基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)能動(dòng)課堂的建構(gòu)與實(shí)施

韓冬至 師萬(wàn)軍

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過(guò)程和本質(zhì)”，還指出“數(shù)學(xué)課程要通過(guò)學(xué)生的自主探索活動(dòng)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過(guò)程、體會(huì)蘊(yùn)含在其中的數(shù)學(xué)思想，遵循數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)”。數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是概念教學(xué)，李邦河院士曾說(shuō)：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也！”數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要關(guān)注生成過(guò)程，力求學(xué)生主動(dòng)參與，合作探究，建構(gòu)概念形成的思維框架。

讓學(xué)生主動(dòng)探究，變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，把學(xué)習(xí)的權(quán)利交還給學(xué)生。那么教師應(yīng)如何積極引導(dǎo)學(xué)生探究，設(shè)置合理的問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)教學(xué)更有效的落實(shí)核心素養(yǎng)呢？本文僅以《奇偶性》的教學(xué)為載體，談?wù)劵趩?wèn)題驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)學(xué)科能動(dòng)課堂的建構(gòu)與實(shí)施。

教材分析：《奇偶性》是人教版教材必修一第三章第二節(jié)的內(nèi)容，主要是結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的概念和幾何意義。函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的主要性質(zhì)之一，單調(diào)性是函數(shù)的“局部性質(zhì)”，而奇偶性是函數(shù)的“整體性質(zhì)”。與奇偶性一樣，奇偶性也是把圖象的對(duì)稱(chēng)性（幾何特征）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，并用嚴(yán)格的符號(hào)語(yǔ)言表示，溝通了形與數(shù)，實(shí)現(xiàn)從定性到定量的轉(zhuǎn)化。體現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念逐漸抽象、嚴(yán)格化的過(guò)程，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于數(shù)學(xué)一般概念的學(xué)習(xí)方法。在知識(shí)體系中本節(jié)起著承上啟下的作用，在已學(xué)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，繼續(xù)研究函數(shù)的奇偶性，為日后研究函數(shù)的其他性質(zhì)鋪設(shè)合適的認(rèn)知臺(tái)階，使學(xué)生經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過(guò)程，對(duì)“如何研究函數(shù)性質(zhì)”有所感悟。

教學(xué)實(shí)例：

環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

1.觀察：教師通過(guò)課件展示一組圖片：蝴蝶，雪花等，讓學(xué)生欣賞自然界中的對(duì)稱(chēng)美。

2.操作：教師要求學(xué)生將A4紙對(duì)折兩次，使得折痕作為直角坐標(biāo)系下的x軸和y軸，保持折疊的狀態(tài)下，在第一象限內(nèi)“用力”畫(huà)出一個(gè)函數(shù)的圖象，然后展開(kāi)紙張，在第二象限內(nèi)描出所印的函數(shù)痕跡，請(qǐng)同學(xué)互相欣賞并觀察所畫(huà)函數(shù)圖象的特征。學(xué)生回答：雖然我們畫(huà)的函數(shù)圖象不同，但每一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

【設(shè)計(jì)意圖】

列舉生活現(xiàn)象，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際生活出發(fā)，感受對(duì)稱(chēng)性。學(xué)生自主折紙作畫(huà)，通過(guò)極為簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)和歸納數(shù)學(xué)知識(shí)以及數(shù)學(xué)規(guī)律，準(zhǔn)確把握知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵。

環(huán)節(jié)二：引導(dǎo)探究，概念生成

1.活動(dòng)：教師布置學(xué)生畫(huà)出函數(shù)f（x）=x2和g（x）=2-|x|的圖象并對(duì)圖象進(jìn)行觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

2.探究：以函數(shù)f（x）=x2為例，學(xué)生對(duì)圖象進(jìn)行觀察可得：f（-1）=1=f（1），f（-2）=4=f（2），推廣到一般，f（-x）=x2=f（x）。學(xué)生相互補(bǔ)充：f（-x）=f（x）中的x可以取1，2，3等定義域中的任意數(shù)。

師：利用平面幾何知識(shí)，如何借助圖形刻畫(huà)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系？

生：任意x∈R，點(diǎn)P（x，f（x））與點(diǎn)P（-x，f（-x））關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。

師：函數(shù)f（x）=x2滿(mǎn)足f（-x）=f（x），對(duì)于其他函數(shù)是否也滿(mǎn)足這個(gè)特征？請(qǐng)同學(xué)們觀察自己的折紙圖形，在函數(shù)圖象上任意取點(diǎn)，從坐標(biāo)角度進(jìn)行驗(yàn)證。

生：無(wú)論函數(shù)圖象是否相同，只要函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，任意x與-x互為相反數(shù)，函數(shù)都滿(mǎn)足f（-x）=f（x）。

教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試概括偶函數(shù)的定義及圖象特征，并回顧研究過(guò)程，體會(huì)從特殊到一般，從具體到抽象的研究思路。

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的主線(xiàn)是從形到數(shù)，從特殊到一般，從具體到抽象的學(xué)習(xí)過(guò)程，也希望學(xué)生運(yùn)用這種研究思路，自主類(lèi)比研究奇函數(shù)，特別是折紙中的函數(shù)圖象再現(xiàn)，既是對(duì)折紙實(shí)驗(yàn)的呼應(yīng)，又是對(duì)任意性的理解進(jìn)行提升。

通過(guò)探究，學(xué)生對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)有了突破性的進(jìn)展，但學(xué)生所獲得的知識(shí)還是零散的，需要在教師的指導(dǎo)下對(duì)探究結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)充、整理，并用規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行概括。教師需要幫助學(xué)生搭建由“形”到“數(shù)”的思維橋梁，這樣能更貼近學(xué)生的思維和認(rèn)知。

環(huán)節(jié)三：?jiǎn)栴}驅(qū)動(dòng)，自主建構(gòu)

1.活動(dòng)：以函數(shù)f（x）=x和g（x）=1/x為例，類(lèi)比研究偶函數(shù)定義的步驟和方法，教師布置學(xué)生以分組合作的方式探究奇函數(shù)的定義及性質(zhì)。

2.探究：通過(guò)設(shè)置難度遞進(jìn)的問(wèn)題啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究奇函數(shù)的概念形成過(guò)程。

問(wèn)題1 ：f（-1）=？f（1）=？，f（-2）=？f（2）=？，f（-3）=？f（3）=？

學(xué)生：f（-1）=-1，f（1）=1;f（-2）=-2，f（2）=2;f（-3）=-3，f（3）=3。

問(wèn)題2 ：表格中x值互為相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：表格中x值互為相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值也互為相反數(shù)。

問(wèn)題3：定義域內(nèi)任意x的取值互為相反數(shù)時(shí)是否也滿(mǎn)足這樣的特點(diǎn)？給出證明過(guò)程，并用符號(hào)語(yǔ)言精確描述這一特征。

學(xué)生：f（-x）=-x=-f（x）。

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟。在完成偶函數(shù)探究的基礎(chǔ)上，教師又設(shè)置了層次逐漸遞進(jìn)的問(wèn)題，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生用類(lèi)比的方法得到奇函數(shù)的定義。類(lèi)比探究偶函數(shù)概念形成的過(guò)程，給學(xué)生布置活動(dòng)任務(wù)，讓學(xué)生以小組合作的方式進(jìn)行自主探究，在探究過(guò)程中讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程與方法，最后形成奇函數(shù)的概念。

環(huán)節(jié)四：概念應(yīng)用，深化理解

教師激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，教師讓學(xué)生轉(zhuǎn)換角色，變身命題人，根據(jù)所學(xué)內(nèi)容，讓每位同學(xué)設(shè)計(jì)兩個(gè)函數(shù)，同桌互換并判斷所寫(xiě)函數(shù)的奇偶性。

展示部分同學(xué)自編試題及判斷奇偶性的過(guò)程。

生1：自編函數(shù)f（x）=x3+2021x。

判斷過(guò)程：函數(shù)f（x）=x3+2021x的定義域?yàn)镽。

因?yàn)槿我鈞∈R，都有-x∈R，且

f（-x）=（-x）3+2021（-x）=-（x3+2021x）=-f（x），

所以函數(shù)f（x）=x3+2021x是奇函數(shù)。

生2：自編函數(shù)g（x）=2021。

判斷過(guò)程：函數(shù)g（x）=2021的定義域?yàn)镽。

因?yàn)槿我鈞∈R，都有-x∈R，且

g（-x）=2021=g（x），所以函數(shù)g（x）=2021是偶函數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生能夠自編試題其實(shí)是一種自我反思意識(shí)的形成，學(xué)生反思意識(shí)的形成是一個(gè)由“被動(dòng)”到“主動(dòng)”、由“自發(fā)”到“自覺(jué)”、由“他控”到“自控”的過(guò)程。自編試題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)有一定的難度，它需要學(xué)生真正理解和靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)概念，所以自編試題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種挑戰(zhàn)，但同時(shí)也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信。

環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)，提煉升華

教師通過(guò)課件再次展示一組圖片：大興機(jī)場(chǎng)、圓明園萬(wàn)方安和、精美的飾品等，讓學(xué)生欣賞生活中的對(duì)稱(chēng)美，鼓勵(lì)學(xué)生將來(lái)把對(duì)稱(chēng)性應(yīng)用到工作中，設(shè)計(jì)出更多讓人驚嘆的建筑和作品。與課前導(dǎo)入呼應(yīng)，讓學(xué)生再次感受到數(shù)學(xué)是美的，有效運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)可以創(chuàng)造出更多的美。

學(xué)生針對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行課堂小結(jié)，有總結(jié)知識(shí)點(diǎn)和方法方面的，也有談學(xué)習(xí)過(guò)程感受的，其中一名學(xué)生說(shuō)，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)知道了研究函數(shù)性質(zhì)的辦法，特別期待對(duì)后續(xù)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)。

【設(shè)計(jì)意圖】整堂課的探究過(guò)程所體現(xiàn)的由具體到抽象、由特殊到一般的思想方法，也是數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本思維和方法。學(xué)生在課堂小結(jié)時(shí)能夠從數(shù)、形兩個(gè)角度對(duì)函數(shù)的奇偶性有深刻的認(rèn)識(shí)，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)思考：

本節(jié)課的整體設(shè)計(jì)是類(lèi)比函數(shù)單調(diào)性的研究辦法構(gòu)建相應(yīng)的研究框架，先舉例一些函數(shù)圖象，給學(xué)生一定的直觀感受，通過(guò)觀察其幾何特征的共性，提出探究問(wèn)題，把函數(shù)圖象的這種對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系，再通過(guò)具體實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算并得出取值規(guī)律，在此基礎(chǔ)上建立奇偶性的概念。設(shè)計(jì)主線(xiàn)是：具體函數(shù)——圖象特征（對(duì)稱(chēng)性）——數(shù)量刻畫(huà)——符號(hào)語(yǔ)言——抽象定義——奇偶性判定。整個(gè)過(guò)程體現(xiàn)了從形到數(shù)，從特殊到一般，從具體到抽象的學(xué)習(xí)。奇偶性概念的本質(zhì)屬性有兩個(gè)方面：形的特征和數(shù)的表示。前者是對(duì)函數(shù)幾何特征的圖形表述，也就是對(duì)稱(chēng)性;后者表現(xiàn)為函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的表示。單從奇偶性的定義內(nèi)容來(lái)看，具有一定的抽象性，對(duì)于學(xué)生而言不好理解，但函數(shù)性質(zhì)的處理一般是由其圖象入手，通過(guò)圖象的直觀性體現(xiàn)函數(shù)的內(nèi)在性質(zhì)，再通過(guò)對(duì)函數(shù)值的計(jì)算，把函數(shù)值外顯到坐標(biāo)系中，由形到數(shù)，再由數(shù)到形，溝通形與數(shù)，實(shí)現(xiàn)從定性到定量的轉(zhuǎn)化，保證了學(xué)生的理解水平，并對(duì)此知識(shí)產(chǎn)生了更深刻的感悟。

1.情境合理，追求教學(xué)的自然質(zhì)樸。

本節(jié)課的引入立足于生活中的常見(jiàn)現(xiàn)象，力求樸實(shí)自然，但簡(jiǎn)樸中蘊(yùn)含神奇的對(duì)稱(chēng);接著過(guò)渡到動(dòng)手實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，親自感受創(chuàng)造對(duì)稱(chēng)圖形。現(xiàn)實(shí)世界情境和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)情境完美的結(jié)合，引發(fā)學(xué)生挖掘其中的規(guī)律和本質(zhì)，用數(shù)學(xué)的眼光去觀察，用數(shù)學(xué)的思維來(lái)思考。

2.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，順應(yīng)學(xué)習(xí)的思維方式。

一堂好課必然會(huì)激發(fā)學(xué)生的求知欲，而問(wèn)題是實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的催化劑。課堂的每一個(gè)問(wèn)題的提出，都是學(xué)生思維活動(dòng)的開(kāi)始，本節(jié)課運(yùn)用一系列的問(wèn)題，以問(wèn)題串的形式出現(xiàn)，由淺入深，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，環(huán)環(huán)相扣，教師作為引導(dǎo)者，適當(dāng)適時(shí)點(diǎn)撥、啟發(fā)、指導(dǎo)，問(wèn)題的設(shè)置均在學(xué)生最近的發(fā)展區(qū)，學(xué)生能夠在已有知識(shí)體系的基礎(chǔ)上總結(jié)出概念的核心要素，將函數(shù)單調(diào)性的任意性遷移到本節(jié)課，順勢(shì)突破學(xué)生在本堂課學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)。一系列問(wèn)題串的設(shè)置自然承接課堂，教師的追問(wèn)進(jìn)一步提高學(xué)生的認(rèn)知效果，使得整節(jié)課的教學(xué)流程清晰順暢，順應(yīng)學(xué)生的思維方式。通過(guò)問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)，使得學(xué)生的思維從“起車(chē)”到“加速”，走上“高速”，達(dá)到深度思維的學(xué)習(xí)。

3.能動(dòng)探究，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

波利亞說(shuō)：“學(xué)習(xí)東西最好的途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它，最富有成效的學(xué)習(xí)是自己去探索、去發(fā)現(xiàn)?！逼胀ǜ咧须A段的數(shù)學(xué)課程基于新課改的理論與實(shí)踐背景下進(jìn)一步著力引導(dǎo)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)、自主探究與合作交流相融合的學(xué)習(xí)方式。從不同視角下觀察學(xué)生、從不同范式下設(shè)計(jì)教學(xué)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維以及對(duì)學(xué)習(xí)的自主性、批判性和遷移性。本節(jié)課老師大膽放手，把課堂交給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生積極思考，主動(dòng)交流，尊重學(xué)生的發(fā)言權(quán)和決定權(quán)，給學(xué)生充足的時(shí)間，讓學(xué)生清楚有效地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，形成自己的理解力。學(xué)生通過(guò)對(duì)概念的探究，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)，欣賞數(shù)學(xué)世界的無(wú)限風(fēng)光。

新課標(biāo)、新教材、新高考背景下的數(shù)學(xué)新授課教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程，尊重學(xué)生的認(rèn)知水平，關(guān)注知識(shí)的衍生過(guò)程，合理設(shè)置問(wèn)題，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與，體會(huì)概念生成過(guò)程。發(fā)展學(xué)生的思維，回歸數(shù)學(xué)理性，培養(yǎng)數(shù)學(xué)樂(lè)趣，是我們數(shù)學(xué)教學(xué)真正的價(jià)值追求。希望通過(guò)能動(dòng)課堂的教學(xué)實(shí)踐培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界。

編輯/李? ? 莉