復雜網(wǎng)絡(luò)上隨機SIS模型的漸近行為

王 焱，劉桂榮

(山西大學 數(shù)學科學學院，山西 太原 030006)

傳染病一直危害著人類健康和社會的發(fā)展.傳染病造成了人類的恐慌和巨大的經(jīng)濟損失，因此對傳染病傳播進行預測是十分重要的，這將有助于國家制定及時且合理的防疫措施[1].由于人群中不同個體的活動方式的異質(zhì)性，復雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病模型比傳統(tǒng)的均勻混合傳染病模型更符合實際，進而使得復雜網(wǎng)絡(luò)上傳染病模型的研究受到國內(nèi)外學者的廣泛關(guān)注[2-5].此外，傳染病傳播過程中不可避免地會受到各種隨機環(huán)境的影響，因此在復雜網(wǎng)絡(luò)上建立隨機傳染病模型是更加合理的[6].但復雜網(wǎng)絡(luò)上隨機傳染病模型的定性研究比較困難，這方面工作還是較少的.文獻[7]建立了下列復雜網(wǎng)絡(luò)上的隨機SIS模型.

dxi(t)=[βsi(t)(1-xi(t))-δxi(t)]dt+σi(xi(t))si(t)(1-xi(t))dBi(t),

(1)

(2)

模型(1)只考慮了每個個體都具有相同的感染率與恢復率.然而，在現(xiàn)實生活中，不同個體的恢復率不同[8-9].例如，不同體質(zhì)的個體的恢復率不同；不同個體的行為方式不同，如衛(wèi)生習慣的不同，進而導致恢復率的不同.基于這些機制，在模型(1)的基礎(chǔ)上，本文研究下列復雜網(wǎng)絡(luò)上具有不同恢復率的隨機SIS模型

dxi(t)=[βsi(t)(1-xi(t))-δixi(t)]dt+σi(xi(t))si(t)(1-xi(t))dBi(t).

(3)

初始值為(x1(0)，…，xN(0))T.這里β表示節(jié)點的感染率，δi表示節(jié)點i的恢復率，σi滿足(2)式，其他參數(shù)與模型(1)的參數(shù)相同.

1 隨機模型的動力學分析

1.1 全局正解的存在唯一性

定理1任取初值X(0)∈Δ，則模型(3)存在唯一的全局正解X(t)，即對任意t≥0，X(t)∈Δa.s.

下面證明τ∞=∞a.s.如若不然，則存在常數(shù)T>0及ε∈(0，1)，使得P{τ∞≤T}>ε.因此對任意n≥n0，令Ωn={τn≤T}，則P(Ωn)>ε.

(4)

其中，

此外，

代入(4)式整理得

進而

令n→∞，可得EV(X(0))+CT≥∞.這與EV(X(0))+CT<∞矛盾.定理得證.

1.2 零解的穩(wěn)定性

1.3 隨機持久性

定義1[11]若對任意ε>0，存在常數(shù)χ=χ(ε)，使得對任意初值X(0)∈Δ，模型(3)的解X(t)滿足

(5)

則稱模型(3)是隨機持久的.

令Z(t)=ekt(1+Q(t))θ，其中k為一個待定常數(shù).進而，

(6)

此外，

1) 當0<θ≤1時，由(6)式可知，

E[Z(t)]-E[Z(0)]≤

(7)

(8)

2) 當θ>1時，由(6)式可知，

2 數(shù)值模擬

取模型(3)的初值為X(t)=(0.5)N，利用ER隨機圖G(N，P)的構(gòu)造算法生成網(wǎng)絡(luò)，其中節(jié)點個數(shù)N=40，連邊概率P=0.3，網(wǎng)絡(luò)的矩陣為A，λ1(A)=3.086 1，σi(xi)=0.3xi，M=0.3.通過E-M方法[13]進行數(shù)值模擬，選取下列參數(shù):

圖1 模型(3)的滅絕性

圖2 模型(3)的持久性