低速重載工況下，考慮恒定外力對恢復(fù)系數(shù)的影響具有重要意義，且隨著恒定外力的增加，碰撞過程塑性變形增加，恢復(fù)系數(shù)顯著降低。
(2) 傳統(tǒng)恢復(fù)系數(shù)模型區(qū)分不同碰撞階段均通過臨界初始速度，為考慮恒定外力的影響，本文通過臨界侵入深度進(jìn)行區(qū)分，同時(shí)考慮了恒定外力與初始速度的共同作用。
(3) 通過連續(xù)碰撞過程可以發(fā)現(xiàn)恒定外力作用下恢復(fù)系數(shù)對接觸力計(jì)算具有重要意義，同時(shí)，對比分析在不同恒定外力作用下的四種恢復(fù)系數(shù)模型，可以發(fā)現(xiàn)，通過碰撞前后的能量比定義恢復(fù)系數(shù)，考慮恒定外力的影響，能更加有效的預(yù)測碰撞恢復(fù)系數(shù)。
(4) 為提高計(jì)算效率，便于實(shí)際工程應(yīng)用，通過簡化理論推導(dǎo)過程，歸納并獲得簡化后的經(jīng)驗(yàn)公式，并對比理論計(jì)算，獲得其最大誤差為8.6%，平均為3.2%。
