基于去噪和分形的加密貨幣投資組合模型優(yōu)化研究

曹廣喜 張星宇

1 南京信息工程大學(xué) 管理工程學(xué)院，南京，210044 2 南京信息工程大學(xué) 濱江學(xué)院，無錫，214105 3 南京信息工程大學(xué) 氣象災(zāi)害預(yù)報(bào)預(yù)警與評估協(xié)同創(chuàng)新中心，南京，210044

0 引言

加密貨幣在2008年全球金融危機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)快速發(fā)展的背景下應(yīng)運(yùn)而生，是一種不在央行和任何金融機(jī)構(gòu)約束下的“電子貨幣”，相較于其他貨幣，具有去中心化交易、匿名性、可審計(jì)性等特點(diǎn)[1].加密貨幣為大眾提供了一種新的儲值和投資手段，是當(dāng)下最熱門的投資焦點(diǎn)和市場話題之一.然而，加密貨幣投資的高回報(bào)與高風(fēng)險并存，以受關(guān)注度最高的比特幣為例，關(guān)于它的價格動態(tài)的早期研究表明其“極具投機(jī)性”[2].因此，研究加密貨幣投資組合策略對于提高資產(chǎn)風(fēng)險管理能力具有重要意義.

Markowitz提出的均值-方差(M-V)模型是公認(rèn)的投資組合理論的開端，然而很多學(xué)者認(rèn)為該模型以方差度量風(fēng)險存在較大誤差[3].于是，VaR、CVaR等[4-5]風(fēng)險度量手段被相繼提出，而CVaR因其突破了正態(tài)分布假設(shè)的局限，且具有次可加性和凸性[6]，被認(rèn)為是一種比VaR風(fēng)險計(jì)量技術(shù)更為合理有效的現(xiàn)代風(fēng)險管理方法[7-8].雖然這些傳統(tǒng)投資組合理論對于現(xiàn)代金融領(lǐng)域發(fā)展具有重要意義，但仍然存在應(yīng)用上的局限性：其一，以方差或CVaR度量風(fēng)險只在線性假設(shè)前提下使用，而越來越多的實(shí)證分析證明金融時間序列具有復(fù)雜的非線性相依結(jié)構(gòu)[9]；其二，金融時間序列由于大量帶有時頻雙域的交易噪聲往往呈現(xiàn)不規(guī)則和粗糙的結(jié)構(gòu)特征[10]，會影響對數(shù)據(jù)的進(jìn)一步分析和處理.近年來有研究發(fā)現(xiàn)分形方法有利于克服傳統(tǒng)模型只能研究序列間線性相依結(jié)構(gòu)的缺陷[11].多重分形消除趨勢互相關(guān)分析方法(MF-DCCA)是用來分析不同時間標(biāo)度下兩個非平穩(wěn)時間序列的長期交叉相關(guān)性和多重分形性的一種方法，唐勇等[9]將其與M-V模型結(jié)合，基于滬港股市組合提出了多重分形投資組合模型，在收益率、波動率、 夏普比率和社會經(jīng)濟(jì)福利指標(biāo)下與傳統(tǒng)投資策略進(jìn)行樣本外比較分析，證明了多重分形投資組合模型相對傳統(tǒng)線性投資組合模型的優(yōu)越性.Zhu等[12]在多重分形投資組合模型基礎(chǔ)上使用多小波去噪濾除時間序列中的噪聲，是對投資組合理論結(jié)合分形方法的一次完善.然而Kopsinis等[13]認(rèn)為與小波去噪法相比，經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解法(EMD)能夠自適應(yīng)地去除噪聲，在客觀性和分辨率方面更具優(yōu)勢.李合龍等[14]提出了改進(jìn)的EMD去噪法，通過變點(diǎn)技術(shù)判斷信噪的分界點(diǎn)，再用軟閾值法過濾噪聲信號，相較傳統(tǒng)EMD方法，這種改進(jìn)EMD去噪法能兼具變點(diǎn)技術(shù)判斷含噪信號的精確性以及軟閾值去噪的連

續(xù)性.盡管國內(nèi)外對于分形投資組合理論已有一定的研究積累，但是目前這種方法還是僅限于研究較為常規(guī)的傳統(tǒng)資產(chǎn)，對于波動性更強(qiáng)、流動性更大的“極具投機(jī)性”資產(chǎn)——加密貨幣投資組合的優(yōu)化效果猶未可知.因此，本研究有助于彌補(bǔ)這一空白.

另外，關(guān)于加密貨幣投資組合的研究起步較晚，且局限在傳統(tǒng)投資組合理論框架下.Brauneis等[15]于2019年首次將傳統(tǒng)的均值-方差投資組合框架應(yīng)用于加密貨幣，并將該框架下的風(fēng)險和回報(bào)與單一市場投資基準(zhǔn)相關(guān)聯(lián)，認(rèn)為加密貨幣組合化投資可以顯著改善投資結(jié)果.隨后，Liu[16]分析了Bitcoin、Ethereum、Ripple等10種加密貨幣組成的投資組合也得出了類似的結(jié)論.Platanakis等[17]將方差約束條件應(yīng)用于Black-Litterman模型來構(gòu)建加密貨幣投資組合，發(fā)現(xiàn)其優(yōu)于1/N和Markowitz基準(zhǔn)，這表明投資者在管理加密貨幣投資組合時應(yīng)使用更復(fù)雜的投資組合技術(shù)，以控制輸入?yún)?shù)中的估計(jì)誤差.

本文借鑒李合龍等[14]提出的改進(jìn)EMD去噪方法，與分形投資組合模型相結(jié)合，提出了EMD-Mean-MF-DCCA模型，解決了以往投資組合模型中金融時間序列時頻雙域噪聲帶來的干擾問題.另外，將EMD-Mean-MF-DCCA模型應(yīng)用于加密貨幣投資組合研究，證明分形投資組合模型應(yīng)用于加密貨幣市場的優(yōu)越性，是對分形理論應(yīng)用的一次補(bǔ)充和完善.

1 EMD去噪下多重分形投資組合模型

EMD-Mean-MF-DCCA模型構(gòu)建的核心是立足于多重分形投資組合模型[9]，并融入李合龍等[14]提出的結(jié)合變點(diǎn)分析技術(shù)和軟閾值去噪的改進(jìn)EMD去噪法.主要通過以下步驟實(shí)現(xiàn)：

步驟1.用改進(jìn)的EMD去噪方法對時間序列X(t)進(jìn)行去噪處理，得到x(t).具體操作如下：

先對原始序列進(jìn)行EMD分解，提取本征模函數(shù)IMFi(t)和趨勢項(xiàng)r(t)：

(1)

其中，i=1,2,…,n，n是IMF分量個數(shù).

最后，對含噪IMF分量進(jìn)行軟閾值去噪處理，可以獲得去噪后的IMF分量，即IMFi(t)′，i

(2)

IMF1(t)′，IMF2(t)′，…，IMFi0-1(t)′與IMFi0(t)，IMFi0+1(t)，…，IMFn(t)，r(t)加總后得到去噪的重構(gòu)序列x(t).

步驟2.在MF-DCCA方法的基礎(chǔ)上構(gòu)造EMD-Mean-MF-DCCA模型.具體操作方式如下：

首先，將新序列x(m)(t)，t=1,2,…,N，N表示時間序列的長度，代入式(3)，構(gòu)建輪廓序列：

(3)

(4)

然后，將q階波動函數(shù)定義為

(5)

如果兩個時間序列是長程相關(guān)的，則標(biāo)度關(guān)系滿足Fxy(q,s)～shxy(q).若00，標(biāo)度指數(shù)hxy(q)刻畫了時間序列間大幅波動的標(biāo)度行為；當(dāng)q<0，標(biāo)度指數(shù)hxy(q)刻畫了時間序列間小波動的標(biāo)度行為.

最后，將重構(gòu)序列及q階波動函數(shù)代入M-V模型，構(gòu)建EMD-Mean-MF-DCCA：

(6)

步驟3.用多目標(biāo)模糊非線性規(guī)劃方法(FMNP)[12]，來獲得滿足收益最大、風(fēng)險最小雙重目標(biāo)的最優(yōu)權(quán)重分配方案.FMNP應(yīng)用于EMD-Mean-MF-DCCA的算法如下：

(7)

其中，f(w),g(w)作為兩個目標(biāo)函數(shù)，分別對應(yīng)的兩個隸屬函數(shù)μf(w),μg(w)如下：

(8)

(9)

假設(shè)λ為最大滿意度，即

λ=max{minμf(w),minμg(x)}.

(10)

若在步驟2取n個q階，則每個標(biāo)度s對應(yīng)n組(不同q階下的)權(quán)重配置方案.在標(biāo)度為s0，q=k時，滿足λ=max{minμf(w),minμg(w)}，得到標(biāo)度s0下的最優(yōu)權(quán)重配置方案{wi,k,s0}.

EMD-Mean-MF-DCCA模型應(yīng)用于優(yōu)化資產(chǎn)投資策略的大致路徑是：先采用改進(jìn)的EMD方法濾除金融序列中的噪聲，得到濾噪后的重構(gòu)序列，再結(jié)合滾動窗技術(shù)，利用MF-DCCA改進(jìn)下的新模型從不同的波動幅度中提取有效的預(yù)測信息，并通過FMNP將其整合到相同的時間尺度中，由此可以得到不同時間尺度下的最優(yōu)資產(chǎn)配置方案.

2 實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)選取與描述性統(tǒng)計(jì)

本文選取比特幣、萊特幣、瑞波幣這三種有較長發(fā)展歷史且極具代表性的加密貨幣作為研究對象，數(shù)據(jù)樣本范圍為2013年8月5日至2020年4月21日，一共有2 452組日收盤價數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)來自于https:∥coinmarketcap.com/.

2018國際數(shù)字經(jīng)濟(jì)博覽會發(fā)布的《區(qū)塊鏈3.0共識藍(lán)皮書》提出明確的區(qū)塊鏈時代劃分，認(rèn)為區(qū)塊鏈產(chǎn)業(yè)在2018年進(jìn)入3.0階段，在這一階段，區(qū)塊鏈技術(shù)將突破其在金融領(lǐng)域的應(yīng)用范疇，賦能實(shí)體經(jīng)濟(jì).隨著區(qū)塊鏈技術(shù)應(yīng)用范圍不斷擴(kuò)大，各國政府逐步將這一新型金融市場納入監(jiān)管范圍.盡管從長遠(yuǎn)來看，加強(qiáng)市場監(jiān)管有利于解決加密貨幣行業(yè)的各種市場亂象，但也促使短期內(nèi)加密貨幣市場由牛轉(zhuǎn)熊.由圖1—3可知，幣價在區(qū)塊鏈2.0時代末期飛漲后，于區(qū)塊鏈3.0時代迎來大幅崩潰.其中比特幣在2017年12月16日達(dá)到了歷史新高的19 475.8美元，隨后開始急劇下跌，其他加密貨幣也在1個月之內(nèi)對其價格暴跌做出了回應(yīng)[19].

圖1 比特幣價格走勢Fig.1 Bitcoin prices during Aug.5th,2013 to Apr.21st,2020

圖2 萊特幣價格走勢Fig.2 Litecoin prices during Aug.5th,2013 to Apr.21st,2020

圖3 瑞波幣價格走勢Fig.3 Ripple prices during Aug.5th,2013 to Apr.21st,2020

取對數(shù)收益率可以有效消除幣價的指數(shù)趨勢，因此加密貨幣的日收益率定義為：Ri(t)=ln(Pi(t))-ln(Pi(t-1))，其中Pi(t)表示加密貨幣i在t交易日的收盤價.表1顯示，三個序列的偏度大于0，表現(xiàn)為右偏特征，峰度均大于3，表現(xiàn)為顯著的尖峰厚尾特征，J-B統(tǒng)計(jì)量顯著，表明收益率序列不服從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布.ADF單位根檢驗(yàn)結(jié)果表明各個序列在1%水平下皆拒絕原假設(shè)，經(jīng)過差分后的各個序列已經(jīng)平穩(wěn).三個Hurst指數(shù)均小于0.5，顯示加密貨幣時間序列具有反持久性，說明選取的資產(chǎn)序列均服從有偏隨機(jī)游走過程.

表1 收益率的描述性統(tǒng)計(jì)

2.2 投資組合樣本外檢驗(yàn)分析

投資組合模型效果比較一般通過樣本外檢驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[21].所以本文將基于滾動窗口技術(shù)進(jìn)行樣本外檢驗(yàn)，分析EMD-Mean-MF-DCCA是否優(yōu)于其他比較模型.按照2.1提到的時代節(jié)點(diǎn)將區(qū)塊鏈2.0時代2013年8月5日至2017年12月31日劃分為估計(jì)樣本區(qū)間，長度為1 610個交易日；區(qū)塊鏈3.0時代2018年1月1日到2020年4月21日劃分為預(yù)測樣本區(qū)間，長度為842個交易日.本研究遵循追求最小風(fēng)險的原則，將始終依次選取1 610個觀察值作為滾動窗口，采用m=3階的最小二乘法對窗口區(qū)間的局部趨勢進(jìn)行擬合，在給定期望收益條件下風(fēng)險最小的組合點(diǎn)構(gòu)成的投資組合有效前沿上，選擇有效前沿上的最小方差組合作為觀察值外下一個交易日的最佳資產(chǎn)配置方案，然后不斷迭代直至得出整個預(yù)測樣本區(qū)間一共842個交易日的最優(yōu)資產(chǎn)組合配置方案.根據(jù)估計(jì)窗口長度，標(biāo)度s的取值為50、100、150、200、250、300、350、400,q階取-2、-1、1、2、3、4.

對照基準(zhǔn)包括單一市場投資策略、等權(quán)重策略、Markowitz策略、Mean-CVaR策略(置信水平選取90%、95%)[8]等傳統(tǒng)投資組合策略.策略評價指標(biāo)選取收益率、標(biāo)準(zhǔn)差和夏普比率，其中夏普比率為[E(Rp)-Rf]/σp.E(Rp)-Rf指超過整個樣本期的無風(fēng)險收益率的平均投資組合收益，Rf是無風(fēng)險利率，本文假設(shè)其為0，σp是在樣本期間預(yù)測的投資組合標(biāo)準(zhǔn)差.

由表2可知，單一投資比特幣的策略在收益、風(fēng)險、夏普比率方面均要優(yōu)于其他對照組.可以看出比特幣作為最早發(fā)行的加密貨幣，在區(qū)塊鏈3.0時代下，不論從收益率角度來看，還是從風(fēng)險的角度看，相比于其他加密貨幣都具有絕對的優(yōu)勢.實(shí)際上，比特幣自發(fā)行之日起，就一直占據(jù)絕對的市場支配地位，體現(xiàn)在：其一，比特幣的市場占比自始至終領(lǐng)先于其他加密貨幣，即使是價格在2017年12月大幅崩潰，其市場占有率最低也達(dá)到了32.81%，在整體加密貨幣中排名第一，隨后在2019年占比最高升至69.90%；其二，比特幣的流動性遠(yuǎn)大于其他加密貨幣.有調(diào)查表明，比特幣的流動性似乎是以太坊的5倍，是EOS、Litecoin、XRP和BCH等其他所有加密貨幣的 10 倍以上.由此可見，比特幣單一市場作為最優(yōu)基準(zhǔn)有理可依.

表2 對照基準(zhǔn)樣本外檢驗(yàn)結(jié)果

由表3可知：Mean-DCCA策略在收益率上有4組優(yōu)于或等同于比特幣單一市場投資策略；有7組風(fēng)險小于或等同于比特幣單一市場投資基準(zhǔn)；4組的夏普比率優(yōu)于或等同于比特幣基準(zhǔn).由此可以看出，單分形投資組合模型通過刻畫和描述加密貨幣市場在不同時間標(biāo)度下的波動[12]，從看似無序的市場結(jié)構(gòu)中描述其運(yùn)行規(guī)律，提高了投資組合的盈利能力和抗風(fēng)險能力.整體來看，在時間標(biāo)度s=350時，收益率和夏普比率這兩個指標(biāo)要優(yōu)于其他標(biāo)度組,s=200時，標(biāo)準(zhǔn)差要小于其他標(biāo)度組.而疊加改進(jìn)的EMD去噪方法得到EMD-Mean-DCCA策略后，發(fā)現(xiàn)任意標(biāo)度下相對Mean-DCCA策略，在提高收益率和降低風(fēng)險方面均取得了顯著的成果.可以證明改進(jìn)的EMD去噪方法能夠有效地過濾時間序列的噪聲，起到優(yōu)化分形投資組合的作用.另外，在去噪條件下，標(biāo)度s=300時，投資組合的收益率和夏普比率最大,s=200時，風(fēng)險最小.至于EMD-Mean-MF-DCCA策略，從表3中可以看出，該策略在任意標(biāo)度下從收益、風(fēng)險和夏普比率三個方面均優(yōu)于單一投資比特幣的策略，且明顯優(yōu)于同標(biāo)度的Mean-DCCA策略.而相較于EMD-Mean-DCCA策略的優(yōu)勢主要體現(xiàn)在降低風(fēng)險的效果上.其中，時間標(biāo)度s=200策略下的收益率和夏普比率要優(yōu)于其他任何基準(zhǔn)，同時該策略的標(biāo)準(zhǔn)差小于其他基準(zhǔn).可見與其他模型相比， EMD-Mean-MF-DCCA模型可以有效消除時間序列中的噪聲，并整合來自不同波動的預(yù)測信息，以達(dá)到改善投資組合的績效的目的，從而可以為不同交易周期的投資者們提供盈利能力和抗風(fēng)險能力更佳的投資策略.綜合比較上述基準(zhǔn)，發(fā)現(xiàn)使用分形和去噪方法構(gòu)建的投資組合模型能夠取得良好的投資組合效果，優(yōu)于單一市場、M-V等傳統(tǒng)投資組合策略.其中EMD-Mean-DCCA是EMD-Mean-MF-DCCA的特殊形式，即僅考慮波動幅度q=2的情況.整體來看，EMD-Mean-MF-DCCA策略下的最優(yōu)時間標(biāo)度為s=200，EMD-Mean-DCCA策略下的最優(yōu)時間標(biāo)度為s=300，而加密貨幣市場進(jìn)行短期投資或者長期投資則難以取得最佳的投資效果，投資者進(jìn)行短期投資可以及時根據(jù)市場行情來調(diào)整投資組合權(quán)重，縱然有機(jī)會減少極端事件對投資組合的影響，但是對于極具投機(jī)性的加密貨幣來說，難免效率低下.另外，自2017年數(shù)字貨幣暴漲以后，加密貨幣市場興起了“屯幣”行為，隨之而來的就是數(shù)字貨幣一再的大幅崩潰，導(dǎo)致很多投資者被2017年巔峰時期投資的數(shù)字貨幣套牢，結(jié)合實(shí)證結(jié)果，認(rèn)為長期持有加密貨幣需謹(jǐn)慎.

表3 分形投資組合策略樣本外檢驗(yàn)結(jié)果

2.3 穩(wěn)健性檢驗(yàn)

穩(wěn)健性檢驗(yàn)部分將調(diào)整估計(jì)樣本區(qū)間取值范圍，討論加密貨幣價格處于上升趨勢時使用EMD-Mean-MF-DCCA模型是否仍然具有優(yōu)勢.由圖1—3可以看出比特幣價格約在2019年1月底開始有所回升(第2 000組數(shù)據(jù))，到同年9月底又開始下降，其他加密貨幣也隨之產(chǎn)生波動.故該部分以總樣本前2 000組數(shù)據(jù)作為估計(jì)樣本區(qū)間，后452組數(shù)據(jù)作為預(yù)測樣本區(qū)間.

由表4—5可知，改進(jìn)模型的優(yōu)化效果在收益率和夏普比率這兩個指標(biāo)上的表現(xiàn)與前文描述差異不大，但是在標(biāo)準(zhǔn)差這一指標(biāo)上表現(xiàn)不佳.其次，依次改進(jìn)的三種模型均是s=300的標(biāo)度組表現(xiàn)最為優(yōu)異，這也驗(yàn)證了分形方法下的加密貨幣組合進(jìn)行短期投資或者長期投資均不能取得最優(yōu)的投資效果.另外，EMD去噪方法下分形投資組合模型的收益率和夏普比率要優(yōu)于未去噪的加密貨幣投資組合模型，可見疊加去噪方法對分形投資組合起到了優(yōu)化作用.通過穩(wěn)健性檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)，無論加密貨幣價格面對上升趨勢還是下降趨勢，EMD-Mean-MF-DCCA模型相較于其他基準(zhǔn)均具有優(yōu)勢.

表4 對照基準(zhǔn)樣本外檢驗(yàn)結(jié)果

3 結(jié)語

本文結(jié)合EMD去噪法和分形方法在均值-方差模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行模型的優(yōu)化研究，提出了新模型EMD-Mean-MF-DCCA，并以比特幣、瑞波幣、萊特幣為研究對象進(jìn)行加密貨幣投資組合策略比較分析.通過樣本外檢驗(yàn)和穩(wěn)健性檢驗(yàn)，主要結(jié)論如下：

1)研究發(fā)現(xiàn)單獨(dú)利用單分形方法以改進(jìn)M-V模型，即能取得顯著的優(yōu)化效果，且多分形投資策略要優(yōu)于單分形投資策略，驗(yàn)證了用分形方法改進(jìn)M-V模型中風(fēng)險度量手段的優(yōu)越性.

2)新模型EMD-Mean-MF-DCCA通過改進(jìn)風(fēng)險度量手段和剝離時間序列自身的含噪信號，解決了傳統(tǒng)均值-方差模型實(shí)際應(yīng)用的兩個缺陷.經(jīng)過實(shí)證檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)去噪多重分形投資組合策略優(yōu)于單一市場、等權(quán)重、M-V和Mean-CVaR等傳統(tǒng)投資組合策略，也要優(yōu)于單分形投資組合策略和去噪單分形投資組合策略.其優(yōu)越性具體表現(xiàn)為，無論數(shù)字貨幣價格正處于上升趨勢還是下降趨勢，新模型相較于其他基準(zhǔn)均在盈利能力和夏普比率方面具有優(yōu)勢；另外，當(dāng)數(shù)字貨幣大幅下行震蕩時，新模型下的組合投資方案還具有較好的抵抗風(fēng)險能力.

雖然本文驗(yàn)證了EMD-Mean-MF-DCCA策略相對于其他傳統(tǒng)投資組合策略在提高收益、分散風(fēng)險上的優(yōu)勢，但是最優(yōu)時間標(biāo)度會受波動幅度信息、估計(jì)樣本區(qū)間的影響.無論去噪分形投資組合模型改進(jìn)程度如何、無論當(dāng)前的加密貨幣價格趨勢如何，對加密貨幣投資組合而言，短期投資或者長期投資均難以取得最佳的投資效果，而如何在投資前確定最佳的交易周期仍有待進(jìn)一步研究.

表5 分形投資組合策略樣本外檢驗(yàn)結(jié)果