可壓縮湍流的多尺度分析

陳十一, 王建春, 鄭欽敏, 王小寧, 滕 健, 萬敏平

(南方科技大學(xué) 力學(xué)與航空航天工程系, 深圳 518055)

0 引 言

可壓縮湍流在高超聲速飛行器設(shè)計(jì)、高溫化學(xué)反應(yīng)流動(dòng)、激光核聚變、超新星爆炸等各種工程問題和自然現(xiàn)象中起到關(guān)鍵作用，不僅是流體力學(xué)中的基礎(chǔ)科學(xué)問題，也是國家重大工程中的重點(diǎn)研究課題[1-10]。與不可壓縮湍流相比，可壓縮湍流更加復(fù)雜，包含了旋渦、聲波、激波、膨脹波等豐富的流動(dòng)結(jié)構(gòu)。在可壓縮湍流中，動(dòng)能和內(nèi)能之間通過壓力做功相互轉(zhuǎn)化，密度、速度、壓力和溫度之間相互耦合。可壓縮湍流的復(fù)雜性給理論分析、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)研究帶來了巨大的挑戰(zhàn)。因此，非常有必要系統(tǒng)地研究可壓縮湍流的流動(dòng)機(jī)理，為進(jìn)一步發(fā)展更可靠的可壓縮湍流模型提供理論支持[11-23]。

由于可壓縮湍流包含了豐富的物理過程，一種有效的方法是將可壓縮湍流分解為不同的部分，然后研究每一部分的性質(zhì)以及各部分之間的相互作用。Moyal在1952年通過亥姆霍茲分解，將可壓縮湍流的速度場分解為剪切部分和脹壓部分，并指出，速度場的剪切部分類似于不可壓縮湍流場，而速度場的脹壓部分可以看做是隨機(jī)噪聲[24]。Kavasznay在1953年對可壓縮流動(dòng)的控制方程做了線性假設(shè)，將可壓縮流動(dòng)分解為三種相互正交的模態(tài)：渦模態(tài)、聲模態(tài)和熵模態(tài)，分別對應(yīng)于可壓縮流動(dòng)的剪切過程、脹壓過程和熱力學(xué)過程[25]。

亥姆霍茲分解方法已被廣泛應(yīng)用于可壓縮均勻各向同性湍流的研究中。在1991年，Sarkar等采用了聲波理論來描述弱可壓縮各向同性湍流速度場的脹壓部分[26]。在1997年，Ristorcelli使用了偽聲理論來研究弱可壓縮各向同性湍流速度場的脹壓部分[27]。當(dāng)湍流馬赫數(shù)比較高的時(shí)候，湍流場中的旋渦運(yùn)動(dòng)會(huì)誘導(dǎo)產(chǎn)生小尺度激波，也稱為小激波(shocklet)。在1991年，Lee等首次通過數(shù)值模擬研究了可壓縮各向同性湍流中的小激波結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)在小激波前后的物理量變化近似滿足激波跳躍關(guān)系式[28]。Samtaney等在2001年采用小激波識(shí)別方法研究了可壓縮各向同性湍流場中的小激波的統(tǒng)計(jì)規(guī)律[29]。Jagannathan和Donzis在2016年，通過亥姆霍茲分解研究了可壓縮性對各向同性湍流場的影響，并指出當(dāng)湍流馬赫數(shù)高于臨界值0.3時(shí)，脹壓部分會(huì)對整個(gè)流場有較明顯的影響[30]。

李新亮、傅德薰和馬延文在2002年，通過數(shù)值模擬研究了可壓縮各向同性衰減湍流，并指出湍流間歇性是可壓縮湍流中出現(xiàn)小激波的重要原因[31]。他們分析了可壓縮各向同性湍流輻射聲波的性質(zhì)，并和Lilley模型、Poudman模型做了比較[32]。李虎和張樹海在2012年，通過數(shù)值模擬研究了可壓縮各向同性衰減湍流，發(fā)現(xiàn)可壓縮性會(huì)加快從大尺度脈動(dòng)到小尺度脈動(dòng)的湍動(dòng)能輸運(yùn)[33]。何國威課題組在2013年研究了可壓縮各向同性湍流的速度場的時(shí)間關(guān)聯(lián)性質(zhì)[34]。他們對速度的脹壓部分發(fā)展了新的時(shí)間關(guān)聯(lián)模型，并通過直接數(shù)值模擬作了驗(yàn)證。

陳十一研究團(tuán)隊(duì)在2010年到2015年期間，發(fā)展了緊致差分和WENO格式相結(jié)合的混合方法，并對可壓縮均勻各向同性湍流開展了一系列的研究，包括：小激波和可壓縮性對速度梯度和流場小尺度脈動(dòng)的影響、速度散度的概率分布以及和一維Burgers湍流的比較、能量級(jí)串過程、可壓縮湍流中的粒子運(yùn)動(dòng)規(guī)律等[35-43]。這部分研究內(nèi)容主要在2015年的一篇文章中作了總結(jié)[43]。

本文主要介紹陳十一研究團(tuán)隊(duì)自2017年以來在可壓縮湍流的流動(dòng)機(jī)理方面的研究進(jìn)展，包括：可壓縮湍流的多過程分解、各類可壓縮條件下的速度和熱力學(xué)量的譜的標(biāo)度律、動(dòng)能和熱力學(xué)量的多尺度傳輸、大尺度剪切流的作用、高溫非平衡效應(yīng)、化學(xué)反應(yīng)的影響等[44-56]。

1 基本方程和流動(dòng)參數(shù)

經(jīng)過無量綱化后的描述理想氣體的可壓縮流體力學(xué)基本方程組如下[1,35,47]:

其中，ρ、ui、p、T分別表示密度、速度、壓力、溫度。黏性應(yīng)力張量σij定義為：

其中，速度散度θ=?uj/?xj。Fi表示加在動(dòng)量上的大尺度驅(qū)動(dòng)力，Λ表示大尺度冷卻函數(shù)[35,47]。單位體積的總能量定義為：

采用緊致差分與WENO格式相結(jié)合的混合格式，在一個(gè)立方體內(nèi)采用周期性邊界條件開展三維可壓縮各向同性湍流的數(shù)值模擬[35]。通過固定前兩個(gè)波數(shù)上的能譜，對速度場加入了大尺度的驅(qū)動(dòng)力[35,47]，又采用了空間均勻分布的冷卻函數(shù)，使平均內(nèi)能達(dá)到統(tǒng)計(jì)定常[35,47]。

湍流的泰勒雷諾數(shù)Reλ定義為[35,47]：

湍流馬赫數(shù)Mt定義為[35,47]：

湍流馬赫數(shù)表示湍流脈動(dòng)速度相對平均聲速的大小。一般情況下，湍流馬赫數(shù)越大，湍流場的可壓縮性越強(qiáng)。另外，湍流場的可壓縮性還依賴于剪切部分的動(dòng)能與脹壓部分的動(dòng)能之比。

2 多過程分解和物理量的譜

2.1 可壓縮湍流的多過程分解

在這一節(jié)中，介紹可壓縮湍流的多過程分解方法。目前，該方法已被系統(tǒng)地應(yīng)用于可壓縮各向同性湍流和均勻剪切湍流的研究。我們將在后續(xù)的工作中用該方法研究更復(fù)雜的可壓縮湍流。

我們采用亥姆霍茲分解，將速度場分解為剪切部分us和脹壓部分ud。其中，?·us=0，?×ud=0。速度場的剪切部分代表了湍流的剪切過程，和旋渦結(jié)構(gòu)相對應(yīng)。速度場的脹壓部分代表了湍流的脹壓過程，對應(yīng)于聲波、膨脹波、激波等可壓縮流動(dòng)結(jié)構(gòu)。

我們將密度、壓力和溫度分解為平均值和脈動(dòng)值，即[44]：ρ=ρ0+ρ′，p=p0+p′，T=T0+T′ 。

可以進(jìn)一步對速度場和壓力場的脹壓部分作分解：ud=uds+udd,pd=pds+pdd。其中，速度場和壓力場的偽聲模態(tài)滿足：

偽聲速度場的譜滿足：

采用Kavasznay分解將密度、壓力和溫度的脈動(dòng)值進(jìn)一步分解為聲模態(tài)(等熵模態(tài))和熵模態(tài)。聲模態(tài)的計(jì)算公式如下[49]：

熵模態(tài)的計(jì)算公式如下：

pE=0，ρE=ρ-ρ0-ρI，TE=T-T0-TI

(17)

其中，壓力的脈動(dòng)部分都屬于聲模態(tài)，沒有熵模態(tài)。

2.2 可壓縮湍流的物理量的譜

我們在表1中列出了不同情況下速度的脹壓部分ud、壓力p、密度ρ和溫度T的譜在慣性區(qū)上的標(biāo)度指數(shù)。速度和熱力學(xué)量的脹壓過程、聲模態(tài)、熵模態(tài)等在不同可壓縮條件下表現(xiàn)出了不同的統(tǒng)計(jì)特點(diǎn)?？蓧嚎s湍流的速度及其剪切部分的譜具有-5/3標(biāo)度律[44-50]。

表1 速度和熱力學(xué)量的譜的標(biāo)度指數(shù)

不同情況下的物理量的譜的標(biāo)度律如下：

1) 大尺度剪切力驅(qū)動(dòng)下的弱可壓縮湍流[44]。速度的脹壓部分由偽聲模態(tài)占主導(dǎo)，相應(yīng)的譜具有-3標(biāo)度律(見圖1)。壓力由剪切部分占主導(dǎo)，壓力譜具有-7/3標(biāo)度律。溫度和密度的譜也具有-7/3標(biāo)度律。

圖1 剪切力驅(qū)動(dòng)的弱可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

2) 大尺度剪切力驅(qū)動(dòng)下的強(qiáng)可壓縮湍流[44-47,50]。速度的脹壓部分由聲模態(tài)占主導(dǎo)，相應(yīng)的譜具有-5/3標(biāo)度律(見圖2)。溫度、密度和壓力都由聲模態(tài)占主導(dǎo)，在慣性區(qū)上近似滿足等熵關(guān)系式。溫度、密度和壓力的譜都具有-5/3標(biāo)度律。

圖2 剪切力驅(qū)動(dòng)的強(qiáng)可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

3) 大尺度剪切力和脹壓力同時(shí)驅(qū)動(dòng)下的可壓縮湍流[48]。流場出現(xiàn)了大激波結(jié)構(gòu)。速度的脹壓部分的譜具有-2標(biāo)度律(見圖3)。溫度、密度和壓力的譜也都具有-2標(biāo)度律。

圖3 剪切力和脹壓力同時(shí)驅(qū)動(dòng)的可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

4) 大尺度剪切力驅(qū)動(dòng)下的有熱源的可壓縮湍流[49]。速度的脹壓部分和壓力都由聲模態(tài)占主導(dǎo)。溫度和密度由熵模態(tài)占主導(dǎo)。速度的脹壓部分的譜具有-5/3標(biāo)度律(見圖4)。溫度、密度和壓力的譜也都具有-5/3標(biāo)度律。

圖4 剪切力驅(qū)動(dòng)、有熱源的可壓縮湍流中，速度的脹壓部分的譜

3 動(dòng)能和熱力學(xué)量的多尺度傳輸

3.1 動(dòng)能的多尺度傳輸

在這一節(jié)中，我們采用濾波方法分析可壓縮各向同性湍流的動(dòng)能的多尺度傳輸[47,50]。

對密度加權(quán)的速度場做亥姆霍茲分解：

亥姆霍茲分解后的濾波動(dòng)能方程如下[47,50]：

壓力做功、亞格子動(dòng)能流量、黏性耗散等各個(gè)項(xiàng)在動(dòng)能的多尺度傳輸過程中所起的作用如圖5所示。在慣性區(qū)，亞格子流量在動(dòng)能的多尺度傳輸過程中起主導(dǎo)作用。壓力做功會(huì)引起動(dòng)能和內(nèi)能在局部區(qū)域內(nèi)的相互轉(zhuǎn)化，但經(jīng)過平均后對動(dòng)能傳輸?shù)淖饔帽容^小。黏性耗散主要集中在小尺度上，將動(dòng)能以不可逆的形式轉(zhuǎn)化為內(nèi)能[47]。

(a)

動(dòng)能脹壓部分的多尺度傳輸規(guī)律如圖6所示。在慣性區(qū)，動(dòng)能的脹壓部分通過非線性對流從剪切部分中得到能量，然后通過亞格子流量往小尺度傳輸，在小尺度上通過黏性耗散轉(zhuǎn)化為內(nèi)能[47]。

(a) Ma=0.8

3.2 熱力學(xué)量的多尺度傳輸

在這一節(jié)中，我們采用濾波方法分析可壓縮各向同性湍流的熱力學(xué)量的多尺度傳輸[49]。

溫度可以分解為平均溫度T0和脈動(dòng)溫度T1兩部分：T=T0+T1，其中，T0=〈T〉。濾波后溫度的均方根的方程如下[49]：

類似地，濾波后熵的均方根的方程如下[49]：

亞格子流量、脹壓項(xiàng)、熱擴(kuò)散和黏性耗散等各個(gè)項(xiàng)在溫度的多尺度傳輸過程中所起的作用如圖7所示。在慣性區(qū)，亞格子流量在溫度脈動(dòng)的多尺度傳輸過程中起主導(dǎo)作用，脹壓、熱擴(kuò)散和黏性耗散的作用可忽略。溫度的脈動(dòng)在慣性區(qū)上存在從大尺度向小尺度的級(jí)串現(xiàn)象[49]。

(a) Mt=0.2

亞格子流量、脹壓項(xiàng)、熱擴(kuò)散和黏性耗散等各個(gè)項(xiàng)在熵的多尺度傳輸過程中所起的作用如圖8所示。在慣性區(qū)，亞格子流量在熵的脈動(dòng)的多尺度傳輸過程中起主導(dǎo)作用，其他項(xiàng)的作用可忽略[49]。

(a) Mt=0.2

4 統(tǒng)計(jì)定常的可壓縮均勻剪切湍流

均勻剪切湍流是最簡單的剪切湍流。利用雷諾分解，均勻剪切湍流的瞬時(shí)速度可以分解為平均速度U=(Sx2,0,0)和脈動(dòng)速度ui，在數(shù)值模擬中只計(jì)算脈動(dòng)速度，則控制方程(1-3)變?yōu)橐韵滦问絒52-53]：

因?yàn)橐陨戏匠讨酗@含x2，導(dǎo)致其在法向并不滿足周期邊界條件。通常采用被稱為“剪切邊界條件”的方法將其變換至動(dòng)坐標(biāo)系中進(jìn)行求解[57]。均勻剪切湍流可以從平均速度獲得能量，仍需要在能量方程中加入冷卻項(xiàng)Λ使其達(dá)到統(tǒng)計(jì)定常[51]。

由于既具有空間均勻的統(tǒng)計(jì)特性，又有與其他復(fù)雜剪切湍流類似的湍動(dòng)能生成的機(jī)制，均勻剪切湍流被認(rèn)為是研究剪切湍流的重要模型。早期，對均勻剪切湍流的研究主要針對各向同性湍流受到均勻剪切后的初始階段，分析湍動(dòng)能的時(shí)間演化、各向異性和流場結(jié)構(gòu)等。Pumir[58]延長了不可壓縮均勻剪切湍流的數(shù)值模擬時(shí)間，大尺度流動(dòng)結(jié)構(gòu)受到計(jì)算域的約束，湍動(dòng)能不再增長，最終得到了統(tǒng)計(jì)定常的流場。相比各向同性湍流，統(tǒng)計(jì)定常的均勻剪切湍流的明顯特征是具有很強(qiáng)的脈動(dòng)，這是由于在均勻剪切湍流中存在類似邊界層湍流中的猝發(fā)過程，而在統(tǒng)計(jì)定常的情況下該猝發(fā)過程的尺度達(dá)到了計(jì)算域尺度。統(tǒng)計(jì)定常均勻剪切湍流的很多統(tǒng)計(jì)特征和擬序結(jié)構(gòu)都與壁湍流的對數(shù)區(qū)非常相似[58-60]。目前對統(tǒng)計(jì)定常的均勻剪切湍流的研究主要針對不可壓流動(dòng)，對于可壓縮的統(tǒng)計(jì)定常均勻剪切湍流的研究屈指可數(shù)[51-54]。運(yùn)用Helmholtz分解，可將速度場分解為剪切部分和脹壓部分，進(jìn)而研究剪切過程和脹壓過程以及兩者的相互作用。可壓縮的統(tǒng)計(jì)定常均勻剪切湍流中, 剪切湍動(dòng)能和脹壓湍動(dòng)能均存在很強(qiáng)的脈動(dòng)[51]。

4.1 馬赫標(biāo)度率和能譜

(a) 無量綱的可壓縮湍動(dòng)能

(a) 壓力

4.2 可壓縮性對小尺度結(jié)構(gòu)的影響

湍流小尺度結(jié)構(gòu)一般用速度梯度張量來描述，它的動(dòng)力學(xué)特性對理解能量級(jí)串、間歇性、標(biāo)量的輸運(yùn)等各種湍流現(xiàn)象非常關(guān)鍵?？蓧嚎s性的影響主要體現(xiàn)在速度場的脹壓分量，對速度場剪切部分的影響很微弱[55]。湍流馬赫數(shù)較小時(shí)，變形速度張量Sij的概率最大的三個(gè)特征值之比約為-4∶1∶3，這與不可壓縮湍流類似。隨著馬赫數(shù)增大，該比值逐漸趨于-1∶0∶0，表明激波結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)。相同的馬赫數(shù)下，均勻剪切湍流的可壓縮性強(qiáng)于各向同性湍流，小尺度結(jié)構(gòu)對馬赫數(shù)更加敏感[52]。速度散度θ/θ′的大小描述流場的局部壓縮程度。在Mt≈0.6時(shí)，均勻剪切湍流的不同壓縮程度的區(qū)域中，變形速度張量三個(gè)特征值的概率分布和條件概率密度分布如圖11所示，可見在θ/θ′≤-2的強(qiáng)壓縮區(qū)間，大部分特征值的比值都很接近-1∶0∶0，這與各向同性湍流在Mt≈1.0時(shí)的結(jié)果類似[37]。在流體的體積黏性較大時(shí)，強(qiáng)壓縮和強(qiáng)膨脹區(qū)間各特征值的概率密度會(huì)明顯減小[54]。

圖11 變形速度張量Sij三個(gè)特征值βk(k=1,2,3)的概率分布和條件概率密度分布[52]

在強(qiáng)壓縮區(qū)間，均勻剪切湍流和各向同性湍流的(R*,Q*)的聯(lián)合概率密度分布具有明顯的相似性，如圖12所示[53]，并且在均勻剪切湍流中壓縮性對(R*,Q*)的聯(lián)合概率密度的影響更加明顯。

圖12 變形速度張量度第二、第三不變量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)對數(shù)lgPDF(R*,Q*)的等值線.紅線表示各向同性湍流的結(jié)果，黑線表示均勻剪切湍流的結(jié)果

5 振動(dòng)非平衡可壓縮各向同性湍流

高溫氣體流動(dòng)是指在高速高溫等極端條件下，氣體微團(tuán)具有分子內(nèi)部自由度激發(fā)，原子、分子間不斷發(fā)生離解、電離和復(fù)合等化學(xué)反應(yīng)，乃至出現(xiàn)輻射和電磁效應(yīng)等物理化學(xué)過程的復(fù)雜氣體介質(zhì)流動(dòng)[63-65]。高溫氣體流動(dòng)在自然界和航空航天等工業(yè)領(lǐng)域都極為常見。最典型的例子是通過激波的高超聲速流動(dòng)，高速流體大部分動(dòng)能被轉(zhuǎn)化為內(nèi)能并導(dǎo)致流體微團(tuán)壓強(qiáng)和溫度急劇增大。當(dāng)流體微團(tuán)的壓強(qiáng)和溫度突然增大時(shí)，原本處于平衡狀態(tài)的振動(dòng)模式與化學(xué)性質(zhì)將發(fā)生變化，并通過分子間碰撞實(shí)現(xiàn)新的平衡，因此需要一個(gè)特征時(shí)間(弛豫時(shí)間)來完成。在經(jīng)歷足夠長的時(shí)間和足夠多的碰撞使流體微團(tuán)達(dá)到新的平衡狀態(tài)后，流體微團(tuán)已經(jīng)運(yùn)動(dòng)到激波下游一定遠(yuǎn)距離的位置。因此，在激波后會(huì)有一個(gè)尚未達(dá)到平衡狀態(tài)的區(qū)域——非平衡區(qū)。如圖13所示，振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)后，氣體分子的內(nèi)能添加了振動(dòng)模式。與平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)模式非平衡的弛豫時(shí)間相比，振動(dòng)模式非平衡的弛豫時(shí)間要長得多(振動(dòng)弛豫時(shí)間約高出平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)弛豫時(shí)間4個(gè)數(shù)量級(jí))。因此，在研究振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的可壓縮湍流時(shí)，通常假設(shè)內(nèi)能的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)模式處于平衡態(tài)，而振動(dòng)模式處于非平衡態(tài)，并分別用平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度(Ttr)和振動(dòng)溫度(Tv)表征(即雙溫模型[63])。在激波后很大范圍內(nèi)，平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度與振動(dòng)溫度存在明顯滯后現(xiàn)象[66]。

當(dāng)前大部分可壓縮各向同性湍流的研究沒有考慮振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的情況[29-30,37,39,44,50]，關(guān)于振動(dòng)非平衡和湍流脈動(dòng)相互作用的研究很少。Donzis和Maqui[67]通過直接數(shù)值模擬方法研究了統(tǒng)計(jì)穩(wěn)態(tài)的振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的可壓縮各向同性湍流，揭示了由于振動(dòng)非平衡和有限的弛豫時(shí)間，內(nèi)能的平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)模式和振動(dòng)模式之間存在強(qiáng)烈的能量傳遞。Khurshid和Donzis[68]進(jìn)一步研究了自由衰減的振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的可壓縮各向同性湍流中湍流脈動(dòng)和振動(dòng)非平衡的相互作用。研究發(fā)現(xiàn)湍流脈動(dòng)和振動(dòng)非平衡相互作用的強(qiáng)度取決于振動(dòng)非平衡的初始程度和弛豫時(shí)間的大小。本課題組也開展了振動(dòng)非平衡的可壓縮各向同性湍流統(tǒng)計(jì)特性的研究，探討了湍流馬赫數(shù)、振動(dòng)弛豫時(shí)間和特征溫度、壓縮性對振動(dòng)弛豫率和振動(dòng)能脈動(dòng)的影響[56]。本節(jié)主要介紹振動(dòng)非平衡可壓縮湍流的一些基本概念和控制方程，以及大湍流馬赫數(shù)(Mt=1.09)下的部分研究結(jié)果。

5.1 基本控制方程

圖13展示的是振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的雙原子分子氣體內(nèi)能模式與熱非平衡態(tài)概念示意圖。常溫下內(nèi)能主要包括平動(dòng)模式和轉(zhuǎn)動(dòng)模式，在這種情況下比熱比等于1.4。當(dāng)氣體振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)后，內(nèi)能則添加了振動(dòng)模式，并根據(jù)振動(dòng)弛豫時(shí)間與特征流動(dòng)時(shí)間尺度的關(guān)系可分為振動(dòng)平衡態(tài)和振動(dòng)非平衡態(tài)。振動(dòng)非平衡態(tài)氣體內(nèi)能的無量綱形式可表示為：

圖13 振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)的雙原子分子氣體內(nèi)能模式與熱非平衡態(tài)概念示意圖。振動(dòng)能級(jí)被激發(fā)情況下，根據(jù)振動(dòng)弛豫時(shí)間與特征流動(dòng)時(shí)間尺度的比值，可劃分為振動(dòng)平衡態(tài)和振動(dòng)非平衡態(tài),在振動(dòng)非平衡態(tài)下，比熱比是溫度的函數(shù)(≠ 1.4)。

在這種情況下，氣體比熱比是溫度的函數(shù)，而不再為常數(shù)。其中θv為氣體的無量綱振動(dòng)特征溫度。

振動(dòng)非平衡態(tài)下湍流的總能量和振動(dòng)能的控制方程以及氣體狀態(tài)方程如下所示：

p=ρTtr/(γrM2)

(29)

τv是無量綱的振動(dòng)弛豫時(shí)間，它是局部溫度和壓力的函數(shù)，通?？捎扇缦碌年P(guān)系式獲得：

τv=(C/p)exp(K2/Ttr)1/3

(32)

其中，C和K2是無量綱常數(shù)，依賴于氣體分子的物理性質(zhì)。通常可固定K2的數(shù)值并修改C的取值得到不同的振動(dòng)弛豫時(shí)間[56,67-68]。受限于篇幅，更詳細(xì)的參數(shù)含義和表達(dá)式，比如平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度和振動(dòng)溫度的熱傳導(dǎo)系數(shù)(κtr和κv)，請參考文獻(xiàn)[56]。

5.2 振動(dòng)弛豫時(shí)間對物理量梯度方向的影響

通常情況下,在可壓縮各向同性湍流流動(dòng)中密度梯度與速度散度的等值面是重合的，且常用于刻畫微型激波的結(jié)構(gòu)。流動(dòng)中的壓縮和膨脹運(yùn)動(dòng)對流體微團(tuán)做功，尤其是激波的強(qiáng)壓縮作用，使得可壓縮湍流中物理量的變化與氣體的壓縮性緊密相關(guān)，并體現(xiàn)為物理量的梯度和速度散度的等值面重合。圖14展示了歸一化的密度梯度、平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度梯度和轉(zhuǎn)動(dòng)溫度梯度的等值面。在振動(dòng)非平衡可壓縮湍流流動(dòng)中，壓縮和膨脹運(yùn)動(dòng)對流體微團(tuán)做功直接改變的是平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度，之后通過內(nèi)能中平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)模式和振動(dòng)模式的弛豫現(xiàn)象，進(jìn)而改變振動(dòng)溫度。如圖14所示，在歸一化弛豫時(shí)間〈τv〉/τη≈30.73時(shí)，密度梯度和平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度梯度的等值面基本重合；而由于有限的弛豫時(shí)間，密度梯度與振動(dòng)溫度梯度的等值面則完全不重合。

(a) 歸一化的密度梯度

為了進(jìn)一步量化密度梯度與振動(dòng)溫度梯度夾角隨振動(dòng)弛豫時(shí)間的變化，可通過計(jì)算振動(dòng)溫度梯度和密度梯度夾角cosine函數(shù)值的概率密度分布函數(shù)。振動(dòng)溫度梯度和密度梯度可分別表示為：

振動(dòng)溫度梯度和密度梯度夾角的cosine函數(shù)值可表示為:

圖15展示的是振動(dòng)溫度梯度和密度梯度夾角cosine函數(shù)值的概率密度分布函數(shù)隨歸一化振動(dòng)弛豫時(shí)間的變化規(guī)律。顯然，在歸一化弛豫時(shí)間〈τv〉/τη≈0.29時(shí)，振動(dòng)溫度梯度和密度梯度方向近乎重合；隨著弛豫時(shí)間的增大，振動(dòng)溫度梯度和密度梯度方向逐漸偏離。當(dāng)〈τv〉/τη≈30.73時(shí)，PDF曲線近乎水平，意味著振動(dòng)溫度梯度和密度梯度方向已完全偏離。

圖15 振動(dòng)溫度和密度梯度間夾角cosine函數(shù)值的概率分布函數(shù)

5.3 振動(dòng)弛豫時(shí)間對弛豫率的影響

隨著弛豫時(shí)間的增大，振動(dòng)弛豫率的數(shù)值逐漸變小，甚至當(dāng)弛豫時(shí)間足夠大時(shí)，比如〈τv〉/τη≥13.16，在強(qiáng)膨脹區(qū)域甚至出現(xiàn)了反向的能量轉(zhuǎn)化(圖16a)。這是因?yàn)槿?.2小節(jié)所述，當(dāng)弛豫時(shí)間較大時(shí)，振動(dòng)溫度梯度和平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度梯度不再重合，流動(dòng)的壓縮運(yùn)動(dòng)無法保證平動(dòng)-轉(zhuǎn)動(dòng)溫度在平均的角度上大于轉(zhuǎn)動(dòng)溫度；同理，也無法保證在膨脹區(qū)域的反向溫度差。因此，可以認(rèn)為弛豫效應(yīng)弱化了壓縮性對振動(dòng)弛豫率統(tǒng)計(jì)特性的影響。圖16(b)則是展示了振動(dòng)特征溫度對歸一化弛豫率的影響。不同的振動(dòng)特征溫度對應(yīng)的曲線相互重疊，即振動(dòng)特征溫度對歸一化弛豫率的影響幾乎可以忽略。

6 可壓縮化學(xué)反應(yīng)湍流

化學(xué)反應(yīng)湍流存在于多種實(shí)際流動(dòng)中，涉及能源、環(huán)境、化工、航空航天等領(lǐng)域[70-72]。湍流-化學(xué)反應(yīng)的時(shí)間和空間多尺度相互作用對湍流的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)以及能量傳遞有重要影響[73-75]?；瘜W(xué)反應(yīng)湍流的時(shí)空多尺度特性以及化學(xué)反應(yīng)與流動(dòng)的耦合作用對機(jī)理研究提出了挑戰(zhàn)。目前，采用直接數(shù)值模擬手段針對不可壓和弱可壓縮湍流-化學(xué)反應(yīng)相互作用的研究已有大量的成果[72-85]。本課題組的研究進(jìn)一步考慮湍流的可壓縮性，探索強(qiáng)可壓縮湍流與化學(xué)反應(yīng)的相互作用。

6.1 控制方程

可壓縮化學(xué)反應(yīng)均勻各向同性湍流無量綱守恒形式的Navier-Stokes方程組[35, 76-77]如下所示：

s=1,…,ns-1

(38)

其中，ρ為混合氣體密度，ui為速度分量，p為混合氣體壓力，T為溫度，黏性應(yīng)力σij根據(jù)下式計(jì)算得到：

為了探索化學(xué)反應(yīng)的能量釋放對可壓縮湍流的影響，我們選用了單步不可逆簡單化學(xué)反應(yīng)來獲得化學(xué)反應(yīng)過程中組分的變化以及能量的釋放。化學(xué)反應(yīng)方程[76-77]如下所示：

A+B→2P

(42)

反應(yīng)物和產(chǎn)物的質(zhì)量變化以及總的能量釋放可以通過下式[76-77]計(jì)算得到：

(43)

式中Da為Damk?hler數(shù)，Ze為Zeldovich數(shù)，這兩個(gè)參數(shù)共同控制反應(yīng)物和產(chǎn)物的組分變化，Ce為放熱系數(shù)，與產(chǎn)物的組分變化率共同控制反應(yīng)吸/放熱速率。

6.2 流場結(jié)構(gòu)

化學(xué)反應(yīng)對可壓縮均勻各向同性湍流不同尺度的流場結(jié)構(gòu)均有影響。尤其對于放熱反應(yīng)而言，化學(xué)反應(yīng)釋放的能量首先通過壓力膨脹做功傳遞給動(dòng)能的脹壓部分，進(jìn)一步，通過對流運(yùn)動(dòng)將能量由動(dòng)能的脹壓部分傳遞給剪切部分[73]。在能量的傳遞過程中，脹壓運(yùn)動(dòng)將導(dǎo)致流場的膨脹和壓縮都急劇的增大[75, 78]，流場結(jié)構(gòu)隨之發(fā)生改變。

如圖17所示，在低湍流馬赫數(shù)Mt=0.2狀態(tài)下，等溫反應(yīng)(Da=2，圖17(a))中，速度散度云圖呈現(xiàn)大范圍交替出現(xiàn)的壓縮和膨脹區(qū)域。在放熱反應(yīng)中(Da=200，圖17(b))，流場中出現(xiàn)藍(lán)色條紋狀結(jié)構(gòu)。這些條紋狀結(jié)構(gòu)對應(yīng)流場的強(qiáng)壓縮區(qū)域，為小激波結(jié)構(gòu)。這意味著在弱可壓縮湍流中，化學(xué)反應(yīng)放熱可以導(dǎo)致小激波這種強(qiáng)壓縮結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)。

(a) 等溫反應(yīng)(Da=2,Ze=0,Ce=0)

6.3 能譜與標(biāo)度律

化學(xué)反應(yīng)對可壓縮湍流中速度以及熱力學(xué)量的能譜有重要影響。我們發(fā)現(xiàn)，對于放熱反應(yīng)而言，在能量的傳遞過程中，速度、密度、溫度和壓力的能譜在所有尺度均有不同程度的增加，并且，在放熱反應(yīng)中，弱可壓縮和強(qiáng)可壓縮湍流的主導(dǎo)模態(tài)均為聲學(xué)模態(tài)[55]。

圖18所示為放熱反應(yīng)中(Da=200),密度歸一化能譜隨無量綱化學(xué)反應(yīng)時(shí)間t/τ的變化，其中τ為大渦翻轉(zhuǎn)時(shí)間，t/τ=0對應(yīng)化學(xué)反應(yīng)的起始時(shí)刻。可以看到，在化學(xué)反應(yīng)的初期(0

(a) Mt=0.2

流場壓力膨脹做功在可壓縮化學(xué)反應(yīng)湍流的能量傳輸中具有重要作用，因此，進(jìn)一步分析在放熱反應(yīng)中(Da=200)的速度的脹壓分量能譜(圖19)可以得到，速度脹壓分量的能譜在放熱化學(xué)反應(yīng)中同樣呈現(xiàn)在所有尺度范圍的增加，但與熱力學(xué)量能譜的階躍式增加不同，速度脹壓分量能譜呈漸進(jìn)式增加，在t/τ>20達(dá)到統(tǒng)計(jì)穩(wěn)定狀態(tài)。

(a) Mt=0.2

密度和速度脹壓分量的歸一化能譜在化學(xué)反應(yīng)過程中的增加形式進(jìn)一步說明化學(xué)反應(yīng)使熱力學(xué)量的能譜能在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生改變，而速度脹壓分量能譜的增加依賴于能量傳遞過程。同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，弱可壓縮湍流中能譜的變化受反應(yīng)放熱的影響大于強(qiáng)可壓縮湍流，弱可壓縮湍流中能譜的增加更明顯。

7 結(jié) 論

可壓縮湍流包含了豐富的流動(dòng)結(jié)構(gòu)和物理現(xiàn)象，既有旋渦運(yùn)動(dòng)，又包含了膨脹和壓縮運(yùn)動(dòng)，而且動(dòng)力學(xué)過程和熱力學(xué)過程相互耦合。我們采用亥姆霍茲分解方法，將可壓縮湍流的速度和壓力分解為剪切過程和脹壓過程，并將脹壓過程分解為偽聲模態(tài)和聲模態(tài)。我們采用了Kavasznay分解方法，將熱力學(xué)量的脈動(dòng)分解為聲模態(tài)和熵模態(tài)。

我們通過研究可壓縮湍流的不同物理過程和流動(dòng)模態(tài)的多尺度性質(zhì)及其相互作用，得到了各類可壓縮條件對湍流的速度和熱力學(xué)量的譜、動(dòng)能的多尺度傳輸?shù)任锢硪?guī)律的影響。在弱可壓縮湍流中，當(dāng)偽聲模態(tài)占主導(dǎo)時(shí)，可壓縮部分的速度譜在慣性區(qū)上具有-3標(biāo)度律，壓力、密度和溫度的譜具有-7/3標(biāo)度律。對于中等可壓縮湍流，當(dāng)聲模態(tài)占主導(dǎo)時(shí)，可壓縮部分的速度譜以及熱力學(xué)量的譜都具有-5/3標(biāo)度律。對于強(qiáng)可壓縮湍流，當(dāng)大激波結(jié)構(gòu)占主導(dǎo)時(shí)，可壓縮部分的速度譜以及熱力學(xué)量的譜都具有-2標(biāo)度律。隨著可壓縮性的增強(qiáng)，有更多的動(dòng)能從速度場的剪切部分傳遞到脹壓部分。然后這些脹壓部分的動(dòng)能通過亞格子流量往小尺度傳輸，在小尺度上通過黏性耗散轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。

我們進(jìn)一步討論了大尺度剪切運(yùn)動(dòng)、體積黏性系數(shù)、高溫非平衡效應(yīng)、化學(xué)反應(yīng)對可壓縮湍流的多尺度性質(zhì)的影響。在相同湍流馬赫數(shù)情況下，大尺度的剪切運(yùn)動(dòng)會(huì)增強(qiáng)湍流的可壓縮性。體積黏性會(huì)抑制湍流的可壓縮性，使得脹壓部分更容易被偽聲模態(tài)占主導(dǎo)。在振動(dòng)非平衡可壓縮湍流中，當(dāng)弛豫時(shí)間較大時(shí)，密度梯度與振動(dòng)溫度梯度的等值面完全不重合。弛豫效應(yīng)弱化了可壓縮性對振動(dòng)弛豫率統(tǒng)計(jì)特性的影響。在弱可壓縮湍流中，化學(xué)反應(yīng)放熱可以極大地增強(qiáng)流動(dòng)的可壓縮性，使得流場出現(xiàn)小激波。在放熱反應(yīng)中，湍流馬赫數(shù)對動(dòng)能和動(dòng)能耗散的影響減弱。

通過這些研究，我們系統(tǒng)地建立和完善了充分發(fā)展的可壓縮湍流的基本理論，為進(jìn)一步研究更復(fù)雜條件下的可壓縮湍流的流動(dòng)機(jī)理以及發(fā)展高精度的可壓縮湍流大渦模擬方法奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

致謝:本研究工作得到南方科技大學(xué)科學(xué)與工程計(jì)算中心的支持。