黏塑性蠕變模型中屈服強度的確定方法

何志磊，任朋勛

(1. 華北水利水電大學巖土工程與水工結(jié)構(gòu)研究院，鄭州 450046； 2. 國家林業(yè)和草原局昆明勘察設(shè)計院，昆明 650216)

在巖石流變模型研究中，模型理論因概念直觀、簡單，同時也能全面反映流變介質(zhì)的各種流變特性，獲得了廣泛應用。模型理論是用3個理想元件：彈簧、黏壺和滑塊(也稱圣維南體)分別表示理想的彈性、理想的黏性和理想的剛塑性，通過這3個基本元件的串、并聯(lián)組合來描述巖石復雜的流變變形特征。夏才初等[1-2]根據(jù)巖石基本流變力學特性，提出了巖石的統(tǒng)一流變模型，所有的流變力學模型經(jīng)過結(jié)構(gòu)元件變換，都可以變換為統(tǒng)一流變模型，并給出模型的辨識方法，這為理論流變力學模型的正確使用提供了指南。但由于組成元件模型的元件都是線性元件，無論串聯(lián)或并聯(lián)多少個元件，其串、并聯(lián)之后的模型仍然是線性模型，可以描述衰減蠕變階段和穩(wěn)定蠕變階段，但不能有效反映加速蠕變階段的特征。為了能夠全面描述復雜的蠕變特性，非線性元件逐漸被提出來，通過對線性元件模型進行修正，得到非線性的蠕變模型，使得模型能夠準確全面描述巖石非線性蠕變特性，甚至可以描述加速蠕變階段的特征[3-6]。早期的修正方法多數(shù)是在線性元件基礎(chǔ)串聯(lián)一個非線性元件，但隨著研究的深入，基于非定常參數(shù)的蠕變模型和采用損傷力學或分數(shù)階理論等多學科交叉建立的修正模型越來越常見[7]，這些修正的模型多是對模型中黏性元件或彈性元件的修正，對塑性元件關(guān)注的不多。元件組合模型中，塑性元件用滑塊表示，當應力大于屈服強度時，就發(fā)生塑性變形，小于就不發(fā)生，實際上就相當于是一個分段函數(shù)的功能，把蠕變變形分為黏彈性變形和黏塑性變形。但在蠕變模型研究中對是否發(fā)生塑性的判斷條件——屈服強度的確定并沒有詳細的方法，部分學者認為屈服強度就是長期強度。例如徐衛(wèi)亞等[5]在建立綠片巖的非線性黏彈塑性流變模型中認為σs表示屈服應力或是長期強度，對這兩者并沒有明確的區(qū)分。蔣昱州等[8]在建立統(tǒng)計損傷流變模型過程中直接用長期強度代替了屈服強度。齊亞靜等[6]指出黏塑性變形的三維蠕變本構(gòu)關(guān)系應該用巖石的屈服函數(shù)和塑性勢函數(shù)表示，而不是用一維的長期強度σs表示，也是認為在一維情況下σs表示長期強度。吳斐等[9]在建立分數(shù)階黏彈塑性蠕變模型中，利用等時曲線法得到長期強度后，認為σs與長期強度等價。周小棚等[10]對提出改進西原模型進行驗證時，同樣是認為長期強度為屈服強度σs。蘇騰等[11]在進行分數(shù)階模型驗證的時候，先求解出三軸下的煤巖的長期強度，認為σs等于長期強度，然后進行反演分析。

從組成元件模型的塑性元件看，屈服極限或者屈服強度是表示巖石是否發(fā)生塑性的條件，而長期強度表示的是巖石長期不發(fā)生破壞的最小力，兩者的物理意義是不同的，在數(shù)值上，屈服強度能否等價于長期強度，需要明確這兩個概念及其之間的關(guān)系。因此，現(xiàn)從概念和物理意義等方面闡述這兩個物理量的含義及它們之間的關(guān)系，并采用作圖法給出蠕變中屈服強度的確定方法。

1 蠕變中屈服強度與長期強度的關(guān)系

根據(jù)材料力學，屈服強度是材料發(fā)生屈服現(xiàn)象時的屈服極限，大于屈服強度后材料將發(fā)生不可恢復的塑性變形。而在元件模型中，采用塑性元件模擬物體的塑性，如圖 1所示，它是由兩接觸面粗糙的滑塊組成，所以有時也稱為滑塊或摩阻件，σ為作用在巖石上的長期荷載，它具有一個起始的摩擦阻力σs，若外力小于此起始摩擦阻力，則不產(chǎn)生變形，若大于此值時，它在等應力下出現(xiàn)塑性流動，這個摩阻力稱為屈服應力(屈服強度)，一旦應力除去，變形也不會恢復，留下永久變形。

圖 1 塑性元件受力示意圖Fig.1 Plastic element stress diagram

由于出發(fā)點不同，長期強度的概念有不同的表述。劉雄等[12]給出的長期強度的定義為：巖石在長期的應力場或變形場的作用下能保持巖體穩(wěn)定的最大應力，即在這一應力值時，材料將發(fā)生破壞而未發(fā)生破壞，也可以定義為：在指定的巖石工程運行的時間內(nèi)，巖體不發(fā)生破壞的最大可能的作用力。孫鈞[13]給出的長期強度的定義是巖體強度隨時間而持續(xù)有限降低，并逐漸趨近于一個穩(wěn)定收斂的低限定值。

從概念上看，屈服強度和長期強度的物理含義是完全不同的，但實際上，在蠕變過程中兩者之間是相關(guān)的，這主要得益于采用等時曲線法確定巖石長期強度的過程和原理。等時曲線法是目前應用比較廣泛的確定巖石長期強度的方法，并引入相關(guān)的巖石力學試驗規(guī)范。采用等時曲線法確定巖石的長期強度，通常是根據(jù)波茲曼疊加原理，在一簇不同應力水平的蠕變曲線上，做一條與縱軸平行的直線，使得該直線與不同應力下的蠕變曲線相交，且利用各交點的應力-應變值繪制曲線，由此而獲得在應力-應變坐標下的等時應力-應變曲線，也稱為等時曲線。根據(jù)等時曲線的形態(tài)特征確定其屈服極限值，并將各等時曲線的屈服極限值的連線所組成的水平漸近線在應力軸上的截距作為長期強度值，如圖 2 所示，由此可知，長期強度是由屈服點的漸近線確定的，說明了屈服強度和長期強度的關(guān)系，且長期強度是要小于屈服強度的，可以認為長期強度是在時間趨于無窮時的屈服極限，并且通過把不同時刻的屈服強度與相應的時間表示出來，如圖 3所示，可以知道屈服強度隨著時間是減小的。

B0、B1、B2、B3、B4、B5為屈服線上的點圖 2 等時應力-應變曲線Fig.2 The isochronous curve

圖 3 屈服強度隨時間的變化規(guī)律Fig.3 The law of yield strength with creep time

屈服強度隨時間的變化規(guī)律[14]可以表示為

(1)

式(1)中：σs為巖石的屈服強度；σ為作用在巖石上的長期荷載；σ∞為巖石長期強度，數(shù)值上等于巖石的長期屈服極限σs∞；σs0為巖石瞬時屈服強度，可以通過常規(guī)力學試驗得到；α為反映巖石損傷的參數(shù)，其大小與巖石的材料特性和外荷載有關(guān)，可由試驗確定；t為巖石開始發(fā)生屈服后的持續(xù)時間，數(shù)值上等于巖石開始加載的持續(xù)時間減去作用力小于屈服強度作用的時間。

根據(jù)式(1)，當巖石受到的應力小于等于長期強度時，屈服強度為瞬時的屈服強度，當受到的應力大于長期強度時，屈服強度隨加載時間增長而減小，變化的區(qū)間為從長期強度到瞬時屈服強度。在蠕變模型中塑性元件被看作是滑塊，從物體摩擦特性進行比較分析，屈服強度就相當于是摩擦力，瞬時屈服強度相當于靜摩擦力，而長期強度相當于動摩擦力，靜摩擦力在數(shù)值上是大于動摩擦力，也就是瞬時屈服強度大于長期強度。

2 蠕變中屈服強度的確定方法

由于屈服強度是隨時間變化的，直接確定屈服時間是困難的。Goodman[15]研究巖石蠕變應變軌跡與巖石全應力-應變曲線之間的關(guān)系，分析了巖石蠕變破壞點與全應力-應變曲線下降段(破壞段)具有很好的相關(guān)性。許宏發(fā)等[16]在此基礎(chǔ)上，把全應力-應變曲線和等時曲線聯(lián)系起來，研究了軟巖的蠕變壽命估計。同樣借助于蠕變應變軌跡與巖石全應力-應變曲線的關(guān)系，通過作圖確定巖石蠕變中的屈服強度及屈服發(fā)生的時刻。

按照等時曲線法求解長期強度的步驟，把等時曲線的屈服點相連，同時在同一坐標系中繪制全應力-應變曲線，得到結(jié)果如圖 4所示。

圖 4 全應力-應變曲線與等時應力-應變曲線的關(guān)系Fig.4 Relationship of complete stress-strain curve and isochronous curve

在圖 4中，蠕變過程為一條水平直線，累積應變與全應力-應變曲線的下降段相交時蠕變發(fā)生破壞[16]。PH表示蠕變終止線，NH表示屈服線，屈服線標志著巖石由黏彈性階段向黏塑性階段轉(zhuǎn)化，巖體內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生劣化。由此可以把巖石發(fā)生蠕變的過程分為不同的區(qū)域：蠕變終止線PH以下區(qū)域，表示不發(fā)生蠕變變形；PMH區(qū)域表示發(fā)生蠕變變形，但最終變形趨于穩(wěn)定；MNH區(qū)域表示發(fā)生黏彈性變形而不發(fā)生黏塑性變形；NH以上區(qū)域表示不僅有黏彈性變形還有黏塑性變形。

根據(jù)不同區(qū)域的特征，屈服強度的確定方法分為3種情況進行討論。

(1)如果作用力σF≤σ∞，巖石未損傷或是僅有局部損傷，巖石的整體強度未發(fā)生改變，對應于PMH區(qū)域，蠕變到達終止線后變形不再變化，趨于穩(wěn)定，例如蠕變試驗起始于A點，經(jīng)過一定時間后(無窮大)，接近I點而趨于穩(wěn)定。此時屈服強度可以取為瞬時屈服強度σs0，瞬時屈服強度大于長期強度，也就大于作用力σF，所以此時蠕變模型中的滑塊未滑動，不發(fā)生塑性變形，只發(fā)生黏彈性變形。

(2)如果作用力σ∞<σF<σs0，蠕變達到全應力-應變曲線下降段后將發(fā)生破壞，例如蠕變試驗起始于B點，經(jīng)過一定時間至F點而發(fā)生蠕變破壞。然而，在加載的初始時間內(nèi)巖石是不發(fā)生黏塑性的，只有黏彈性變形，隨著作用時間增長，屈服強度σs(t)逐漸減小，在G點發(fā)生屈服，之后才發(fā)生黏塑性變形。根據(jù)G點的位置與等時曲線的關(guān)系，可以獲得開始發(fā)生塑性屈服的時刻，巖石開始加載的持續(xù)時間減去此時刻的時間即為巖石開始發(fā)生屈服后的持續(xù)時間。之后，在黏塑性計算中，屈服強度隨時間逐漸減小，利用式(1)計算得到此時的屈服強度及隨著時間逐漸減小的規(guī)律。

(3)如果作用力σF>σs0，蠕變達到全應力-應變曲線下降段后同樣將發(fā)生破壞，巖石開始加載后不僅有彈性變形，同時發(fā)生塑性屈服，產(chǎn)生塑性變形，例如蠕變試驗起始于C點，經(jīng)過一定時間至E點，達到加速蠕變而破壞，此時屈服強度的取值也是由蠕變時間來確定的，所不同的是巖石開始發(fā)生屈服后的持續(xù)時間即為巖石加載的持續(xù)時間。

采用如上所述的方法確定巖石蠕變中的屈服強度在理論上是合理和完善的。但這個分析過程只是對采用等時曲線法確定巖石長期強度的情況有效。下面采用上述的方法，以最簡單的彈黏塑性模型(廣義賓漢姆模型)為例進行具體分析。

經(jīng)典的廣義賓漢姆模型如圖 5所示，其蠕變本構(gòu)方程為

圖 5 廣義賓漢姆模型Fig.5 General bimgham model

(2)

式(2)中：E為彈性模量；η為黏性系數(shù)。

這里的屈服強度認為是一個定值，把作用力分為小于屈服強度和大于屈服強度兩部分，但根據(jù)本文前面的敘述，屈服強度是隨時間變化的，作用力可以分為3種情況進行分析，因此可以對廣義賓漢姆模型重新討論。

(1)當作用力小于長期強度時，此時屈服強度為瞬時屈服強度，作用力小于屈服強度，不發(fā)生塑性變形，只有彈簧表示的彈性變形。

(2)當作用力大于長期強度且小于瞬時屈服強度時，根據(jù)前面分析，巖石蠕變過程中需要加載一定時間后才發(fā)生屈服，發(fā)生黏塑性變形。此時，屈服強度等于作用力，小于瞬時屈服強度。假定開始發(fā)生屈服的時間為ts，那么屈服后的時間為作用力加載時間減去發(fā)生屈服的時間，即為t-ts，根據(jù)式(1)，屈服強度是隨著時間逐漸減小，可以表示為σs=σ∞+(σs0-σ∞)e-α(t-ts)。

(3)當作用力大于瞬時屈服強度時，巖石起始就屈服，根據(jù)式(1)，屈服強度是隨著時間逐漸減小，σs=σ∞+(σs0-σ∞)e-αt，這里的t為作用力加載時間。

根據(jù)以上3種情況，給出相應的蠕變方程為

(3)

式(3)中：ts為開始發(fā)生屈服對應的時間，可以令式(1)的屈服強度等于作用力求得。式(3)即為考慮屈服強度隨時間變化得到的廣義賓漢姆模型的蠕變本構(gòu)方程。

如果不考慮屈服強度隨時間的變化，瞬時屈服強度等于長期強度，式(3)就可以退化為經(jīng)典的廣義賓漢姆模型。當然，對于包含塑性元件的蠕變模型都可以進行類似的分析。

通過比較是否考慮屈服強度隨時間的變化，發(fā)現(xiàn)2種情況下的屈服應力差值為(σs0-σ∞)e-αt，也就是如果采用長期強度代替屈服強度計算得到過應力是偏大的，在蠕變變形中就會多計算發(fā)生的黏塑性變形，蠕變變形差值為

(4)

結(jié)合圖 4分析，實際上就是把MNH區(qū)域的全部或部分黏彈性變形計算為黏塑性變形，使得蠕變計算中的黏塑性變形計算量偏多。但根據(jù)Goodman原理，蠕變跡線與全應力-應變曲線下降段的交點是不變的，發(fā)生蠕變破壞時的總的蠕變變形是相同的。也即是說屈服強度隨時間的變化的分析，只影響蠕變計算中的黏塑性和黏彈性變形量在總的蠕變變形中的份額，而總的蠕變變形量是不變的。

實際上，瞬時屈服強度和長期強度在數(shù)量上可能差距不大。沈明榮等[17]采用等時曲線法對紅砂巖的長期強度特性進行試驗研究，每條等時曲線的拐點對應的荷載基本都在24MPa左右，沒有表現(xiàn)出明顯的屈服強度下降的現(xiàn)象，表明這兩個值差別是比較小的。對部分學者開展的蠕變試驗中的屈服強度和屈服時間的關(guān)系，按照式(1)計算整理得到不同巖石的反演參數(shù)、瞬時屈服強度和長期強度，如表 1所示。

表 1 不同巖石的瞬間屈服強度和長期強度Table1 instantaneous yield strength and long-term strength of different types of rock

從表 1 可以看出，大理巖和壩基軟弱夾層的瞬時屈服強度和長期屈服強度在數(shù)值上差別并不大，但泥質(zhì)板巖的差距較大，可能與巖性、試驗設(shè)備和試驗條件有關(guān)。對于差值比較小的情況，可以按照屈服強度等于長期強度進行使用，而對于差值比較大的情況，建議按照本文方法，分情況確定準確的屈服強度。從工程安全角度講，由于長期強度小于屈服強度，直接用長期強度來代替屈服強度，計算的結(jié)果偏于安全，這種做法是可以接受的，但在精確性方面就有所不足，而提出的確定方法考慮了屈服強度隨時間減小的現(xiàn)象，能夠更為準確地確定屈服強度，在計算黏塑性變形時能夠在一定程度上提高計算結(jié)果的準確性。

對于一定服務期限的巖石工程，可以有效利用巖石的時效強度進行設(shè)計。當巖石工程服務期限相當長(時間趨于無窮)時，應該采用長期強度進行設(shè)計，而對于工程服務期限僅為一段時間的臨時工程，則可以采用服務期限的最小屈服強度作為設(shè)計值。

當作用力大于瞬時屈服強度，根據(jù)服務期限的時間，可以根據(jù)式(4)的第三種情況，求得服務期的最小屈服強度，以此作為設(shè)計強度；當作用力小于瞬時屈服強度，而大于長期強度時，首先根據(jù)作用力等于屈服強度，求得開始屈服的時間ts，如果服務時間小于ts，則此時的屈服強度可以作為設(shè)計值，如果服務時間大于ts，則按照式(4)中的第二種情況，計算服務時間內(nèi)的最小屈服強度，并作為設(shè)計值；如果作用力小于長期強度，則在服務時間內(nèi)不會發(fā)生破壞。

3 結(jié)論

(1)在黏塑性元件模型中，滑塊的屈服強度隨時間而逐漸減小，瞬時屈服強度大于長期強度，根據(jù)全應力-應變曲線與等時曲線的關(guān)系，分不同的情況給出屈服強度的取值方法。

(2)推導了屈服強度隨時間變化情況下的廣義賓漢姆模型，并與經(jīng)典的模型進行比較，分析兩者的差值，發(fā)現(xiàn)不考慮屈服強度隨時間的變化實際上是把部分黏彈性變形計算為黏塑性變形，使得計算的黏塑性變形增多，但總的蠕變變形量不變。

(3)從工程安全角度講，由于長期強度小于屈服強度，認為屈服強度等于長期強度進行設(shè)計計算，得到的結(jié)果偏于安全，是可以接受的，反過來則不行。對于一定服務期限的巖石工程，可以有效利用巖石的時效強度進行設(shè)計。