淺談數(shù)學思維模式及其作用

摘要：數(shù)學思維模式是一定的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)與數(shù)學思維方式結(jié)合而成的動力系統(tǒng)。以小學數(shù)學教材為例，就“數(shù)學思維的操作模式——數(shù)學方法、數(shù)學思維的機理模式——數(shù)學原理、數(shù)學思維的動態(tài)模式——數(shù)學思想、數(shù)學思維的工具模式——數(shù)學意識”四種數(shù)學思維模式的操作及作用進行研究，促使學生自覺地學會用“數(shù)學的思維方式”思考問題，從而真正學會數(shù)學的思維方式。

關(guān)鍵詞：數(shù)學思維模式;操作模式;機理模式;動態(tài)模式;工具模式

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2021）04B-0053-04

數(shù)學思維模式是指主體在數(shù)學思維活動中形成的相對穩(wěn)定的思維樣式，是數(shù)學模式在主體頭腦中概括加工的反映。因此數(shù)學思維模式是一定的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)與數(shù)學思維方式結(jié)合而成的動力系統(tǒng)。數(shù)學思維模式是關(guān)于認識數(shù)學模式的思維模式，它具有約簡思維過程、降低思維難度、提高思維效率的認識功能。思維模式是相對于模式所使用的思維活動的范圍大小而言的。從大的方面說，數(shù)學思維模式有“數(shù)學思維的操作模式——數(shù)學方法、數(shù)學思維的機理模式——數(shù)學原理、數(shù)學思維的動態(tài)模式——數(shù)學思想、數(shù)學思維的工具模式——數(shù)學意識”四大類[1]94。數(shù)學思維模式有別于其他學科的思維模式，是數(shù)學的精髓部分。筆者就談談這四種數(shù)學思維模式的操作方法及作用。

一、數(shù)學思維的操作模式：數(shù)學方法

操作模式的數(shù)學思維表現(xiàn)為有章可循、可以操作的一種程序，如加減乘除的四則運算法則，三角形、梯形、圓的面積公式等。這里講的操作，是一種思維操作。例如，用三角板畫三角形的高，教師歸納了“一放二靠三移四畫五標記”的程序，就是為了便于學生掌握三角形高的畫法。

以蘇教版三年級數(shù)學下冊“有趣的乘法”（如圖1）為例：

此處乘積中個、十、百位上的三個數(shù)是一個定型的運算，這也是一種運算結(jié)構(gòu)，這種新的操作結(jié)構(gòu)，可記為：兩頭一拉，中間一加。若這兩位數(shù)的個位與十位數(shù)字相加滿十，可將操作模式進一步完善為：兩頭一拉，中間一加，滿十進一。

我們說思維法則，既是經(jīng)驗的總結(jié)，又是進一步思維的引導。重要法則的反復操練，不僅可以熟悉數(shù)學知識，形成技能，也是練就數(shù)學基本功的重要手段。法則的靈活運用就是技巧，較常用的技巧就是方法，方法和技巧是操作模式的數(shù)學思維中的較高層次。方法的運用提高了法則的效率，有助于對數(shù)學的深刻理解。

隨著學生學習年級的升高，還會遇到更多數(shù)學思維的操作模式，如中學階段的換元法、待定系數(shù)法、消元法、“十字相乘法”等都屬于數(shù)學思維操作模式的范疇。操作模式的數(shù)學思維有利于熟悉數(shù)學知識和形成數(shù)學技能，掌握基本的數(shù)學方法。

二、數(shù)學思維的機理模式：數(shù)學原理

機理模式的數(shù)學思維，表現(xiàn)為一種適應范圍廣、高層次的方法。它充滿著理性與邏輯性，常以數(shù)學原理的形式出現(xiàn)，有時雖然也有操作，但操作只處于從屬地位。如果說操作模式的數(shù)學思維表現(xiàn)為“一定要這樣”，那么機理模式的數(shù)學思維突出的是“為什么是這樣”[1]97。機理模式的數(shù)學思維表現(xiàn)有：分析和綜合原理、等價原理、對稱原理、構(gòu)造原理、分類原理、抽屜原理、加法原理、乘法原理等。

下面，我們先來看蘇教版五年級數(shù)學上冊的一道例題：“南山中心小學舉行小學生足球賽，有4支球隊參加，分別是紅隊、黃隊、綠隊和藍隊。如果每兩支球隊比賽一場，一共要比賽多少場？”此題共有四種解法，讓我們不妨對其中兩種解法進行剖析。

第一種：在紙上寫下紅、黃、綠和藍四支球隊，然后兩兩配對（如圖2），一一數(shù)之，可得結(jié)果為6場。

這種方法主要是有章可循的操作思維，其實質(zhì)是兩兩搭配關(guān)系的思維操作，它表現(xiàn)出的是“一定要這樣”。

第二種：首先運用一一列舉的方法，列成圖3;然后抽象出算法：4×3÷2=6（場）。

這種方法主要是分類或分解原理的機理思維。其實質(zhì)是乘法原理的應用。它表現(xiàn)為“為什么是這樣”。

再來看學生在小學階段學習計算，算法是計算的基本程序和方法，應該把算理作為計算的原理和依據(jù)。學生提高計算能力，增強計算正確性，不能靠死記算法，而應建立在理解算理的基礎上;也不能靠反復演練，而應巧想活用。不重視算理的理解，單純地訓練算法，充其量也只是獲得了操作技能。計算方法是依據(jù)有關(guān)的運算性質(zhì)，將計算過程中的推理系統(tǒng)化和程序化，它是一種先進的邏輯推理形式。

在這里需要指出的是，如果沒有法則和方法的認真操作，就不能形成扎實的基本功;如果沒有上升到數(shù)學原理去思維，思考法則和方法的機理，勢必是機械的數(shù)學學習。反過來，如果僅僅是從原理上學習數(shù)學，而不是在法則訓練的基礎上去提煉，則數(shù)學原理就成了無源之水，無本之木。機理模式的數(shù)學思維有利于對數(shù)學知識的理解和連貫系統(tǒng)的建構(gòu)。

三、數(shù)學思維的動態(tài)模式：數(shù)學思想

學習數(shù)學的基本要求是理解，要將數(shù)學知識廣泛地融會貫通，這就是動態(tài)模式的數(shù)學思維，表現(xiàn)為數(shù)學思想，是一種辯證性、運動性、總體性的思維形式，從普遍聯(lián)系的視角進行數(shù)學思維。如轉(zhuǎn)化思想、運動思想、數(shù)形結(jié)合思想、優(yōu)化思想、集合思想、極限思想、對應思想、變換思想、普遍性和特殊性思想等，都屬于動態(tài)思維模式。

動態(tài)模式的數(shù)學思想是溝通數(shù)學知識之間、數(shù)學知識與實踐之間內(nèi)在聯(lián)系的思維形式，是深刻的居高臨下式理解知識的思維模式。許多定理、公式、法則在高一級形式都能實現(xiàn)統(tǒng)一。

如小學里學習直線幾何圖形的面積，從蘇教版教材的編排來看，它是按照長方形—正方形—平行四邊形—三角形—梯形的順序，引導學生運用經(jīng)驗逐個推導這些圖形的面積公式，如圖4：

在單元知識整理課上，教師又設計了以“基本型”（梯形）為基礎，引導學生歸納分析這五種直線平面圖形面積公式的演變過程。同樣地，再可根據(jù)梯形動態(tài)變化，想象演變成長方形和正方形，用梯形面積公式推出長方形和正方形的面積計算公式。

在動態(tài)模式的數(shù)學思維下，學生不僅發(fā)現(xiàn)五種直線平面圖形之間的聯(lián)系，而且抽象的直線平面圖形面積計算公式之間也有著聯(lián)系，都可用梯形面積公式來統(tǒng)整?？梢?，學習知識就是一個不斷由薄到厚和由厚到薄的過程。這里的由厚到薄的“薄”，不是知識少了，而是精了，是知識的理解達到了融會貫通。動態(tài)思維反映了思維的發(fā)展，沒有動態(tài)思維就沒法學習數(shù)學。

四、數(shù)學思維的工具模式：數(shù)學意識

數(shù)學家如何創(chuàng)造數(shù)學？數(shù)學家在處理與數(shù)學似乎無關(guān)的問題時，他們的技巧為何如此高超？這種創(chuàng)造、這種處理，就是工具模式的數(shù)學思維：數(shù)學意識。有觀點認為：數(shù)學是科學的仆人，數(shù)學是科學的語言，甚至數(shù)學是宇宙的語言，數(shù)學是思維的工具。如笛卡爾提出過的“萬能方法”：把任何問題都劃歸為數(shù)學問題;把任何數(shù)學問題都劃歸為代數(shù)問題;把任何代數(shù)問題都劃歸為方程式的求解。雖然“萬能模式”的設想最后并未成功，但仍不失為一種偉大的思想，它從本質(zhì)上肯定了數(shù)學思維對認識世界的工具作用。正如馬克思所說：一門科學，只有當它成功地運用數(shù)學時，才是達到真正完善的地步。這就是所謂的數(shù)學意識。也就是說，數(shù)學的對象是一種邏輯的建構(gòu)，一般的科學對象可以說是“數(shù)學建構(gòu)”。

課程改革以來，廣大教材編寫者和教師，常常會把“探索性演繹法”滲透于教材和教學中，引導學生進行探究性學習，去發(fā)現(xiàn)數(shù)學新知識。如，蘇教版五年級數(shù)學上冊“釘子板上的多邊形”學生探索學習過程：

1.創(chuàng)設生活中的數(shù)學現(xiàn)象，引導學生在點子圖上畫各種多邊形。

2.探索內(nèi)部只有一個釘子的多邊形面積與它邊上釘子數(shù)的關(guān)系：S=n÷2。舉例驗證。

3.探索內(nèi)部有2個釘子的多邊形面積與它邊上釘子數(shù)的關(guān)系：S=n÷2+1;即a=2，S=n÷2+1;再進行驗證。

接著，向a=3， a=4，……及a=0拓展。

4.引導學生想象：由于a=2， S=n÷2+1，那么：a=3，S=n÷2+2;a=4，S=n÷2+3……

5.引導學生討論：對于a=1， S=n÷2還可以怎樣表達？（寫成S=n÷2+0）

然后，把多點聚成一點（課外延伸思考）。

引導學生把“a=1時，S=n÷2+0;a=2時， S=n ÷2+1;a=3時， S=n÷2+2;a=4時， S=n÷2+3……”這些規(guī)律合成一條規(guī)律：S=n÷2+（a-1）。

做這樣的探究活動，學生在對數(shù)學知識的發(fā)現(xiàn)過程中，雖然運用“探索性演繹法”的能力還很稚嫩，對猜想的證明也不是很嚴謹，但是用數(shù)學的思維處理問題的順序和抽象化、模型化、符號化等意識從小得到培育，并使數(shù)學意識具有的數(shù)學創(chuàng)造的品格，及具有用來解決挑戰(zhàn)性問題的能力的品格得到增強。

由此可見，數(shù)學意識是一個工作母機，它不僅能解決數(shù)學問題，而且是開辟新的數(shù)學領域的動力，正因為如此，數(shù)學才如此枝繁葉茂，并且深入社會的每一個角落?！读x務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》中提出的“解決問題”就是為了培養(yǎng)學生數(shù)學意識。只有增強了數(shù)學意識，工具的數(shù)學才能作為數(shù)學的工具服務于生產(chǎn)與生活。人們應該學會用數(shù)學的思維方式來解決問題。

以上四種數(shù)學思維模式的個性特質(zhì)有著遞進的層次性關(guān)系，“它們之間就如自然界由簡單到復雜、由低級到高級、由無序到有序的發(fā)展和演化是一樣的，體現(xiàn)著類如階梯樣的序形，每一個階梯都可以看作是一個層次”。在這其中，數(shù)學知識是思維的基礎材料，操作模式思維的數(shù)學方法是對數(shù)學知識的積累與模塊化，機理模式思維的數(shù)學原理是對數(shù)學知識的消化、理解和系統(tǒng)化，動態(tài)模式思維的數(shù)學思想是對數(shù)學知識的系統(tǒng)掌握，工具模式思維的數(shù)學意識是對數(shù)學知識的運用。

形成數(shù)學意識是數(shù)學思維的最高境界，它是學習者走出校門若干年后，什么法則都可能忘記了，什么概念都可能淡忘了，什么公式都可能模糊了，而保留下來的終身受益的東西。自覺地會用“數(shù)學的思維方式”思考問題，這才是真正學會了“數(shù)學的思維方式”。

參考文獻：

[1]周春荔. 數(shù)學思維概論[M]. 北京：北京師范大學出版社，2012.

責任編輯：石萍

*本文系江蘇省教學研究立項課題“基于ELLI框架的多元文化背景下兒童學習力培養(yǎng)研究”（2019JK13-L038）的階段性成果。

收稿日期：2021-01-20

作者簡介：顧麗英，無錫市新洲小學（江蘇無錫，214112），高級教師，研究方向為小學數(shù)學教學、教育管理。