數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學的學材開發(fā)與學程設(shè)計
——以“分數(shù)的意義”的教學為例

孫 謙

開展數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學，教師應(yīng)致力于尋找知識之間的連接點，將碎片化的知識連成線、織成網(wǎng)、筑成塊、構(gòu)成體，讓學生整體感悟?qū)W習內(nèi)容、學習進程，建構(gòu)自己整體的思維體系和認知結(jié)構(gòu)。這種動態(tài)建構(gòu)的過程，是教師基于對課程與課標的理解以及對學理的分析和學情的調(diào)研，著力將教材改編為學材，即教師根據(jù)自己對知識結(jié)構(gòu)與學生認知結(jié)構(gòu)的專業(yè)化理解，設(shè)計連接學生認知經(jīng)驗的“真實”情境，引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題，找到相關(guān)聯(lián)的數(shù)學元素，從而建構(gòu)起自己的認識結(jié)構(gòu)。

一、組織基于真實情境的學習過程，聚焦數(shù)學本質(zhì)

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》明確指出：為了幫助學生真正理解數(shù)學知識，教師應(yīng)注重數(shù)學知識與學生生活經(jīng)驗的聯(lián)系、與學生學科知識的聯(lián)系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導(dǎo)學生進行觀察、分析，抽象概括。教師應(yīng)努力挖掘隱藏于生活中的學習素材，并引導(dǎo)學生通過現(xiàn)實生活素材理解數(shù)學，同時將所學的數(shù)學內(nèi)容應(yīng)用于現(xiàn)實生活。數(shù)學結(jié)構(gòu)化教學特別強調(diào)從“真實”情境中來，到“真實”問題中去，基于對學生學習和生活經(jīng)驗的了解和分析，整合教材資源，創(chuàng)新設(shè)計教學活動和學習過程。

例如：教學蘇教版下“分數(shù)的意義”時，首先，教師以學生真實的生活情境——測量黑板的長度引入，將生活與數(shù)學有機聯(lián)系起來，延展開去，聚焦測量的本質(zhì)——數(shù)與量的產(chǎn)生，開啟了學生對數(shù)的發(fā)展過程的整體認識；其次，轉(zhuǎn)向生活中常見的分數(shù)形態(tài)——面積的均分，從顯而易見的可視化表征中抽象出用分數(shù)表達平均分的實質(zhì)；再次，引導(dǎo)學生經(jīng)歷測量的過程，感受分數(shù)作為一種“數(shù)”，與學過的整數(shù)、小數(shù)一樣，不僅可以表示量的多少、數(shù)的大小，還可以表示一些計數(shù)單位不斷累加的結(jié)果；最后，從另一種角度看待面積均分產(chǎn)生的分數(shù)，深入挖掘分數(shù)表示“率”的又一深刻內(nèi)涵。整個過程前后呼應(yīng)，于“變”中求“不變”，轉(zhuǎn)換連續(xù)而自然，抓住分數(shù)不同方面的意義，既有聯(lián)系又有區(qū)別，讓學生真實而深刻地感受到分數(shù)產(chǎn)生的必要性和必然性。

二、開發(fā)動靜結(jié)合的學習材料，突破學習難點

“分數(shù)的意義”建構(gòu)過程中重要的一點，是引導(dǎo)學生認識到分數(shù)作為一種“數(shù)”的實質(zhì)。也就是說，它與其他數(shù)一樣，都能在數(shù)射線上找到自己的位置。張奠宙先生曾多次強調(diào)在數(shù)射線上對分數(shù)作幾何解釋的重要性。然而，數(shù)射線的抽象程度較高，學生不易掌握，如何設(shè)計易于學生操作和理解的學材，幫助學生突破這一學習難點呢？不少研究都表明，從細長的條形塊這一幾何模型出發(fā)，逐漸抽象出數(shù)射線，更加符合學生的認知發(fā)展特點。

基于此，教師設(shè)計了一根一米長的軟尺，利用這個學材，組織學生開展了一系列“做中學”的活動，如量一量、圈一圈、比一比等。首先，引導(dǎo)學生用軟米尺測量黑板的長度，從中感悟到分數(shù)產(chǎn)生的必然性。然后，用軟米尺圈出一個圓，動線成面，化直為曲，將面積均分與計量單位均分聯(lián)系起來。無論是長條軟米尺的均分還是圓的均分，都可以看成是對現(xiàn)實存在的“物”的均分，這是分數(shù)的重要意義之一。軟米尺和圓中扇形的色塊一一對應(yīng)，可以讓學生感受到分數(shù)的不同表征形式之間的轉(zhuǎn)換和聯(lián)系。最后，教師帶領(lǐng)學生利用軟米尺測量窗戶的長度，化曲為直，讓學生親眼見證比1小的數(shù)和比1大的數(shù)都可以用分數(shù)表示，整數(shù)與分數(shù)可以進行轉(zhuǎn)化。軟米尺自然與數(shù)射線融通，變成了一個可以無限延展的數(shù)射線。在引導(dǎo)學生認識分數(shù)的多層含義的過程中，可靜可動的學材發(fā)揮了巨大的作用。

三、呈現(xiàn)元素聯(lián)結(jié)的變式材料，開闊數(shù)學視野

數(shù)學概念的結(jié)構(gòu)化教學主要通過元素的聯(lián)結(jié)來實現(xiàn)。這就要求教師深刻把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵和豐富外延，不斷分解和重組學習材料，變化表征形式，讓原本孤立無關(guān)的材料變成聯(lián)系緊密的變式材料，達到”橫看成嶺側(cè)成峰“的效果，最終促進學生自主建構(gòu)概念。“分數(shù)的意義”之所以成為學生學習的一個難點，其中一個重要的原因，就是雖然分數(shù)問題通過分割操作可能轉(zhuǎn)化為整數(shù)問題，但與整數(shù)不同，分數(shù)是一個表示兩個量倍比關(guān)系的相對量，或者說是一個比例，這種認知沖突有時會對學生的學習產(chǎn)生負遷移。對學生來說，分割計數(shù)產(chǎn)生分數(shù)是易于理解的，分數(shù)表示兩個量之間的倍比關(guān)系是較難理解的。在教學中，教師要注意從學生已有的利于他們理解的經(jīng)驗出發(fā)，靈活變換，螺旋上升，提高學生對概念的整體認知。教師可以將學生熟悉的正方形和人民幣作為研究對象，不斷變換表征形式（如下頁圖1），拓展學生的思維，激發(fā)其對于分數(shù)表示倍比關(guān)系的思考，深化其對概念的認識。

師：現(xiàn)在變成了這樣（1 元、2 元、5 元、10 元人民幣各一張），你還能看出分數(shù)嗎？

圖1 以正方形和人民幣為例探究“分數(shù)的意義”

一些學生臉上露出了困惑的表情。

以上以“分數(shù)的意義”的教學為例，分析了結(jié)構(gòu)化教學中學材開發(fā)和學程設(shè)計的實施要點——在“真實”情境中，注重運用多元表征，創(chuàng)新應(yīng)用模型，引導(dǎo)學生開展合作探究，實現(xiàn)實際意義的關(guān)聯(lián)建構(gòu)，發(fā)展抽象、推理、模型等綜合能力，完善認知結(jié)構(gòu)，在想象、修正、反思中提高認知水平，在對話、操作、合作中促進心智發(fā)展。