突破表象，凸顯本質(zhì)

斯旦紅

[摘? 要] 從學(xué)生理解的模糊表象入手，通過更新表象、重組思維，引導(dǎo)學(xué)生自主反思基礎(chǔ)知識(shí)、解題過程與數(shù)學(xué)方法，這是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑。

[關(guān)鍵詞] 低段數(shù)學(xué);錯(cuò)題;表象;本質(zhì);深度

“數(shù)學(xué)是思維的體操”。低段學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以形象思維為主，但是只注重形象思維的訓(xùn)練，或者僅僅只進(jìn)行表象層次的教學(xué)，必然使學(xué)生對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)限于膚淺。比如對(duì)于“角的大小”，有學(xué)生記住了教師講的：角的大小與所畫的兩條邊的長短無關(guān)，角的兩條邊都是射線，但無法理解“射線”（四年級(jí)內(nèi)容），這樣學(xué)生的思維就停留在語言記憶表象的水平，這種表象層次的理解有時(shí)也會(huì)在解題中蒙混過關(guān)，但更多時(shí)候會(huì)露出馬腳。深度學(xué)習(xí)要求學(xué)習(xí)者積極地去探究、思考與創(chuàng)新，能夠有批判性地學(xué)習(xí)新知識(shí)，并把知識(shí)遷移到新的情境中去。以下結(jié)合低年級(jí)數(shù)學(xué)解題指導(dǎo)的教學(xué)實(shí)踐，與同行探討如下。

一、強(qiáng)化讀題，打好深度學(xué)習(xí)之根基

1. 整體感知，突破文字表象

例1? 爸爸帶我和妹妹去植物園游玩，植物園的成人票是20元，兒童票是12元，一共要花（? ? ）元。

①32②44③52

[錯(cuò)誤分析] 列式：20+12，錯(cuò)誤選擇答案①。

[教學(xué)對(duì)策]

（1）突破陳式，加以區(qū)別。

注意把當(dāng)前題目區(qū)別于常規(guī)陳式題，常規(guī)陳式題比如：琪琪昨天看了一本書的20頁，今天又看了這本書的12頁，兩天一共看了多少頁？正確列式20+12=32（頁）。指導(dǎo)學(xué)生逐字逐句分析當(dāng)前題目，完整理解題意。在本題中，“爸爸帶我和妹妹”意思是告訴我們“要購買1張成人票與2張兒童票”。

（2）重建實(shí)物，加強(qiáng)直觀感受。

建構(gòu)新的表象，如圖1所示，它代表了本題的數(shù)量關(guān)系，這是表象形象性與概括性體現(xiàn)，可以使原有錯(cuò)誤表象被突破。

2. 全面理解，突破程序表象

例2? 把這些數(shù)用大于符號(hào)連接起來：

11? ? 16? ? 5? ? 26? ? 19

（? ）○（? ）○（? ）○（? ）○（? ）

[錯(cuò)誤分析] 有的教師規(guī)定：如果題目要求比較5與4的大小，學(xué)生只能寫5>4，如果寫4<5就算錯(cuò)誤，據(jù)說這樣是為了防止考試出錯(cuò)。急功近利的評(píng)價(jià)方式、機(jī)械的學(xué)習(xí)方法往往導(dǎo)致形成“跟著感覺走”的程序表象。在本題中，不少學(xué)生會(huì)錯(cuò)誤地寫成11<16>5<26>19。

[教學(xué)對(duì)策]

（1）強(qiáng)化讀題，明確是否必須。劃出關(guān)鍵詞：“這些數(shù)”“大于符號(hào)”。分析：這里規(guī)定了什么？沒規(guī)定什么？（規(guī)定必須用這些數(shù)與大于符號(hào);沒規(guī)定這些數(shù)的順序）

（2）探討步驟，明確解題順序。想一想：是先填數(shù)字還是大于號(hào)？為什么？

（3）觸類旁通，促進(jìn)題型互通。思考：這道題相當(dāng)于完成以前哪種練習(xí)？（從大到小排列數(shù)），這樣排需要遵循什么原則？（前邊的任何一個(gè)數(shù)都比后邊的數(shù)要大）

二、強(qiáng)化雙基，穩(wěn)固深度學(xué)習(xí)之主干

1. 合理區(qū)分，突破概念表象

例3? 判斷大?。?時(shí)○100分

[錯(cuò)誤分析] 1時(shí)=100分。學(xué)生受諸如“1米=10分米=100厘米”“1元=10角=100分”等常規(guī)進(jìn)率的概念表象所左右，對(duì)于“時(shí)和分”的進(jìn)率作出錯(cuò)誤判斷。

[教學(xué)對(duì)策]

（1）澄清概念。①1元=10角=100分;②1時(shí)=60分，前者是人民幣的單位，后者則是時(shí)間單位，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此進(jìn)行比較，強(qiáng)化概念界限。

（2）強(qiáng)調(diào)一些相鄰單位進(jìn)率不是10的概念教學(xué)并不斷訓(xùn)練，如：1周=7天;1天=24時(shí);1雙=2只……

2. 靈活運(yùn)用，突破動(dòng)作表象

學(xué)生頭腦中對(duì)于數(shù)學(xué)操作過程產(chǎn)生的記憶形象是一種動(dòng)作表象，可以逐步形成數(shù)學(xué)操作的技能，這要以相關(guān)概念認(rèn)知及操作的正確性為前提。

例4? 如圖2（上）所示，這支鉛筆的長度是（? ）厘米。

[錯(cuò)誤分析] 有不少學(xué)生填寫答案是8厘米，這中間的錯(cuò)誤又分兩種情況：一是“瞻前不顧后”——忽視了對(duì)左邊起點(diǎn)的要求，屬于不細(xì)心;二是“丟了初心”——平時(shí)自己也有從1厘米開始量并從所量物體末端位置來讀數(shù)的錯(cuò)誤情況。

[教學(xué)對(duì)策]

（1）規(guī)范基本操作。必須把鉛筆的一端與0位置對(duì)齊，讀出鉛筆另一端所在位置的讀數(shù)。

（2）發(fā)展基本操作。測量物體長度也不是非從尺子的0位置量起不可，但讀數(shù)要減去前邊多量的長度。

（3）區(qū)分相同數(shù)字的不同情況。如①小明看書從第1頁看到第8頁一共看了多少頁？②小明從刻度1厘米位置開始量發(fā)現(xiàn)鉛筆末端正好在刻度8厘米的位置，鉛筆長度是幾厘米？

3. 整體入手，突破規(guī)律表象

例5? 在下列數(shù)字后按規(guī)律添加一個(gè)數(shù)：2? ? 4? ? 8? ? 14? ? （? ）

[錯(cuò)誤分析] 只從局部考慮問題，認(rèn)為這一列數(shù)從2到4增加了2個(gè)，所以就在14后邊填入了16。

[教學(xué)對(duì)策]

（1）加大訓(xùn)練，重組表象。通過寫一寫、畫一畫等比較直觀的手段讓學(xué)生重組規(guī)律表象。

（2）整體入手，整體出手。整體入手，就是要全面分析整列數(shù)的前后關(guān)系，防止“一葉障目，不見森林”。整體出手，就是發(fā)現(xiàn)的規(guī)律要經(jīng)得起檢驗(yàn)。

2? ?4? ?8? ? 14? （? ）

+2? +4? +6? +（? ）

4. 華麗轉(zhuǎn)身，突破法則表象

例6? 比較大?。?7+45+9〇49+5+17

[錯(cuò)誤分析] 學(xué)生牢記“先計(jì)算后比較”，不越雷池半步，這樣一不留神就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。

[教學(xué)對(duì)策]

（1）學(xué)會(huì)觀察，特事特辦。本題可以把兩個(gè)17都圈出來放一邊不考慮，再比較45+9與49+5的大小，發(fā)現(xiàn)兩邊的十位上有一個(gè)4，即40，兩道算式的個(gè)位都是5和9相加，所以兩道算式得數(shù)一樣。

（2）自我建構(gòu)，舉一反三。這種由學(xué)生自我建構(gòu)的法則不再是一種表象，而是對(duì)于數(shù)學(xué)算理深度理解的結(jié)果，實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)。

三、突破生活表象，催生深度學(xué)習(xí)之枝葉

1. 打破機(jī)械性，提煉習(xí)慣表象

例7? 一個(gè)長方形剪一刀去掉一塊，余下的圖形有幾個(gè)角？以下情況不可能的是：①5只角②4只角? ③3只角? ④2只角

[錯(cuò)誤分析]習(xí)慣性認(rèn)為4只角中剪去1只就是3只。

[教學(xué)對(duì)策]

（1）實(shí)際操作。實(shí)際操作保留長方形原來的三只角剪去一只角可能發(fā)現(xiàn)增加了兩只新角，這樣5只角就是可能的。

（2）分類探討。題目中并沒有表明剪一刀的位置，所以不能只停留在結(jié)果是5只角這一種可能性上。

2. 防止局限性，修正觀察表象

例8? 如圖4所示由多個(gè)小立方體拼成的物體，如果每個(gè)小立方體的重量是9克，那么整個(gè)物體的重量至少有（? ）克。

[錯(cuò)誤分析] 局限于圖畫看問題，認(rèn)為圖中只有4個(gè)立方體。

[教學(xué)對(duì)策]

（1）實(shí)際操作，防止紙上談兵，理解生活中不存在空中樓閣。

（2）深化理解，進(jìn)一步探討如圖所示是否必定是5個(gè)立方體呢？由于遮擋的原因，視線看不到的還有可能存在更多小方塊，這也是題目中出現(xiàn)“至少”兩字的原因。

四、突破方法表象，綻開深度學(xué)習(xí)之花朵

1. 出奇制勝，突破順序表象

例9? 已知□+▽=17，〇+▽=14，〇+〇=16，那么〇+▽+□+▽+〇+〇=（? ）。

[錯(cuò)誤分析]從第一個(gè)算式入手去猜測□與▽各是多少，然后代入后邊的算式中再進(jìn)行分析求解，錯(cuò)誤率非常高。

[教學(xué)對(duì)策]

（1）中間突破。從已經(jīng)條件中的〇+〇=16可以發(fā)現(xiàn)〇=8，然后再往前突破，自然可以得到答案。

（2）逆向思考。由結(jié)論出發(fā)，運(yùn)用整體思考的方法，可以發(fā)現(xiàn)所求六個(gè)數(shù)之和中第1、第2兩數(shù)之和正好是14，后邊第3與第4兩數(shù)則是17，最后兩數(shù)是16，這樣可以更快得到答案。

2. 另辟蹊徑，突破視野表象

例10? 杰克買了30個(gè)橘子，第一天吃了一些，第二天又吃了一些，還剩下14個(gè)橘子，杰克兩天一共吃了幾個(gè)橘子？

[錯(cuò)誤分析] 受“第一天、第二天、一共”這些文字影響，學(xué)生會(huì)去搜尋第一天、第二天各吃了多少個(gè)橘子，可是從題目中無從得知，這樣解題思路就中斷了。

[教學(xué)對(duì)策]

數(shù)學(xué)中存在“整—分、內(nèi)—外、分—合、順—逆”等視野關(guān)系，從低年級(jí)起要有意識(shí)地向?qū)W生滲透問題解決視野的訓(xùn)練，逐步達(dá)到“一覽眾山小”的佳境。

（1）借助線段圖明確數(shù)量關(guān)系，為發(fā)現(xiàn)新思路提供支撐。

（2）調(diào)整視野。如果把兩天吃的個(gè)數(shù)當(dāng)作整體看成一個(gè)加數(shù)，還剩下的個(gè)數(shù)14又是另一個(gè)加數(shù)，和是30，那么求其中一個(gè)加數(shù)理應(yīng)用減法來計(jì)算。

由上可見，從學(xué)生理解的模糊表象入手，是充分尊重學(xué)生學(xué)習(xí)主體性的表現(xiàn)。通過不同的數(shù)學(xué)策略與數(shù)學(xué)思想去引導(dǎo)學(xué)生更新表象，重組思維，則是對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)最近發(fā)展區(qū)的積極觸碰;在更新表象的基礎(chǔ)上讓學(xué)生反思基礎(chǔ)知識(shí)、解題過程與數(shù)學(xué)方法則可以幫助學(xué)生促進(jìn)對(duì)可持續(xù)發(fā)展局面的全面構(gòu)建。唯有如此，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)之花才能純香宜人，歷久彌新。