基于Morris法的供水管網(wǎng)全局靈敏度分析

黃樂烽 杜坤 宋志剛 盧慢 董云程 許丁

(1.昆明理工大學(xué)建筑工程學(xué)院 昆明 650500； 2.云南省設(shè)計院集團(tuán)有限公司 昆明 650000)

0 引言

供水管網(wǎng)模型可以模擬管網(wǎng)系統(tǒng)在一系列工況下的運(yùn)行狀態(tài)，是實現(xiàn)供水系統(tǒng)現(xiàn)代化管理的重要工具。當(dāng)在管網(wǎng)模型基礎(chǔ)上進(jìn)行分析和設(shè)計時，比如模型校核、管徑優(yōu)化設(shè)計以及監(jiān)測點布置等，模型輸出結(jié)果存在不確定性，可能影響決策的有效性，部分原因是輸入?yún)?shù)的不確定性。不確定的輸入?yún)?shù)包括節(jié)點流量、管道阻力系數(shù)以及閥門狀態(tài)等。對大型供水管網(wǎng)進(jìn)行分析時，眾多的參數(shù)意味著高維的輸入空間，對問題的求解需要大量計算資源。已有研究表明[1-2]，管網(wǎng)模型分析結(jié)果主要受部分關(guān)鍵參數(shù)的影響。因此，通過靈敏度分析辨別關(guān)鍵參數(shù)，重點圍繞關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行分析，可有效降低問題復(fù)雜性和減少工作量。

靈敏度分析定性或定量評估輸入?yún)?shù)的不確定性對模型輸出結(jié)果的影響，可輔助基于模型進(jìn)行的分析和設(shè)計。靈敏度分析包括局部靈敏度分析(LSA)和全局靈敏度分析(GSA)。LSA可以分析參數(shù)變化對模型輸出的局部影響，在供水管網(wǎng)研究領(lǐng)域應(yīng)用較多。BUSH C A等[3]通過求導(dǎo)法計算參數(shù)靈敏度矩陣，用于優(yōu)化管網(wǎng)水壓監(jiān)測點布置。吳雙利等[4]利用有限差分法研究管道摩阻變化對水壓的影響，只對關(guān)鍵管道進(jìn)行校核。與LSA相比，GSA是在整個參數(shù)定義域內(nèi)，評估輸入?yún)?shù)單獨(dú)作用及交互作用對模型輸出的影響，更適用于非線性的管網(wǎng)模型。全局靈敏度分析方法主要有多元回歸法、Morris法、傅里葉幅度靈敏度檢驗法、Sobol’法等[5]。其中的 Sobol’法近年開始應(yīng)用于供水管網(wǎng)領(lǐng)域。信昆侖等[6]利用Sobol’法對管網(wǎng)模型中的管道摩阻進(jìn)行靈敏度分析，選取靈敏度較大的管道進(jìn)行校核，其余管道摩阻則取經(jīng)驗值，提高了校核效率且達(dá)到了預(yù)定的精度要求。在管網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方面，F(xiàn)U G等[1]以兩個基準(zhǔn)管網(wǎng)為例，利用Sobol’法篩選出對管網(wǎng)性能影響較大的管道，再對問題進(jìn)行簡化，提高了進(jìn)化算法對該優(yōu)化問題的求解速度。

然而，Sobol’法局限性在于計算量需求大。根據(jù)SALTELLI A等[7]的建議，Sobol’法宜在輸入?yún)?shù)不超過20個且單次模型運(yùn)行時間小于1 min時使用。當(dāng)管網(wǎng)模型中有成百上千個參數(shù)時，使用Sobol’法分析需耗費(fèi)大量的計算時間。而GSA中的Morris法能以較小的計算代價獲取參數(shù)靈敏度大小的排序以及參數(shù)相互作用的定性描述，還鮮有應(yīng)用于管網(wǎng)模型研究。

針對以上問題，本文提出采用Morris法對管網(wǎng)模型中參數(shù)進(jìn)行全局靈敏度分析，識別關(guān)鍵參數(shù)，降低問題復(fù)雜性。通過紐約隧道管網(wǎng)案例，將Morris法和Sobol’法的靈敏度分析結(jié)果進(jìn)行對比分析，驗證Morris法靈敏度分析的有效性。最后，對管網(wǎng)模型靈敏度分析方法的選擇提出建議。

1 全局靈敏度分析方法

1.1 Morris法

為高效地篩選出模型中的少數(shù)重要參數(shù)，Morris于1991年提出一種GSA方法[8]。假設(shè)模型y(X)有k個參數(shù)，對于給定輸入?yún)?shù)X=[x1,x2,…,xk]，第i個參數(shù)的一個基本效應(yīng)為：

EEi=[y(x1,…,xi+△,…,xk)-y(X)]/△

(1)

構(gòu)造m×k(m=k+1)的矩陣B：

(2)

顯然，將B中相鄰兩行作為輸入?yún)?shù)，可計算得到k個基本效應(yīng)，分別與k個參數(shù)對應(yīng)。矩陣B可稱為參數(shù)空間中的一條軌跡。在實際操作中，進(jìn)行一隨機(jī)過程，生成多條軌跡，以充分探索整個參數(shù)空間。隨機(jī)過程詳見參考文獻(xiàn)[8]。按照預(yù)設(shè)軌跡數(shù)r，計算各參數(shù)基本效應(yīng)的均值μi和標(biāo)準(zhǔn)差σi。μi的值越大，xi對模型輸出的影響越大；而σi的值大，則說明xi對模型輸出的影響是非線性的，或者xi與其他參數(shù)存在交互作用，反之亦然。

1.2 Sobol’法

Sobol’法是一種基于方差的全局靈敏度分析方法[9]，能定量評估參數(shù)對模型輸出不確定性的貢獻(xiàn)度。其核心是將目標(biāo)函數(shù)的總方差分解成每個參數(shù)的方差以及參數(shù)之間相互作用的方差。

假設(shè)有k個參數(shù)的模型目標(biāo)函數(shù)為：

y=f(X)=f(x1,x2,…,xk)

(3)

模型輸出方差D可表示為：

(4)

式中，Di為xi單獨(dú)作用造成的輸出方差；Di,j是xi和xj間相互作用的方差；D1,2,…,k為k個參數(shù)間相互作用的方差。

將上式左右兩邊同除以D得：

(5)

式中,Si=Di/D，稱為一階靈敏度；Si,j=Di,j/D，稱為二階靈敏度；S1,2,…,k是k階靈敏度?？傡`敏度STi=∑S(i)表示xi對模型輸出的總影響，其中S(i)為所有包含參數(shù)i的靈敏度。STi-Si可用于表征xi與其他輸入變量之間的交互作用對模型輸出的影響。

通常用Si和STi來評估參數(shù)對模型輸出的影響。對于Si和STi的計算，采用Saltelli推薦的方法[10]，需運(yùn)行模型N(k+2)次。此外，Sobol’方法要求樣本覆蓋整個參數(shù)空間，為此采用拉丁超立方抽樣對參數(shù)空間進(jìn)行抽樣。

2 案例分析

以紐約隧道管網(wǎng)為例，展示Morris法和Sobol’法在管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計中的應(yīng)用，并從計算精度和計算量兩個方面對上述兩個方法進(jìn)行對比分析。

2.1 紐約隧道問題

紐約隧道問題是由SCHAAKE J C等[11]于1969年提出的，其管網(wǎng)布局如圖1所示，包含1個水源、20個節(jié)點和21個管段。為滿足用戶用水需求，需對該管網(wǎng)進(jìn)行擴(kuò)建，可在現(xiàn)存的管道旁平行敷設(shè)新管。新增管道有16種管徑可選，不同的管徑造價不同。管網(wǎng)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的目的是兼顧經(jīng)濟(jì)性和可靠性，尋求最優(yōu)解決方案。對于這種優(yōu)化問題，通常利用進(jìn)化算法進(jìn)行求解。但其高維度的參數(shù)空間對計算量的需求很大，導(dǎo)致算法搜索效率低下。利用靈敏度分析找出該問題的關(guān)鍵參數(shù)有助于提高進(jìn)化算法的搜索效率。

圖1 紐約隧道管網(wǎng)

2.2 目標(biāo)函數(shù)和輸入?yún)?shù)

采用TODINI E[12]提出的一個指標(biāo)Fresilience來評估管網(wǎng)擴(kuò)建方案的可靠性，并將該指標(biāo)作為輸出變量，其計算方法如下：

(6)

2.3 結(jié)果與討論

2.3.1 Sobol’法分析結(jié)果

經(jīng)過多次取樣計算測試穩(wěn)定性后，取樣本次數(shù)為N=2 000，共需運(yùn)行模型N(k+2)=46 000次。分析結(jié)果如圖2所示，各參數(shù)一階靈敏度和總靈敏度具體數(shù)值見表1。為便于區(qū)分，對新增管道進(jìn)行編號，方法如下：1號新增管道即與1號管道平行敷設(shè)的新增管道，依此類推。

表1 各管道靈敏度值

圖2 Sobol’法的分析結(jié)果

由圖2可知，目標(biāo)管網(wǎng)的可靠性受17號新管管徑變化的影響最大，其次為1、2、13、14、15、18、19和21號新增管道，而其余新增管道對管網(wǎng)可靠性的影響非常小，可以忽略；總體上來說，參數(shù)間的交互作用對該管網(wǎng)可靠性影響不大。

為驗證Sobol’法分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，設(shè)置如下4種情況。Case1：考慮所有新增管道的不確定性，即輸入變量包括所有新增管道；Case2：只考慮1、2、13～15、17～19和21號新增管道的不確定性，其余新增管道管徑取值為8 in(可選管徑的中間值)；Case3：只考慮17號新增管道的不確定性，其余新增管道管徑取值為8 in；Case4：考慮3～12、16和20號新增管道的不確定性，其余新增管道管徑取值為8 in。通過蒙特卡洛模擬對以上4種情況進(jìn)行不確定性分析，對每種情況均隨機(jī)取樣2 000次，計算后得到紐約隧道管網(wǎng)可靠性的經(jīng)驗累積分布函數(shù)(CDF)曲線如圖3所示。

圖3 4種情況的累積分布曲線

由圖3可知，當(dāng)僅考慮最重要參數(shù)的不確定性(Case3)時，其CDF曲線與考慮所有參數(shù)不確定性(Case1)的CDF曲線相比，趨勢大致相同；當(dāng)只考慮重要參數(shù)的不確定性(Case2)時，CDF曲線與考慮所有參數(shù)不確定性(Case1)的CDF曲線基本一致；而僅考慮不重要參數(shù)(Case4)時，其CDF曲線接近于直線，管網(wǎng)可靠性的變化非常小。因此，由Sobol’法分析得到的參數(shù)靈敏度是可靠的。

根據(jù)總靈敏度對重要管道進(jìn)行排序，Sobol’法分析得到的管道排序依次為17、19、21、18、14、15、2、13和1。

2.3.2 Morris法分析結(jié)果

Morris法參數(shù)設(shè)置：p=4，r=10。共運(yùn)行模型r(k+1)=220次，Morris法分析結(jié)果如圖4所示，各管道靈敏度具體數(shù)值如表1所示。由圖表可知，3～12、16和20號新增管道的μi和σi值都很小，表明其對管網(wǎng)可靠性的影響很小, 是不重要參數(shù)；其余新增管道的μi值和σi值相對較大，表明它們對管網(wǎng)可靠性的影響較大，且其效應(yīng)的非線性程度較高或與其他參數(shù)間存在交互作用，是重要參數(shù)。根據(jù)μi值對重要管道進(jìn)行排序，Morris法分析得到的管道排序依次為17、19、21、18、14、15、2、1和13。

圖4 Morris法的分析結(jié)果

2.3.3 Morris法與Sobol’法的對比分析

對3～12、16和20號新增管道，Morris法和Sobol’法的分析結(jié)果一致，是不重要參數(shù)；對于其余重要參數(shù)，Morris法分析得到的參數(shù)靈敏度排序與Sobol’法所得排序大致相同，但Morris法不能對參數(shù)間的交互作用進(jìn)行詳細(xì)分析。值得注意的是，雖然Morris法的精度稍差于定量分析的Sobol’法，但其所需樣本量遠(yuǎn)小于后者。也就是說，相對于Sobol’法，Morris法能以較小的計算代價識別重要參數(shù)，并獲得比較準(zhǔn)確的參數(shù)靈敏度排序。

3 結(jié)論與建議

根據(jù)已有研究表明：在基于供水管網(wǎng)模型的分析和設(shè)計中，輸出結(jié)果的不確定性主要受少數(shù)重要參數(shù)的影響。為提高識別模型中重要參數(shù)的效率，本文提出采用Morris法進(jìn)行全局靈敏度分析。通過紐約隧道案例，從計算效率、計算精度方面對Morris法和Sobol’法進(jìn)行詳細(xì)對比，結(jié)果表明：Sobol’法雖然能定量評估輸入?yún)?shù)對模型輸出的影響，但所需計算量大；Morris法精度稍差，但能以較小的計算代價獲得參數(shù)靈敏度的定性描述，其計算量遠(yuǎn)小于Sobol’法。

根據(jù)管網(wǎng)模型復(fù)雜程度和使用目的，對全局靈敏度分析方法的選擇提出以下建議：

(1)當(dāng)管網(wǎng)模型參數(shù)較少時(不多于20個)，若需要對各參數(shù)的作用進(jìn)行詳細(xì)分析，可選擇Sobol’法；若只需大致的參數(shù)靈敏度排序，可選擇Morris法進(jìn)行分析。

(2)當(dāng)管網(wǎng)模型輸入?yún)?shù)眾多時，可考慮先采用Morris法篩選出模型的重要參數(shù)，再采用Sobol’法定量分析重要參數(shù)對模型輸出的影響，以降低計算時耗。