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      基于瑞利-里茲法的層狀地基應(yīng)變問(wèn)題的近似解析解

      2021-06-21 08:00:26朱桂春張?chǎng)┏?/span>陳勝
      關(guān)鍵詞:層狀邊界解析

      朱桂春,張?chǎng)┏?,陳?/p>

      (1.蘇州大學(xué) 軌道交通學(xué)院,江蘇 蘇州 215000;2.揚(yáng)州工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225000;3.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢新校區(qū)建設(shè)指揮部),湖北 武漢 430074)

      0 引 言

      土體大多自然沉積,形成層狀構(gòu)造[1-2],但在工程實(shí)踐中,一般將土視為均質(zhì)體,采用彈性模量加權(quán)平均方法近似模擬分層土,對(duì)其變形特性進(jìn)行研究,但是這樣處理可能會(huì)引起建筑物的不均勻沉降[3],危害建筑物的安全。

      對(duì)于任意荷載作用下的層狀地基應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)求解,可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題。平面應(yīng)變問(wèn)題是三維空間問(wèn)題的一種特殊情況,即假定y軸方向無(wú)位移,研究層狀地基平面應(yīng)變問(wèn)題具有一定的現(xiàn)實(shí)意義,如在層狀地基中開(kāi)挖地連墻槽段,槽壁受側(cè)向靜止土壓力與泥漿壓力的共同作用,可簡(jiǎn)化為受三角形水平分布荷載作用的平面應(yīng)變問(wèn)題求解地層的變形情況。

      目前求解層狀結(jié)構(gòu)的方法主要有位移函數(shù)法[4-7]、柔度矩陣法[8-12]、傳遞矩陣法[13-14]、精確的剛度矩陣法[15-17]和解析層元法[18]等。已有層狀結(jié)構(gòu)求解方法中,傳遞矩陣法計(jì)算時(shí)數(shù)據(jù)溢出,而剛度矩陣法中的矩陣元素表達(dá)式復(fù)雜,不便于實(shí)際應(yīng)用。

      本文利用Mathematica軟件計(jì)算程序,基于擴(kuò)展的瑞利-里茲法分析層狀地基應(yīng)變問(wèn)題的近似解答,推導(dǎo)非對(duì)稱荷載作用下層狀地基平面應(yīng)變問(wèn)題的解答,以及各參數(shù)對(duì)變形的敏感性,以期為類似工程的設(shè)計(jì)與施工提供參考。

      1 各向同性地基近似解析解的推導(dǎo)

      1.1 各向同性地基平面問(wèn)題的基本關(guān)系式

      各向同性體的胡克定律為

      (1)

      式中,λ=E/[(1+v)(1-2v)]。

      1.2 推導(dǎo)思路

      應(yīng)變的近似解析解求解思路(瑞利-里茲法)如下:

      (1)假定任一層狀區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的水平位移為u(x,z),豎直位移為v(x,z)。

      (2)構(gòu)造泛函

      (3)據(jù)最小勢(shì)能原理,對(duì)泛函進(jìn)行變分,求其駐值,同時(shí)考慮邊界條件約束,求解待定參數(shù)。

      對(duì)于地表以下受水平非對(duì)稱荷載作用的層狀各向同性土體,由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜,參數(shù)較多,使用傳統(tǒng)的瑞利-里茲法求解,積分難度較大,難以得出正確的結(jié)果。為求解方便,節(jié)省計(jì)算時(shí)間,將層狀各向同性土體劃分為多層有限區(qū)域和無(wú)限區(qū)域,有限區(qū)域與無(wú)限區(qū)域位移采用有理多項(xiàng)式假定,將每層土體作為一個(gè)塊體,利用擴(kuò)展的瑞利-里茲法對(duì)其進(jìn)行近似解析解求解,區(qū)域示意圖見(jiàn)圖1。

      圖1 各向同性地基分層示意圖

      假定土層為各向同性土層,各層層厚分別為h1,h2,h3,…,hn,HFE為有限區(qū)域,iHFE為無(wú)限區(qū)域,模型右側(cè)邊界一定深度內(nèi)受荷載作用,其余深度土層右側(cè)邊界受水平位移約束。左側(cè)及下部邊界為無(wú)窮遠(yuǎn)處。

      經(jīng)驗(yàn)證,標(biāo)準(zhǔn)瑞利-里茲法中的位移假定函數(shù)

      w=C0+C1x+C2x2+C3x3,

      (3)

      等價(jià)于

      w=N1(x)wi+N2(x)θi+N3(x)wj+
      N4(x)θj,

      (4)

      兩者待定系數(shù)個(gè)數(shù)相同,Ni為插值基或形函數(shù)。

      同理可知,二維位移函數(shù)

      (5)

      等價(jià)于

      w=N1(ξ,η)w1+N2(ξ,η)w2+N3(ξ,η)w3+
      N4(ξ,η)w4,

      (6)

      式中:N1=(1-ξ)(1-η)/4;N2=(1+ξ)(1-η)/4;N3=(1+ξ)(1+η)/4;N4=(1-ξ)(1+η)/4。

      1.3 有限部分推導(dǎo)

      為提高假定的多項(xiàng)式精度,可增加待定系數(shù)的個(gè)數(shù),如

      w=C0+C1ξ+C2η+C3ξη+C4ξ2+C5η2+C6ξ3+
      C7ξ2η+C8ξη2+C9η3……+Cnξmηm, (7)

      可等價(jià)假定為

      (8)

      在[-1,1]×[-1,1]區(qū)域內(nèi),ξ軸上投影n個(gè)坐標(biāo),η軸上投影n個(gè)坐標(biāo),從下向上第i行,從左向右第j列的節(jié)點(diǎn)號(hào)對(duì)應(yīng)的形式數(shù)為Nij=Ni(η)×Nj(ξ),節(jié)點(diǎn)標(biāo)號(hào)順序如圖2所示。

      圖2 節(jié)點(diǎn)投影示意圖

      Ni為ξ軸[-1,1]內(nèi),n個(gè)點(diǎn)構(gòu)成一維拉格朗日插值基,

      式中:-1=ξ1<ξ2<ξ3…<ξn=1;ξi的分布符合擴(kuò)展切比雪夫多項(xiàng)式零點(diǎn)分布。同理Nj將ξ替換成η即可,式(8)假定完畢。它的多項(xiàng)式成分可以從帕斯卡三角形中去數(shù)n項(xiàng)。

      由于以上假定都是基于[-1,1]×[-1,1]范圍的單位坐標(biāo)系,而地層結(jié)構(gòu)建立在x-z坐標(biāo)系內(nèi),因此可引入坐標(biāo)變換,建立(x-z)與(ξ-η)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。可認(rèn)為x與z都是(ξ,η)的函數(shù),即x=x(ξ,η),z=z(ξ,η),則該函數(shù)不唯一,只要連續(xù)、一一對(duì)應(yīng)即可,最簡(jiǎn)單的關(guān)系為多項(xiàng)式關(guān)系,有限區(qū)域的坐標(biāo)變換見(jiàn)圖3。

      圖3 有限區(qū)域坐標(biāo)變換

      則有

      基于以上分析,一切均可用(ξ-η)坐標(biāo)描述,方便后續(xù)計(jì)算。

      (11)

      若(ξ-η)坐標(biāo)可對(duì)應(yīng)得(x-z)坐標(biāo)及u,v;根據(jù)上述位移模式,可利用最小勢(shì)能原理:

      (12)

      根據(jù)幾何方程:

      (13)

      對(duì)其插值得

      (14)

      由于Nu,Nw為關(guān)于ξ,η的函數(shù),不可直接求關(guān)于x,z的偏導(dǎo),借助鏈?zhǔn)椒▌t有

      (15)

      (16)

      (18)

      于是,式(14)中的B矩陣便可解出,從而根據(jù)[σ]=[D]·[ε]=[D][B]·[δe],與1.1中,D含義是否相同

      (19)

      將應(yīng)變[ε]根據(jù)最小勢(shì)能原理代回,可得

      (20)

      節(jié)點(diǎn)位移矩陣

      由于δδe的任意性,式(12)等價(jià)為

      經(jīng)多次調(diào)試,盡量平衡計(jì)算時(shí)間與計(jì)算精度,文中式(7)采用8次多項(xiàng)式假定。

      1.4 無(wú)限部分推導(dǎo)

      無(wú)限部分形函數(shù)與有限部分中一致,節(jié)點(diǎn)編號(hào)也一致,但其坐標(biāo)變換有所不同,如圖4所示。

      圖4 無(wú)限區(qū)域坐標(biāo)變換

      滿足兩坐標(biāo)系下的同號(hào)節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),則有

      (23)

      可見(jiàn),①②③④圍成的區(qū)域?yàn)閮?nèi)映射,其他區(qū)域?yàn)橥庥成?,可檢驗(yàn)其正確性。坐標(biāo)變換時(shí),僅需①②③④點(diǎn)的坐標(biāo),不需要指定無(wú)窮遠(yuǎn)處的坐標(biāo)。為建模方便,可以形式上指定無(wú)窮遠(yuǎn)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo),方便查看,實(shí)際計(jì)算不會(huì)影響。

      由于無(wú)限區(qū)域與有限區(qū)域采用相同的節(jié)點(diǎn)插值和自由度,所以在單元組裝時(shí),將它們視為相同的單元,即K1=K有限,K2=K無(wú)限,這樣就可以考慮兩種單元共節(jié)點(diǎn)的情況,自動(dòng)滿足兩者交界處變形協(xié)調(diào)。

      2 模型驗(yàn)證

      為驗(yàn)證近似解析解計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性,本文采用MIDAS/GTS有限元模型進(jìn)行驗(yàn)證。

      2.1 單層各向同性地基的驗(yàn)證

      模型設(shè)置如圖5所示。

      圖5 單層地基計(jì)算模型圖

      由于近似解析解計(jì)算程序可實(shí)現(xiàn)對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處邊界的高精度描述。為了保證驗(yàn)證的準(zhǔn)確性,將MIADAS有限元地基模型范圍設(shè)置為136 m×136 m,左側(cè)與底部邊界受法向位移約束,右側(cè)邊界上部受x向均布荷載p作用,p=10 kPa,作用深度D=8 m,右側(cè)邊界下部受法向位移約束;而近似解析解計(jì)算模型右側(cè)邊界約束條件同有限元模型,左側(cè)及底部邊界為無(wú)限邊界,為方便與有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比對(duì),近似解析解計(jì)算程序模型范圍為136 m×12 m,有限及無(wú)限區(qū)域的劃分如圖1所示,其中有限區(qū)域范圍為100 m×8 m。橫觀各向同性地基彈性參數(shù)分別為E=20 MPa,v=0.25,G=8 MPa。

      近似解析解計(jì)算程序與MIDAS/GTS有限元軟件計(jì)算結(jié)果如圖6~7所示。其中土體水平位移取右側(cè)邊界節(jié)點(diǎn),豎向位移取上部邊界節(jié)點(diǎn),下同。由圖6~7可以看出,兩者結(jié)果吻合度較高,說(shuō)明本文所用理論的正確性和程序計(jì)算的準(zhǔn)確性,可滿足精度要求。

      圖6 驗(yàn)證例水平位移對(duì)比

      圖7 驗(yàn)證例豎向位移對(duì)比

      2.2 層狀各向同性地基的驗(yàn)證

      為驗(yàn)證近似解析解在層狀地基中的適用性,本文對(duì)水平向均布荷載作用下三層各向同性地基進(jìn)行求解,計(jì)算模型如圖8所示。

      圖8 多層地基計(jì)算模型圖

      MIADAS有限元地基模型范圍設(shè)置為136 m×136 m,左側(cè)與底部邊界受法向位移約束,右側(cè)邊界上部受x向均布荷載p作用,p=10 kPa,作用深度D=8 m,右側(cè)邊界下部受法向位移約束,而近似解析結(jié)計(jì)算模型右側(cè)邊界約束條件同有限元模型,左側(cè)及底部邊界為無(wú)限邊界,近似解析解計(jì)算模型如2.1節(jié)。有限元模型各層地基彈性參數(shù)如表1所示。

      表1 各地層參數(shù)

      將求解結(jié)果與MIDAS/GTS計(jì)算的結(jié)果對(duì)比,如圖9~10所示。從圖9~10可以看出,各點(diǎn)吻合度較高,說(shuō)明本計(jì)算程序在求解層狀各向同性地基變形依然具有較高的準(zhǔn)確性和計(jì)算精度。

      圖9 層狀地基驗(yàn)證例水平位移對(duì)比

      圖10 層狀地基驗(yàn)證例豎向位移對(duì)比

      對(duì)本文計(jì)算程序和MIDAS/GTS軟件響應(yīng)速度進(jìn)行對(duì)比,測(cè)試操作系統(tǒng)版本:Win7旗艦版Service Pack1 64位;CPU版本:AMD A8-7650K Radeon R7 3.3 Ghz;內(nèi)存:8.00 GB。經(jīng)測(cè)試,本文計(jì)算程序計(jì)算時(shí)間約17.5 s,MIDAS/GTS軟件計(jì)算時(shí)間為11.68 s,但本文計(jì)算程序在工況發(fā)生變化時(shí),參數(shù)輸入簡(jiǎn)便,可自動(dòng)重新劃分網(wǎng)格,設(shè)置邊界條件,較傳統(tǒng)的有限元軟件建模時(shí)間大幅縮短,操作更為便捷。

      3 土的分層特性對(duì)位移的影響

      由以上分析可知,對(duì)地層變形敏感度較高的參數(shù)為彈性模量,所以下述算例考慮層狀均質(zhì)地基在水平荷載作用下每層彈性參數(shù)不同對(duì)地層變形的影響,主要控制變量為各層的彈性模量E。

      算例模型尺寸及邊界條件同2.1節(jié),土體分為5層,有限區(qū)域各層地基E,v,h如表2所示。各工況地層分布如表3所示。

      表2 各地層參數(shù)

      表3 各工況地層分布

      另外增加工況6,工況6為均質(zhì)地基,采用模量與深度的加權(quán)平均近似模擬分層土的特性,其彈性參數(shù)E由式(24)計(jì)算。各工況位移如圖11~12所示。

      (24)

      由圖11~12可以看出,不同工況下的地基水平位移和豎向位移明顯不同,土的分層特性對(duì)地基的位移有顯著影響:上層土的物理性質(zhì)對(duì)整體的變形影響較大,上層土的彈性模量越大,其水平及豎向的最大位移越小。對(duì)比工況1~5和工況6可以看到,在相同的外部荷載及邊界條件下,分層地基與均質(zhì)地基的位移變化差異較大,因此,工程實(shí)踐中將土層視為各項(xiàng)同性的均質(zhì)體,采用模量與深度的加權(quán)平均近似模擬分層土的特性進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算的方法是不妥當(dāng)?shù)摹?/p>

      圖12 各工況豎向位移

      4 結(jié) 論

      (1)本文基于擴(kuò)展的瑞利-里茲法分析層狀地基應(yīng)變問(wèn)題的近似析解,求解過(guò)程采用高階多項(xiàng)式和無(wú)窮坐標(biāo)變換,實(shí)現(xiàn)了對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處邊界的高精度描述,克服了傳統(tǒng)有限元方法對(duì)無(wú)窮遠(yuǎn)處結(jié)構(gòu)盲目截?cái)嗟娜秉c(diǎn)。

      (2)層狀結(jié)構(gòu)對(duì)地基變形有較大影響,其中上層土的物理性質(zhì)對(duì)整體的變形影響較大,工程實(shí)踐中常規(guī)的將土層視為各項(xiàng)同性的均質(zhì)體,采用模量與深度的加權(quán)平均近似模擬分層土的特性進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)算的方法是不妥當(dāng)?shù)?,所以在工程?shí)際應(yīng)用中考慮土的分層特性是十分必要的。

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