從距離空間完備性角度探討實(shí)數(shù)完備性理論

胡永模，張 海

（安慶師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院，安徽安慶 246133）

實(shí)數(shù)集有一條重要的性質(zhì)，即滿足柯西準(zhǔn)則的序列必收斂，這一性質(zhì)本質(zhì)上是實(shí)數(shù)集的完備性。同樣，在“數(shù)學(xué)分析”課程中，實(shí)數(shù)集還有另外的完備性基本定理，如閉區(qū)間套定理、聚點(diǎn)定理和有限覆蓋定理，其相關(guān)理論是經(jīng)典分析學(xué)的基礎(chǔ)。一般在實(shí)數(shù)集中敘述序列的收斂性或者滿足柯西準(zhǔn)則都離不開兩個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的距離，所以在一般抽象集合上引進(jìn)元素間的距離，就得到了距離空間的概念。此時(shí)，距離空間也有收斂點(diǎn)列與滿足柯西準(zhǔn)則的點(diǎn)列概念，當(dāng)然也就有距離空間的完備性。實(shí)數(shù)空間是完備距離空間最簡單的例子。本文從距離空間的完備性來闡述實(shí)數(shù)集完備性定理的成立。下面從以下幾個(gè)方面研究如何理解距離空間的完備性。

1 距離空間完備性的定義

定義1[1-2]設(shè)(X,ρ)為任意一個(gè)距離空間，{xn}?X為任意一個(gè)點(diǎn)列，

（1）如果存在x0∈X，滿足，則稱點(diǎn)列{xn}在X中收斂到x0；

（2）若對任意的ε＞0，存在自然數(shù)Nε，當(dāng)m,n＞Nε時(shí)，恒有ρ(xm,xn)＜ε，則稱點(diǎn)列{xn}是柯西點(diǎn)列。若X中任一柯西點(diǎn)列都在(X,ρ)中收斂，則稱(X,ρ)為完備的距離空間。

注由“泛函分析”課程中賦范線性空間理論可知，任何有限維賦范線性空間一定是完備的距離空間，(?,ρ)就是一個(gè)典型的完備的距離空間，其中ρ(x,y)=|x-y|，?x,y∈?。特別地，有理數(shù)全體按照絕對值距離所構(gòu)成的距離空間不完備，原因是有理數(shù)點(diǎn)列的極限e不是有理數(shù)。

2 完備距離空間的柯西收斂準(zhǔn)則

實(shí)數(shù)集有條重要性質(zhì)，即實(shí)數(shù)列收斂的柯西收斂準(zhǔn)則，在“泛函分析”中，一般抽象的距離空間中的收斂點(diǎn)列一定是柯西點(diǎn)列。這樣，由距離空間完備性的定義，可得到在一般抽象的完備的距離空間中的柯西收斂準(zhǔn)則。

定理1（完備距離空間的柯西準(zhǔn)則）在完備的距離空間(X,ρ)中，點(diǎn)列{xn}收斂的充要條件是{xn}是(X,ρ)中的柯西點(diǎn)列，即對任取的ε＞0，存在自然數(shù)Nε，當(dāng)m,n＞Nε時(shí)，恒有ρ(xm,xn)＜ε。

應(yīng)用這個(gè)定理自然就得到實(shí)數(shù)集上的柯西收斂準(zhǔn)則，而無需像“數(shù)學(xué)分析”中那樣進(jìn)行長篇證明，原因只有一個(gè)，那就是實(shí)數(shù)集按絕對值距離構(gòu)成一個(gè)完備的距離空間。

3 完備距離空間的閉球套定理

在完備的距離空間中成立閉球套定理，類似于實(shí)數(shù)集上的閉區(qū)間套定理，證明方法也是類似的。

定理2[3]（完備距離空間的閉球套定理）設(shè)(X,ρ)為完備的距離空間，{xn}?X，n=1,2,3,…。閉球序列滿足條件S1?S2?S3?…?Sn?…，其中n=1,2,3,…，且εn→0(n→∞)，則必有唯一的一點(diǎn)。

下面應(yīng)用定理2證明“數(shù)學(xué)分析”課程中“實(shí)數(shù)集的閉區(qū)間套定理”，過程簡單，也很自然。

定理3[4]（實(shí)數(shù)集的閉區(qū)間套定理）設(shè)[an,bn]（n=1,2,3,…）是一列有界閉區(qū)間，滿足：

（Ⅰ）?n∈N，都有an≤an+1＜bn+1≤bn，即，則在實(shí)數(shù)集中存在唯一的ξ∈[an,bn]（n=1,2,3,…）。

證明考慮完備的距離空間(?,ρ)，其中ρ(x,y)=|x-y|，?x,y∈?。令

4 完備距離空間中的聚點(diǎn)定理

在實(shí)數(shù)集上，任何有界集中的點(diǎn)列都存在收斂的子列，這就是實(shí)數(shù)完備性定理中的聚點(diǎn)定理。“泛函分析”課程中，滿足聚點(diǎn)定理的集合稱為列緊集。同樣，在一般抽象的距離空間中也有有界集。

定義2設(shè)(X,ρ)為一個(gè)距離空間，A?X。如果存在一個(gè)固定的點(diǎn)x0∈X，固定的常數(shù)K＞0，使得對于任意的x∈A，恒有ρ(x,x0)≤K，則稱A是(X,ρ)中的有界集。

在一般完備的距離空間上，任何有界集中的點(diǎn)列是否跟實(shí)數(shù)集一樣都存在收斂的子列，即有界集是不是列緊集，回答是否定的。下面就是一個(gè)最典型的反例。

例完備距離空間(C([0,1]),ρmax)，其中|，??f,g∈C([0,1])。取，則，故{fn(x) }為(C([0,1)],ρmax)的有界點(diǎn)列。因?yàn)榘凑咋裮ax收斂等價(jià)于函數(shù)列一致收斂，而{fn(x) }={xn}在[0,1]上不可能一致收斂，故{fn(x) }按照距離ρmax沒有收斂的子列。

在一般抽象的完備距離空間上，只有完全有界集滿足聚點(diǎn)定理，其定義如下。

定義3[5]設(shè)(X,ρ)為任意的距離空間，A是X中的點(diǎn)集，B是A的子集。如果存在正數(shù)ε，使得以B中各點(diǎn)為心，以ε為半徑的開球全體覆蓋A，即，那么稱B是A的ε-網(wǎng)。如果對任意的ε＞0，集A總有有限的ε-網(wǎng){x1,x2,x3,…,xn}?A（點(diǎn)的個(gè)數(shù)n可以隨ε而變），那么稱A是完全有界集。

距離空間中的完全有界集一定是有界集，反之不真。但在任何有限維賦范線性空間中，兩者是等價(jià)的，即有界集也是完全有界集。實(shí)數(shù)集上的有界集本質(zhì)上是一個(gè)完全有界集。在完備的距離空間中，完全有界集是一個(gè)滿足聚點(diǎn)定理的集合，即完全有界集是列緊集。

定理4（完備距離空間中的聚點(diǎn)定理）在完備的距離空間中，完全有界點(diǎn)列一定存在收斂子列。

實(shí)數(shù)集是一維賦范線性空間，其上的有界點(diǎn)列就是完全有界點(diǎn)列，從而一定存在收斂子列。這樣，“數(shù)學(xué)分析”中實(shí)數(shù)集的聚點(diǎn)定理也是自然成立的。由上面的討論可知，滿足聚點(diǎn)定理的集合本質(zhì)上是列緊集，只不過在完備的距離空間上，列緊集的具體表現(xiàn)形式為完全有界集，而在實(shí)數(shù)集這類有限維空間上，列緊集就是有界集，從這個(gè)角度來理解“數(shù)學(xué)分析”中的實(shí)數(shù)集的聚點(diǎn)定理就會(huì)更加透徹。

5 完備距離空間中的有限覆蓋定理

在實(shí)數(shù)集上，有限覆蓋定理和聚點(diǎn)定理是等價(jià)的，利用它們可以證明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，如最大值定理和等度連續(xù)定理等等。仔細(xì)考察這些定理的證明可以發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)集上的有限覆蓋定理對有界閉集同樣成立，而對于一般抽象的距離空間，滿足有限覆蓋定理的集合是緊集，這是一類比有界閉集更強(qiáng)的集合。至于在完備的距離空間中，由于完全有界集就是列緊集，所以完全有界閉集就是緊集，從而得到完備距離空間的有限覆蓋定理。

定理5（完備距離空間的有限覆蓋定理）設(shè)(X,ρ)為完備的距離空間，A為X中任意的完全有界閉集。對于A的任意開覆蓋，那么必有{Gα}（α∈Λ）中的有限個(gè)開集{Gα1,Gα2,Gα3,…,Gαn}覆蓋A，即。

在有限維空間上，由于有界集是完全有界的，當(dāng)然也是列緊的，所以有界閉集既是完全有界閉集，也是緊集。從這個(gè)角度和定理5可知，實(shí)數(shù)集上有界閉集一定滿足有限覆蓋定理。

6 結(jié)束語

本文從距離空間完備性角度重新審視實(shí)數(shù)集的完備性定理，站在距離空間的角度更有利于清晰透徹地看清實(shí)數(shù)集的本質(zhì)。相應(yīng)地，通過給出實(shí)數(shù)集這一具體的距離空間，距離空間中的一些抽象概念也得到更好的直觀解釋。利用有限維賦范線性空間一定是完備距離空間來研究實(shí)數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則以及閉區(qū)間套定理。在此基礎(chǔ)上，通過有限維賦范線性空間中的有界集就是列緊集、有界閉集就是緊集來分別闡述實(shí)數(shù)完備性定理中的聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理。利用距離空間的完備性理論審視實(shí)數(shù)空間的完備性，闡述兩者是一般與個(gè)別的關(guān)系，說明距離空間是實(shí)數(shù)空間的抽象，從而得到距離空間的很多特性都類似于實(shí)數(shù)集的結(jié)論。