基于僅光學觀測的短弧關聯(lián)分析方法

姜平，張雅聲，陶雪峰，徐燦，方宇強，李智，王浩

航天工程大學，北京 101400

觀測弧段的關聯(lián)性檢測是空間目標態(tài)勢感知中的一個重要領域，而地基空間目標監(jiān)視系統(tǒng)(GEODSS)在其中扮演著重要的角色。由于雷達天線的射程能力有限，近地軌道以外的空間非合作目標的絕大多數(shù)觀測都是由光學望遠鏡進行的。根據(jù)美國國家航空航天局(NASA)的最新數(shù)據(jù)顯示[1]，截至2020年4月，美國空間監(jiān)視網(wǎng)共編目空間目標(通常大于10 cm)20 437個，其中包括5 645個在軌航天器、14 792個火箭箭體和碎片。隨著火箭運載能力的提升，空間在軌目標和空間碎片的數(shù)量將會大幅提升，這將會給整個空間目標監(jiān)視網(wǎng)絡帶來前所未有的壓力。廣角望遠鏡的觀測大部分屬于“短弧觀測”(短弧目前沒有明確的定義，文中將相對于整個軌道周期觀測時長占比不到1%的數(shù)據(jù)稱為“短弧觀測”)，短弧觀測數(shù)據(jù)對于軌道確定提出了更高的要求。若能充分利用不同觀測位置、不同觀測時段的數(shù)據(jù)[2]，進行觀測弧段的關聯(lián)性檢測，充分融合具有關聯(lián)性的觀測信息，這將極大地提升對于空間目標識別和狀態(tài)估計的準確性。

光學傳感器測量只能給出跟時間相關的“角度觀測序列”(通常是赤經(jīng)/赤緯，也可以是方位角/高度角)，是無法獲得距離和距離變率上的有效信息的，對于短弧數(shù)據(jù)來說無法進行有效的軌道確定，這也反映出了光學定軌對于關聯(lián)的需求。文獻[3-4]在開普勒軌道積分的基礎上，從軌道六要素中分離出與能量和角動量無關的狀態(tài)量(近地點幅角和真近點角)，計算衡量相關性條件差異的目標函數(shù)，從而判斷弧段之間的關聯(lián)性，但其在天頂觀測和共面觀測的時候無法使用[5]。目前大部分的關聯(lián)方式，還是從“容許域”的概念[6-7]出發(fā)，構建空間目標的距離和距離變率上的約束。文獻[8]在研究地球軌道空間目標的光學相關性時，創(chuàng)新性地提出了將容許域映射到一個新的龐加萊元素空間，傳播到同一時刻并投影到三個二維平面中，通過分析二維區(qū)域中點的相交情況來判斷軌道的相關性。文獻[9-10]將弧段關聯(lián)問題和軌道確定問題融合在一起，給定一個初始狀態(tài)，可以通過貝葉斯理論給出兩個短弧段存在關聯(lián)性的后驗概率密度，通過最大化后驗概率密度來給出使得弧段具有最強關聯(lián)性的軌道。文獻[11-13]引入了一種基于微分代數(shù)(DA)的新方法，該方法同樣建立在容許域的基礎上，利用DA估計不確定度范圍來區(qū)分相關和不相關的觀測值。文獻[14]也對傳統(tǒng)的初值方法進行了改進，通過搜索非奇異正則空間中定義的新?lián)p失函數(shù)的全局最小值來判斷關聯(lián)性。文獻[15]創(chuàng)新性地提出了一種用于關聯(lián)的幾何方法，調整其中一個軌道的半長軸，使兩個弧段在中間點的位置差最小化，通過半長軸的調整是否具有收斂性來判斷弧段之間的關聯(lián)性。文獻[16]在研究天基短弧關聯(lián)時提出了一種正弦擬合的關聯(lián)算法。文獻[17]的研究中，嘗試將光學軌跡關聯(lián)方法與用于大數(shù)據(jù)問題的聚類方法相結合來解決多目標軌跡關聯(lián)問題。其創(chuàng)新性的方法也為后續(xù)的弧段關聯(lián)的研究提供了開闊的思路。

目前的方法對于短弧關聯(lián)性判別的效率有待提升，且判別的準確度不高。本文以“容許域”為基礎，從誤差分析理論出發(fā)，建立觀測誤差傳播模型，并以角度均方誤差為優(yōu)化目標，充分分析了容許域中的角度誤差分布特性。針對誤差分布呈現(xiàn)的多極值點特性，采用多點優(yōu)化的方式，給出容許域中“角度均方誤差”的最小優(yōu)化值。最后融合測角傳播誤差和測角固有誤差，給出關聯(lián)性判別的誤差限，并對最終的優(yōu)化結果進行統(tǒng)計學分析，用卡方檢驗的方式給出測角弧段具有關聯(lián)性的判別依據(jù)。針對關聯(lián)分析方法應用在LEO軌道上的困難，提出了用誤差方向性判斷的方法，實驗結果證明改進的方法在LEO數(shù)據(jù)關聯(lián)上有很好的效果。

1 基于容許域的關聯(lián)性概述

基于僅測角信息的短弧關聯(lián)方法，目前應用比較廣泛的還是基于容許域的初值法和邊值法的關聯(lián)方式。但是基于容許域的方法存在本質上的不足，容許域是直接應用真實測角數(shù)據(jù)集建立的，沒有考慮測量中的誤差。本文提出了一種融合測角誤差的短弧關聯(lián)方式，在深入考慮非線性誤差傳播的情況下，可以根據(jù)設定的誤差限進行關聯(lián)性的判別。

1.1 關聯(lián)方式概述

容許域的關聯(lián)思路是簡單直接的，即在滿足第一段觀測弧數(shù)據(jù)的大量軌道中，是否能夠找到與另一段觀測數(shù)據(jù)最小二乘擬合誤差最小的軌道。當充分考慮測量誤差的時候，最小二乘擬合誤差就必然有一個合理的限制范圍，在這個范圍內，可以對關聯(lián)的可信度進行進一步的評估。

假定觀測誤差服從高斯分布傳感器的視線誤差設為σ，則根據(jù)赤經(jīng)赤緯的誤差幾何關系，可以得到赤經(jīng)赤緯具有如下統(tǒng)計特性：

其中預測序列與真實觀測序列差的平方和表示兩段觀測弧段之間的關聯(lián)性大?。?/p>

由此可以定義觀測序列角度誤差的均方根誤差，用來表征觀測序列和預測序列之間的平均誤差，簡稱“角度均方誤差”：

式(3)可以視為對于赤經(jīng)赤緯誤差的平均誤差，通過優(yōu)化平均誤差來找到使得觀測弧段之間擬合效果最好的軌道，這樣就將短弧關聯(lián)問題轉化為以平均誤差為優(yōu)化目標的參數(shù)估計問題。判斷短弧段之間是否存在相關性,還需要一個合理的誤差限進行判斷。誤差限的確定要充分考慮預測序列和真實測量序列中的誤差，真實測量序列中的誤差是傳感器的測量噪聲，預測信息的誤差計算方法將在第1.2小節(jié)中進行詳細敘述。

1.2 預測信息的誤差計算

不難發(fā)現(xiàn)，當分析預測序列和實際觀察序列之間的誤差時，預測值的誤差可以通過對傳感器視線誤差進行非線性傳播得到[19]。光學測量的不確定性傳播算法，包括高斯混合模型(GMM)[20-21]、狀態(tài)轉換張量(STT)[22]、多項式混沌(PC)[23]、基于自適應熵的分割方法[24]等。但是這些方法都需要復雜的計算。為了降低復雜度，提升關聯(lián)的效率，本文考慮使用泰勒展開提取一階近似項進行線性化的方法，并用蒙特卡羅方法證明了短弧上線性傳播方法的準確性和合理性。

令：

f0=

這樣通過泰勒級數(shù)展開建立非線性函數(shù)的線性關系表示：

用Taylor級數(shù)的形式可以準確地描述非線性函數(shù)中的誤差傳遞關系，對于足夠小的誤差和較小的觀測序列曲率，Taylor級數(shù)中的高階項影響可以忽略不計。當有數(shù)據(jù)呈現(xiàn)高曲率或誤差不確定性較大時，泰勒級數(shù)的線性近似性就會很差，需要考慮高階項的影響。對于本文中短弧段的關聯(lián)，觀測序列曲率不會很大，用一階項可以很好地近似。

圖1 赤經(jīng)赤緯誤差分布

式中：xi為采樣點；K(·)為核函數(shù)(這里選取的核函數(shù)為Gaussian函數(shù))；h為窗口寬度。

從圖1可以看出，通過兩個方法獲得的角度誤差密度曲線基本吻合。如表1所示，給出由蒙特卡洛法和誤差傳播模型得到的赤經(jīng)赤緯的協(xié)方差計算值，其結果計算的差異度小于5%，從而充分證明了誤差傳播模型的理論正確性。

表1 蒙特卡洛和誤差模型傳播協(xié)方差計算結果

2 基于卡方檢驗的關聯(lián)性分析

2.1 容許域軌道采樣

首先，通過二體軌道的能量約束，最小能量約束和遠近地點約束，對距離和距離變率進行約束，構建完整的容許域可行解區(qū)域。在容許域中進行軌道采樣，獲得的采樣點如圖2中陰影部分所示，其中每一個采樣點都可以代表一條軌道。

圖2 容許域

圖2中距離和距離變率表示，采用歸一化單位，分別以DU=6 378.136 6 km和VU=7.905 365 96 km/s作為單位長度和單位變化率。

得到“容許域采樣軌道”后，就需要將其傳播到需要進行關聯(lián)的另一個觀測弧段的觀測時刻進行“角度均方誤差”的計算。圖3顯示了一顆低軌衛(wèi)星的誤差計算結果，從圖3(a)中可以看出，誤差呈現(xiàn)出“多極值點”的分布特性，圖3(b)中顯示出給定某一誤差值后的軌道分布特性。“多極值點”特性的存在主要是因為兩個待關聯(lián)弧段的長時間間隔，會引起軌道轉數(shù)(衛(wèi)星運行完整軌道周期的次數(shù))的不確定性，都可能使得待關聯(lián)弧段之間的“角度均方誤差值”達到極小，在對低軌衛(wèi)星關聯(lián)時，這種特性表現(xiàn)的尤為明顯。眾多極小值的存在，給優(yōu)化過程帶來了極大的困難。

圖3 LEO衛(wèi)星角度均方誤差

為了找到擬合兩段觀測弧段的最佳軌道，初步采用在容許域中進行“多點優(yōu)化”的方式。通過對采樣軌道“角度均方誤差”的計算，可以確定出能夠使兩段觀測具有最強相關性的候選軌道。候選軌道的篩選是從采樣軌道中選取出能夠使得“角度均方誤差”最小的一部分點。候選軌道如圖4所示，由紅色點標出，圖4(a)(b)(c)分別給出了兩個觀測弧段屬于同一低軌衛(wèi)星、兩個觀測弧段屬于同一高軌衛(wèi)星，以及兩個觀測弧段屬于不同衛(wèi)星的情況。

圖4 利用角度均方誤差進行候選軌道篩選

從圖4可以明顯看出，在對相關弧段和不相關弧段的“角度均方誤差”計算中，相關與否并沒有在容許域中表現(xiàn)出來明顯的差異。也就是說，即便是不相關弧段，仍舊可以找到將兩個弧段擬合得很好的一條軌道。所以就需要能夠給出判別關聯(lián)與否更細致的標準，具體關聯(lián)的標準將在第2.3小節(jié)中給出。

2.2 候選軌道的“角度均方誤差”的優(yōu)化

合理的初值對優(yōu)化問題的解決是非常重要的，在第2.1小節(jié)中，利用容許域采樣到了非常接近于真實軌道的優(yōu)化初值。這里繼續(xù)對獲得的“候選軌道”進行角度均方差優(yōu)化，具體的優(yōu)化算法可以采用解決非線性最小二乘問題的Levenberg-Marquardt(LM)算法等。如圖5所示，對于相關弧段和不相關弧段，迭代的優(yōu)化值存在明顯的收斂和不收斂特性。從曲線的收斂性上，可以給出相關與否的定性判斷，即具備相關性的弧段在優(yōu)化過程中存在明顯的收斂特性，不具備相關性的弧段在優(yōu)化過程中沒有收斂特性。

圖5 角度均方誤差的優(yōu)化收斂特性

對于前兩節(jié)中給出的定性判斷相關性的方法在對不同軌道上的僅測角弧段中已經(jīng)得到了充分的驗證。對于收斂到的“角度均方誤差”有多大的可能性判斷兩個觀測弧段存在真實的相關性，還需要進行詳細的統(tǒng)計學分析。

2.3 基于統(tǒng)計學的關聯(lián)性分析

對單個隨機變量進行如下變形:

則預測值和真實測量值之間的誤差平方和應該服從自由度為2n的卡方分布，所以可以多個合并為：

χ2=

(13)

由(14)式得到上側分位數(shù)為α的“χ2誤差限”，當通過角度預報誤差和傳播誤差計算出的卡方值小于“χ2誤差限”時，可以相應做出觀測弧段之間具有關聯(lián)性的判斷，即可以認為兩個觀測弧段具有內在的相關性，可能出自于同一個空間目標。同時，根據(jù)卡方分析，做出這種判斷的可信性為(1-α)(通常選取α=0.01,保證空間目錄不被污染的條件下，準確檢驗到弧段之間的關聯(lián)性)。

3 仿真及驗證

由于容許域的采樣軌道廣泛，如果在未知觀測弧段是否相關的條件下，用高精度軌道模型計算，那勢必會帶來非常大的計算量，嚴重影響關聯(lián)的整體效率，所以首先考慮的是，用低精度的J2模型在保證高效的計算的情況下，能否進行弧段關聯(lián)的判定。

3.1 模型精度分析

在進行軌道傳播時，選取的兩種軌道預報模型分別為J2和HPOP軌道預報模型[27]。由于僅測角數(shù)據(jù)沒有距離約束，會有大量的采樣軌道進行傳播，在利用HPOP模型進行預報計算的時候，會形成很大的計算量。大量的計算也會影響在實際關聯(lián)中的整體效率。在圖6中選取了已知具有關聯(lián)性的LEO衛(wèi)星的兩段觀測弧段，同時用J2和HPOP模型進行優(yōu)化。(實驗選取的LEO衛(wèi)星軌道高度在1 000 km以上。)

圖6 LEO衛(wèi)星HPOP和J2模型優(yōu)化結果

對比兩種模型優(yōu)化的“角度均方誤差”可以發(fā)現(xiàn)，在整體優(yōu)化過程中，J2模型的優(yōu)化精度已經(jīng)足夠了，用高精度模型進行預報的時候并不會帶來量級上的提升。所以在實際應用中使用J2模型進行關聯(lián)應該是可行的，這不僅會提升計算效率，而且也具有足夠的可信性。

3.2 不同類型軌道的關聯(lián)檢驗

本文擬使用5個半長軸和偏心率不同的在軌空間目標檢驗短弧關聯(lián)分析算法。衛(wèi)星真實軌道使用TLE數(shù)據(jù)外推獲得[28]。測站位置大地坐標為(109°,34°,557 m)。對于LEO、HEO、MEO、GEO的觀測弧段時長分別取30 s，5 min，5 min，15 min，觀測角度誤差設置為3″。初步測試數(shù)據(jù)選取每個衛(wèi)星上間隔超過10 h的各兩段觀測數(shù)據(jù)，一共10段觀測數(shù)據(jù)進行關聯(lián)匹配，衛(wèi)星的數(shù)據(jù)參數(shù)如表2所示[29]。

表2 實驗衛(wèi)星參數(shù)

為了便于比較關聯(lián)和觀測結果，如圖7所示,將衛(wèi)星的軌道投影到笛卡爾坐標系的3個平面上，用黑色點跡標出了10段觀測弧段所在位置。

圖7 測試軌道在X-Y,X-Z,Y-Z平面投影

如圖8所示，給出了5條軌道上觀測數(shù)據(jù)的關聯(lián)結果，可以發(fā)現(xiàn)關聯(lián)算法已成功對空間目標的觀測弧段進行準確關聯(lián)。

圖8 測試軌道的關聯(lián)匹配結果

表3 關聯(lián)算法驗證結果

3.3 關聯(lián)匹配驗證

為了獲取更多的觀測數(shù)據(jù)進行關聯(lián)性驗證，在space-track中公布的衛(wèi)星軌道根數(shù)數(shù)據(jù)中，根據(jù)不同軌道高度，篩選出低軌道COSMOS衛(wèi)星共計44顆，中軌道SLOT衛(wèi)星共計40顆，高軌道北斗GEO和IGSO軌道衛(wèi)星共計17顆。為了增加關聯(lián)的難度，通過STK仿真計算為每個衛(wèi)星生成了3天時間內的多次觀測數(shù)據(jù)，其中有部分衛(wèi)星的軌道是十分相近的，這也給短弧段觀測數(shù)據(jù)關聯(lián)帶來了極大的挑戰(zhàn)。

在對觀測數(shù)據(jù)中的任意兩個進行關聯(lián)時，其結果可能是以下4種情況之一：

1)True Positive(TP)，兩個觀測弧段屬于同一個目標，且關聯(lián)結果認為是同一目標。

2)True Negative(TN)，兩個觀測弧段屬于同一個目標，但是關聯(lián)結果認為不是同一目標。

3)False Positive(FP)，兩個觀測弧段不屬于同一個目標，但是關聯(lián)結果認為是同一目標。

4)False Negative (FN)，兩個觀測弧段不屬于同一個目標，且關聯(lián)結果認為不是同一目標。

其中TP和FN的比例越高，可以認為關聯(lián)的正確率越高，表4中給出了實驗數(shù)據(jù)的關聯(lián)匹配結果。

表4 短弧數(shù)據(jù)關聯(lián)結果

從關聯(lián)的結果上看，算法對于不同軌道的關聯(lián)真正率很高，但是對于長時間間隔的數(shù)據(jù)，假負率就會變得很低，對于低軌衛(wèi)星識別來說表現(xiàn)尤為明顯。從表3中數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，對于長時間間隔的數(shù)據(jù)，低軌衛(wèi)星相較于中高軌衛(wèi)星的傳播不確定度就會變得很大，這主要是由于低軌衛(wèi)星轉數(shù)很大造成的。而對于軌道很相近的衛(wèi)星的觀測來說，很容易找到擬合兩次觀測的最優(yōu)軌道，其優(yōu)化的誤差值也很容易在接受的范圍之內。所以對于長時間間隔的低軌衛(wèi)星來說，利用誤差不確定度來進行關聯(lián)的判別，會造成一些關聯(lián)的誤判，而對于中高軌的數(shù)據(jù)關聯(lián)，由于轉數(shù)很小，關聯(lián)匹配度非常高。

3.4 誤匹配解決方案

由于可用信息有限，對于低軌，尤其是低軌星座等近似軌道目標進行區(qū)分的時候難度很大。美國SpaceX公司提出Starlink計劃，預計將會有上萬顆的低軌衛(wèi)星，這將會給未來的空間目標監(jiān)視系統(tǒng)帶來巨大的壓力，僅靠雷達的跟蹤式探測，將不能滿足監(jiān)視需求，充分發(fā)揮廣角望遠鏡監(jiān)視系統(tǒng)的作用將會有重大的戰(zhàn)略意義。針對第3.3小節(jié)中對于低軌衛(wèi)星，用僅測角觀測數(shù)據(jù)進行關聯(lián)的時候，可能會發(fā)生關聯(lián)性誤判的情況，本小節(jié)中給出低軌近似軌道目標誤匹配的解決方案。

在角度預報誤差的計算過程中僅僅考慮了誤差的大小，這里又詳細地給出了誤差的“方向性”特征。圖9給出了誤關聯(lián)時候得出的優(yōu)化軌道與真實觀測數(shù)據(jù)間的(α,δ)擬合偏差，對比圖10中給出正確關聯(lián)時候(α,δ)的擬合偏差。

圖9 誤關聯(lián)的角度擬合偏差

圖10 正確關聯(lián)的角度擬合偏差

通過分析擬合偏差可以發(fā)現(xiàn)對于誤關聯(lián)的弧段，第二段弧的擬合偏差存在明顯的“V”字型特征。這主要原因是由于擬合軌道相對于真實軌道，在軌道傾角上存在明顯偏差導致的。通過識別“V”字型特征可以排除其中的誤關聯(lián)情況的方法，表5著重對比使用誤差“方向性”特征識別后，LEO數(shù)據(jù)的關聯(lián)結果，從中可以看出關聯(lián)的準確性有明顯的提升。

表5 數(shù)據(jù)關聯(lián)結果

4 結束語

本文研究了一種判斷光學僅測角弧段關聯(lián)性的分析方法，對比蒙特卡洛仿真結果分析了線性化的誤差傳播方式在短弧觀測數(shù)據(jù)關聯(lián)上的可行性。這種基于容許域的方法在短弧軌道不確定的情況下，仍舊可以通過卡方分析擬合觀測弧段的最優(yōu)軌道，給出弧段之間具備關聯(lián)性的依據(jù)。把基于容許域的關聯(lián)方法應用在不同類型的軌道上進行合理性的檢驗，在對LEO軌道衛(wèi)星的觀測數(shù)據(jù)進行關聯(lián)的時候，假正率很高。針對在低軌星座等近似軌道目標誤關聯(lián)率高的情況，根據(jù)誤差方向性特征進行誤關聯(lián)識別的方式，可以顯著提升光學僅測角弧段關聯(lián)的準確性。

利用容許域進行關聯(lián)有很好的應用前景，本文在短弧觀測無法進行初軌確定的情況下，給出了光學觀測弧段關聯(lián)的穩(wěn)定方法,并顯著提升了對于LEO軌道光學觀測關聯(lián)的成功率。本文的研究可以為空間目標編目和后續(xù)的精密軌道確定提供數(shù)據(jù)支撐。