例析焦點三角形，求解橢圓離心率

葉宇樺

圓錐曲線的離心率是高考?？贾R點，是橢圓和雙曲線極為重要的性質。根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》的要求，高中生要掌握橢圓的幾何性質，包括范圍、對稱性、頂點和離心率。離心率是橢圓性質中的難點，考法非常靈活，有直接法、帶點坐標法、通徑法和焦點三角形法等，每一種方法又可以細分出不同的小題型。筆者根據自己的教學經歷，將焦點三角形法細分成以下四種類型，供大家參考。

一、焦點三角形的角

題目給出焦點三角形的兩個角的大小，或者一個角的取值范圍，可以利用正弦定理將離心率中a，b，c的比值轉化成焦點三角形中角的正弦值之比，從而求出離心率的大小或者取值范圍。

例1.點p是橢圓C1：=1（a>b>0）與圓x2+y2=a2-b2的一個交點，且2∠PF2F1=∠PF1F2，其中，F1，F2分別為橢圓C1的左、右焦點，則橢圓C1的離心率為（）

A.? ?B.? ?C.? ?D.

【解析】點P是橢圓與圓的交點，所以∠F2PF1=90o;又因為2∠PF2F1=∠PF1F2，所以∠PF1F2=60o，∠PF2F1=30o則e=，答案選A。

例2. 已知橢圓=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，P是橢圓上一點，△PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形，且60°<∠PF1F2<120°，則該橢圓的離心率的取值范圍是（）

A. ? ? ?B.

C.? ? ? ?D.

【解析】△PF1F2是以F2P為底邊的等腰三角形，若設∠PF1F2，則∠F2PF1=∠F1PF2=，由60°<∠PF1F2<120°可知，，進一步求得，答案選A。

【評析】對于焦點三角形PF1F2，若設∠PF1F2=，∠PF2F1=，則有

二、焦點三角形的邊

已知焦點三角形中三邊或者兩邊的關系，利用橢圓的定義、完全平方式、余弦定理等求解橢圓離心率。當焦點三角形位置比較特殊，如，頂點恰好為橢圓與坐標軸的焦點，還可以用特征三角形或者直角三角形的三角函數值以解答。

例3.設分別為橢圓C：=1（a>b>0）的左、右焦點，橢圓C上存在一點P使得|PF1|-|PF2|=b，|PF1|·|PF2|=ab，則該橢圓的離心率為（）

A.? ? ? ? ? ? B.? ? ? ? ? C.? ? ? ? ? ? D.

【解析】題目給出兩條焦半徑的兩個關系式，還有隱含的橢圓的定義|PF1|-|PF2|=2a，觀察三個式子的形式，可以聯(lián)想完全平方式：（|PF1|-|PF2|）2=（|PF1|+|PF2|）2-4|PF1||PF2|，代入可得b2=4a2-ab，兩邊同時除以a2得到，解得，從而，答案選C。

例4. 已知橢圓C的焦點為F1，F2，過點F1的直線與橢圓C交于A，B兩點。若|AF1|=2|F1B|，|AB|=|BF2|，則橢圓C的離心率為______。

【解析】根據題意畫出圖形，設|BF1|=x，則|AF1|=2x，|BF2|=|AB|=3x利用橢圓的定義求出|AF2|的表達式，在△ABF2中利用余弦定理求出cos∠ABF2，在△BF1F2中，利用余弦定理求出|F1F2|的表達式，代入離心率公式求解即可.根據題意，作圖如下：

設|BF1|=x，則|AF1|=2x，|BF2|=|AB|=3x，由橢圓的定義知，|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=x+3x=4x=2a，因為|AF1|=2x，所以|AF2|=2x，在△ABF2中，由余弦定理可得，，在△BF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|·cos∠ABF2，即|F1F2|2=x2+（3x）2-2·x·3x·，解得，所以，所以橢圓離心率.故答案為：。

另外，頂點A恰好為橢圓上頂點，△AOF1為特征三角形，|AF1|=|AF2|=a，|AB|=|BF2|=由余弦定理可得，，又因為，所以解得。

三、焦點三角形的面積

對焦點三角形而言，橢圓上的頂點P的變化引起焦點三角形的面積的變化，其取值范圍是（0，bc]。當點P位于橢圓短軸所在的頂點時，焦點三角形面積取得最大值。利用焦點三角形面積的取值范圍或者最大面積作為臨界值，可求解離心率。

例5. 已知F1、F2分別是橢圓的上下兩個焦點P，若橢圓上存在四個不同點 ，使得△PF1F2的面積為 ，則橢圓的離心率的取值范圍是（）

A.? ? ? ? ?B.? ? ?C.? ? ? ? D.

【解析】由橢圓的對稱性可知，當橢圓上存在四個不同點P，使得△PF1F2的面積為時，焦點三角形面積的最大值大于，即bc>。將a=2，b=代入得到，解得1

例6. 已知，分別是橢圓=1（a>b>0）的左、右焦點，P是橢圓上一點（異于左、右頂點），若存在以c為半徑的圓內切于△PF1F2，則橢圓的離心率的取值范圍是（? ? ）

A.B.C.D.

【解析】不妨設內切圓圓心為M，連接MP、MF1、MF2，焦點三角形被分成三個小三角形。

由于，故，即，整理可得，兩邊同時除以a2可得3e2+3e-1≤0，解得。結合0

四、構造焦點三角形

題中只給出一個焦點，將另外一個焦點補到圖中，根據橢圓的定義和對稱性，得到a，b，c的值或者比值來求解離心率。

例7. 已知橢圓E：=1（a>b>0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x-4y=0交橢圓E于A，B兩點，若|AF|+|BF|=4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓E的離心率的取值范圍是（）

A.? ? ? ?B.? ? ? ?C.? ? ? ?D.

【解析】如圖所示，設F'為橢圓的左焦點，連接AF'，BF' ，則AFBF' 四邊形是平行四邊形，所以4=|AF|+|BF|=|AF'|+|AF|=2a，所以a=2.取M（0，b），因為點M到直線l的距離不小于，所以，解得，從而，橢圓E的離心率的取值范圍是，答案選A。

例8. 橢圓=1（a>b>0）的右焦點F（c，0）關于直線的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是________.

【解析】設橢圓的另一個焦點為F1（-c，0），如圖，連接QF1，QF，設QF與直線交于點M。由題意知，M為線段QF的中點，且OM⊥FQ.又O為線段F1F的中點，∴F1Q∥OM，∴F1Q⊥QF，|F1Q|=2|OM|.在Rt△MOF中，tan∠MOF==，|OF|=c，可解得|OM|=，|MF|=，故|QF|=2|MF|=，|QF1|=2|OM|=.由橢圓的定義得|QF|+|QF1|==2a，整理得b=c，∴a==，故e==.

責任編輯? 鐘春雪